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山口東京理科大学 私立 山口東京理科大学 2016年 第1問
次の数値の整数部分と小数部分をそれぞれ$x,\ y$とする.
\[ \frac{1}{5-\sqrt{23}} \]
このとき次の等式が成り立つ.

$x=[ア],$

$y=\frac{\sqrt{[イ][ウ]}-[エ]}{[オ]},$

$4x^2+3xy+4y^2=[カ][キ]$
明治大学 私立 明治大学 2016年 第1問
次の$[ ]$に適切な数を入れよ.

(1)座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(3,\ 1)$,$\mathrm{B}(7,\ -1)$に対して,
\[ \sin \angle \mathrm{AOB}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]} \]
である.
(2)開発中のある薬品を製造するために,$3$種類の全く別の方式$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が考案された.また,各々の方式で,失敗せず薬品が製造できる確率は,それぞれ,$90 \, \%$,$70 \, \%$,$50 \, \%$である.これらの$3$種類の方式で独立にそれぞれ$1$回ずつ薬品を製造するとき,少なくとも$1$つの方式で失敗せず薬品が製造できる確率は,$[ウ][エ].[オ] \%$である.
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が,
\[ S_n=5a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で表されるとき,初項は$\displaystyle a_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり,一般項は$\displaystyle a_n=\frac{[ク]^{n-1}}{[ケ]^n}$である.

また,$a_{2016}$の整数部分は$[コ][サ][シ]$桁の数である.ただし,$\log_{10}2=0.30103$とする.
(4)$a,\ b,\ c$を定数とし,$x$の関数$f(x)=ax^2+bx+c$が$f(-1)=1$,$f(2)=31$を満たす.さらに$x$の関数$\displaystyle g(x)=\int_0^x (t-1)f^\prime(t) \, dt$が$x=-2$,$x=1$で極値をとるとする.このとき,$a=[ス]$,$b=[セ]$,$c=[ソ]$であり,$g(x)$の極大値は$\displaystyle \frac{[タ][チ]}{[ツ]}$である.
広島女学院大学 私立 広島女学院大学 2016年 第3問
$3+3 \sqrt{3}$の整数部分を$a$,小数部分を$b$とおく.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$a$の値を求めよ.$[$3$]$
(2)$b$の値を求めよ.$[$4$]$

(3)$\displaystyle b+\frac{1}{b}$の値を求めよ.$[$5$]$

(4)$\displaystyle b^2+\frac{1}{b^2}$の値を求めよ.$[$6$]$
広島経済大学 私立 広島経済大学 2016年 第1問
次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ.

(1)全体集合$U$と,その部分集合$A,\ B$について$n(U)=140$,$n(A)=80$,$n(B)=70$,$n(A \cap B)=20$のとき,次の個数を求めよ.

(i) $n(A \cup \overline{B})=[$1$]$である.
(ii) $n(\overline{A} \cap \overline{B})=[$2$]$である.

(2)$\sqrt{630n}$が自然数になるような最小の自然数$n$は$n=[$3$]$である.

(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$の整数部分を$a$,小数部分を$b$とする.

このとき,$a=[$4$]$,$b=\sqrt{[$5$]}-[$6$]$である.

また,$\displaystyle \frac{10a}{b}=[$7$] \sqrt{[$8$]}+[$9$]$である.
名城大学 私立 名城大学 2016年 第1問
次の$[ ]$にあてはまる答えを記入せよ.

(1)$100$未満の自然数で,$3$または$4$または$5$で割り切れる数は$[ア]$個,$3$または$4$で割り切れ$5$では割り切れない数は$[イ]$個である.
(2)\begin{mawarikomi}{45mm}{
(図は省略)
}
右図において,点$\mathrm{I}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の内心,点$\mathrm{D}$を直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点とし,$\mathrm{AB}=3$,$\mathrm{BC}=4$,$\mathrm{CA}=6$とする.このとき,$\mathrm{BD}=[ウ]$であり,$\displaystyle \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}=[エ]$である.
\end{mawarikomi}

(3)整数$a$を$3$進数${122}_{(3)}$で割ったときの商と余りは,それぞれ${212}_{(3)}$と${102}_{(3)}$である.このとき,$a$を$3$進法で表すと${[オ]}_{(3)}$であり,$a$と$5$進数${410}_{(5)}$の和を$5$進法で表すと${[カ]}_{(5)}$である.
(4)不等式$2 |x-a|<x+1$について考える.$a=5$のとき,この不等式を満たす整数$x$は$[キ]$個である.また,この不等式を満たす整数$x$が$5$個あるとき,整数$a$の値は$[ク]$である.
(5)$\displaystyle -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$で$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき,$\sin 2\theta=[ケ]$,$\cos 2\theta=[コ]$である.
(6)$a,\ b$は自然数で,$a^5 b^2$が$20$桁の数であり,かつ,$\displaystyle \frac{a^5}{b^2}$の整数部分が$10$桁であるとする.このとき,$a,\ b$の桁数をそれぞれ$m,\ n$とすると,$m=[サ]$,$n=[シ]$である.
(7)円$x^2+y^2-2(x+y)+1=0$と直線$y+2x=k$が共有点をもつとき,$k$の最大値は$[ス]$である.また,この円と直線$y=ax-3a$が共有点をもつとき,$a$の最小値は$[セ]$である.
富山県立大学 公立 富山県立大学 2016年 第4問
$k$は正の整数とする.定積分$\displaystyle I_k=\int_k^{k+1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$について,次の問いに答えよ.

(1)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n I_k$とする.$S_1,\ S_2,\ S_3$を求めよ.

(2)不等式$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k+1}}<I_k<\frac{1}{\sqrt{k}}$が成り立つことを示せ.

(3)$\displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{100}}$の整数部分を求めよ.
県立広島大学 公立 県立広島大学 2016年 第3問
$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$とする.次の問いに答えよ.

(1)$\log_{10}5$,$\log_{10}6$の値を求めよ.
(2)$3^{100}$の桁数を求めよ.
(3)$3^{100}$の最高位の数字を求めよ.
(4)$(3.75)^n$の整数部分が$10$桁になる自然数$n$を全て求めよ.
愛媛大学 国立 愛媛大学 2015年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)不定積分$\displaystyle \int x^3e^{x^2} \, dx$を求めよ.
(2)定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^e |\log x| \, dx$を求めよ.
(3)楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$上の点$(\sqrt{2},\ 1)$における接線の方程式を求めよ.
(4)$\displaystyle \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3$からその整数部分を引いた値を$a$とするとき,$a^4+5a^3+4a^2+4a$の値を求めよ.
(5)実数$a,\ b,\ c$は$0<a<b<c$,$\displaystyle \frac{1}{b}=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right)$をみたすとする.このとき,$|b-a|<|b-c|$が成り立つことを示せ.
愛媛大学 国立 愛媛大学 2015年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$\displaystyle \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3$からその整数部分を引いた値を$a$とするとき,$a^2+4a+5$の値を求めよ.
(2)次の連立方程式を解け.
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\log_2x-\log_2y=1 \\
x \log_2 x-y \log_2 y=0
\end{array} \right. \]
(3)$s,\ t$を実数とする.座標空間内の同一平面上にある$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(4,\ s,\ t)$,$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 2)$,$\mathrm{C}(0,\ 5,\ 1)$が$\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$をみたすとき,$s,\ t$の値を求めよ.
(4)初項が$3$,公比が$4$である等比数列の第$k$項を$a_k$とする.このとき,$\displaystyle \sum_{k=n}^{n^2}a_k$を求めよ.
東北学院大学 私立 東北学院大学 2015年 第2問
$\sqrt{14}$の整数部分を$a$,小数部分を$b$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)$a,\ b$の値を求めよ.
(2)$\displaystyle \frac{1}{b}$の整数部分を$c$,小数部分を$d$とするとき,$c,\ d$の値を求めよ.
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「整数部分」とは・・・

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