以下の問いに答えよ．ただし，$(1)$については，結論のみを書けばよい．

(1)$n$を正の整数とし，$3^n$を$10$で割った余りを$a_n$とする．$a_n$を求めよ．
(2)$n$を正の整数とし，$3^n$を$4$で割った余りを$b_n$とする．$b_n$を求めよ．
(3)数列$\{x_n\}$を次のように定める．
\[ x_1=1,\quad x_{n+1}=3^{x_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
$x_{10}$を$10$で割った余りを求めよ．

$6 \cdot 3^{3x}+1=7 \cdot 5^{2x}$を満たす$0$以上の整数$x$をすべて求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を正の実数とし，$k$を$1$以上の実数とする．$x$についての$2$次方程式
\[ x^2-kax+a-k=0 \]
は，不等式
\[ -\frac{1}{a}<s \leqq 1 \]
をみたすような実数解$s$をもつことを示せ．
(2)$a$を$3$以上の整数とする．$n^2+a$が$an+1$で割り切れるような$2$以上のすべての整数$n$を$a$を用いて表せ．

$1$以上$6$以下の$2$つの整数$a,\ b$に対し，関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次の条件（ア），（イ），（ウ）で定める．

（ア） $f_1(x)=\sin (\pi x)$
（イ） $\displaystyle f_{2n}(x)=f_{2n-1} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-x \right) \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
（ウ） $f_{2n+1}(x)=f_{2n}(-x) \qquad \qquad \qquad \ \,\!(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

以下の問いに答えよ．

(1)$a=2,\ b=3$のとき，$f_5(0)$を求めよ．
(2)$1$個のさいころを$2$回投げて，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$とするとき，$f_6(0)=0$となる確率を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の方程式が異なる$3$つの$0$でない実数解をもつことを示せ．
\[ x^3+x^2-2x-1=0 \quad \cdots \quad ① \]
(2)方程式$①$の$3$つの実数解を$s,\ t,\ u$とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{s^{n-1}}{(s-t)(s-u)}+\frac{t^{n-1}}{(t-u)(t-s)}+\frac{u^{n-1}}{(u-s)(u-t)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．このとき，
\[ a_{n+3}+a_{n+2}-2a_{n+1}-a_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つことを示せ．
(3)$(2)$の$a_n$がすべて整数であることを示せ．

$xy$平面上の$6$個の点$(0,\ 0)$，$(0,\ 1)$，$(1,\ 0)$，$(1,\ 1)$，$(2,\ 0)$，$(2,\ 1)$が図のように長さ$1$の線分で結ばれている．動点$\mathrm{X}$は，これらの点の上を次の規則に従って$1$秒ごとに移動する．


\mon[規則：] 動点$\mathrm{X}$は，そのときに位置する点から出る長さ$1$の線分によって結ばれる図の点のいずれかに，等しい確率で移動する．

例えば，$\mathrm{X}$が$(2,\ 0)$にいるときは，$(1,\ 0)$，$(2,\ 1)$のいずれかに$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で移動する．また$\mathrm{X}$が$(1,\ 1)$にいるときは，$(0,\ 1)$，$(1,\ 0)$，$(2,\ 1)$のいずれかに$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する．

時刻$0$で動点$\mathrm{X}$が$\mathrm{O}=(0,\ 0)$から出発するとき，$n$秒後に$\mathrm{X}$の$x$座標が$0$である確率を求めよ．ただし$n$は$0$以上の整数とする．

（図は省略）

自然数$n$に対して，${10}^n$を$13$で割った余りを$a_n$とおく．$a_n$は$0$から$12$までの整数である．以下の問いに答えよ．

(1)$a_{n+1}$は$10a_n$を$13$で割った余りに等しいことを示せ．
(2)$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_6$を求めよ．
(3)以下の$3$条件を満たす自然数$N$をすべて求めよ．

(i) $N$を十進法で表示したとき$6$桁となる．
(ii) $N$を十進法で表示して，最初と最後の桁の数字を取り除くと$2016$となる．
(iii) $N$は$13$で割り切れる．

以下の問いに答えよ．

(1)$\theta$を$0 \leqq \theta<2\pi$を満たす実数，$i$を虚数単位とし，$z$を$z=\cos \theta+i \sin \theta$で表される複素数とする．このとき，整数$n$に対して次の式を証明せよ．
\[ \cos n\theta=\frac{1}{2} \left( z^n+\frac{1}{z^n} \right),\quad \sin n\theta=-\frac{i}{2} \left( z^n-\frac{1}{z^n} \right) \]
(2)次の方程式を満たす実数$x (0 \leqq x<2\pi)$を求めよ．
\[ \cos x+\cos 2x-\cos 3x=1 \]
(3)次の式を証明せよ．
\[ \sin^2 {20}^\circ+\sin^2 {40}^\circ+\sin^2 {60}^\circ+\sin^2 {80}^\circ=\frac{9}{4} \]

正の整数$n$に対して，その（$1$と自分自身も含めた）すべての正の約数の和を$s(n)$と書くことにする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$k$を正の整数，$p$を$3$以上の素数とするとき，$s(2^kp)$を求めよ．
(2)$s(2016)$を求めよ．
(3)$2016$の正の約数$n$で，$s(n)=2016$となるものをすべて求めよ．

複素数$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\omega^2+\omega^4$，$\omega^5+\omega^{10}$の値を求めよ．
(2)$n$を正の整数とするとき，$\omega^n+\omega^{2n}$の値を求めよ．
(3)$n$を正の整数とするとき，
\[ (\omega+2)^n+(\omega^2+2)^n \]
が整数であることを証明せよ．