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早稲田大学 私立 早稲田大学 2014年 第2問
$x$-$y$平面の双曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$上の相異なる$3$点を,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$とし,その$x$座標を,それぞれ,$a,\ b,\ c$とする.このとき,次の各問に答えよ.

(1)空欄にあてはまる数式を求め,答のみ解答欄に記入せよ.

直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線の傾きは$[ア]$である.$\triangle \mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とするとき,$\mathrm{H}$の$x,\ y$座標を$a,\ b,\ c$を用いて表すと,$x=[イ]$,$y=[ウ]$である.よって,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が双曲線上を動くとき,$\mathrm{H}$の軌跡は$x,\ y$の関係式$[エ]$で表され,$\mathrm{H}$はこの関係式で表される図形上のすべての点を動く.

(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{P}(x,\ y)$とする.

(i) $\mathrm{P}$の座標$x,\ y$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ.
(ii) $a,\ b,\ c$が,$a+b=0$,$c=1$を満たすとき,$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡を求め,その軌跡を解答欄の$x$-$y$平面に図示せよ.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2014年 第1問
次の空欄$[$1$]$から$[$6$]$にあてはまる数または数式を記入せよ.

(1)$3$次曲線$y=x^3-6x^2+11x-4$と直線$y=ax$が第$1$象限の相異なる$3$点で交わるような定数$a$の範囲は$[$1$]<a<[$2$]$である.
(2)硬貨を投げ,$3$回つづけて表が出たら終了する.$n$回以下で終了する場合の数を$f_n$とする.$f_{10}=[$3$]$である.
(3)不等式$\displaystyle \frac{a}{19}<\log_{10}7<\frac{b}{13}$を満たす最大の整数$a$と最小の整数$b$は$a=[$4$]$,$b=[$5$]$である.必要に応じて次の事実を用いてもよい.
\[ \begin{array}{lll}
7^1=7 & 7^2=49 & 7^3=343 \\
7^4=2401 & 7^5=16807 & 7^6=117649 \\
7^7=823543 & 7^8=5764801 & 7^9=40353607 \\
7^{10}=282475249 & 7^{11}=1977326743 & 7^{12}=13841287201 \\
7^{13}=96889010407 & 7^{14}=678223072849
\end{array} \]
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$は,$4$つの面のどれも$3$辺の長さが$7,\ 8,\ 9$の三角形である.この四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[$6$]$である.
大阪歯科大学 私立 大阪歯科大学 2013年 第1問
以下の$[ ]$に入る適切な数値を解答欄に記せ.

(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2-\sqrt{3}},\ b=\frac{1}{3-\sqrt{2}},\ c=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$のとき,数式
\[ a-\left\{ \frac{2b-c}{3}-\left( \frac{1}{6} a+\frac{2}{3}b-c \right) -\frac{1}{3} a \right\}-3 \left( \frac{1}{2}a-\frac{c}{3} \right) \]
の値は$[$\mathrm{a]$}$となる.
(2)ある宝石の価格は,その重量の$2$乗に比例するものとする.いま,価格$50$万円のその宝石を誤って$2$つに割ってしまった.$2$つのかけらの重量の比が$2:3$であるとき,損害は$[$\mathrm{b]$}$万円である.
(3)赤玉$3$個,白玉$2$個,黒玉$1$個が入った箱から玉を$1$個取り出して色を確認したら元に戻す操作を$5$回繰り返す.このとき,白玉が$2$回以上取り出される確率は$[$\mathrm{c]$}$である.
(4)$x^3+ax^2-10x-b=0$が$x=1,\ 2$を解にもつとき,もう一つの解は$x=[$\mathrm{d]$}$である.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2013年 第1問
次の$[ ]$にあてはまる数または数式を記入せよ.

(1)$a,\ b$は定数で,$x$についての整式$x^3+ax+b$は${(x+1)}^2$で割り切れるとする.このとき,$a=[ ]$,$b=[ ]$である.
(2)$5$個の自然数の組$(a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5)$で,
\[ a_1=1,\quad a_n+1 \leqq a_{n+1} \leqq a_n+2 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ 4) \]
を満たすものは全部で$[ ]$組ある.
(3)$3$次関数$f(x)$は$x=1$と$x=2$で極値をとり,曲線$y=f(x)$と曲線$\displaystyle y=\frac{3x}{2 \sqrt{x^2+1}}+1$は点$(0,\ 1)$において共通の接線を持つとする.このとき,$f(x)=[ ]$である.
(4)ある花の$1$個の球根が$1$年後に$3$個,$2$個,$1$個,$0$個(消滅)になる確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{3}{10}$,$\displaystyle \frac{2}{5}$,$\displaystyle \frac{1}{5}$,$\displaystyle \frac{1}{10}$であるとする.$1$個の球根が$2$年後に$2$個になっている確率は$[ ]$である.
山梨大学 国立 山梨大学 2012年 第1問
次の問題文の枠内にあてはまる数あるいは数式を答えよ.

(1)関数$f(x)$が$p$を周期とする周期関数であるとは,すべての$x$で等式$[ ]$が成立することである.関数$\displaystyle g(x)=\sin^2 \left( 5x+\frac{\pi}{3} \right)$の正の最小の周期は$[ ]$である.
(2)実数$x$が$-\pi<x \leqq \pi$のとき,無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \sin^k x$が収束する条件は,$x$の値が$[ ]$以外のときであり,収束するときの無限級数の和は$[ ]$である.
(3)$\displaystyle \int_{-10}^0 \frac{1}{(x+11)(x+12)} \, dx=[ ]$であり,$\displaystyle \int_{-10}^0 \log (x+11) \, dx=[ ]$である.
(4)楕円$9x^2+4y^2+36x-40y+100=0$の$2$つの焦点のうち,$y$座標が大きい方の座標は$[ ]$である.この楕円の長軸の長さは$[ ]$である.
(5)関数$f(x)$を$f(x)=2x^2+1$とし,区間$[0,\ 1]$を$n$等分した小区間を,$\displaystyle \left[ \frac{0}{n},\ \frac{1}{n} \right]$,$\displaystyle \left[ \frac{1}{n},\ \frac{2}{n} \right]$,$\cdots$,$\displaystyle \left[ \frac{n-1}{n},\ \frac{n}{n} \right]$とする.各小区間を底辺とする$n$個の長方形の面積の総和をとる.$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において,長方形の高さとして左端での関数$f(x)$の値を用いたとき,この小区間での長方形の面積は$[ ]$となり,それらの長方形の面積の総和を$s_n$とする.また,$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において,長方形の高さとして右端での関数$f(x)$の値を用いたときの長方形の面積の総和を$S_n$とする.このとき,$S_n-s_n$は$[ ]$となる.
上智大学 私立 上智大学 2012年 第1問
次の空欄に適する数,数式を入れよ.

(1)$f(x)=|2 \sin x-\cos 2x+\displaystyle\frac{1|{2}}$とおく.$\sin x=[ア]$のとき$f(x)$は最大値$\displaystyle\frac{[イ]}{[ウ]}$をとる.また,$\sin x = \displaystyle\frac{[エ]+\sqrt{[オ]}}{[カ]}$のとき$f(x)$は最小値[キ]をとる.
(2)$x,\ y,\ z$は次の条件を満たす実数とする.
\[ 0 \leqq x \leqq y \leqq z \leqq \frac{4}{5}, \quad x+2y+z = 1 \]
このとき,$y$の最小値は$\displaystyle\frac{[ク]}{[ケ]}$,最大値は$\displaystyle\frac{[コ]}{[サ]}$である.
(3)不等式
\[ \log_2 x - 6\log_x 2 \geqq 1 \]
の解は
\[ \frac{[シ]}{[ス]} \leqq x < [セ], \quad x \geqq [ソ] \]
である.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2011年 第1問
次の$[ ]$にあてはまる数または数式を解答用紙の所定欄に記入せよ.

(1)平面上の$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上にあり,
\[ 3 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+7 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている.このとき線分$\mathrm{AB}$の長さは[ア]である.
(2)$xy$平面上の曲線$y=e^x$と$y$軸および直線$y=e$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は[イ]である.
(3)碁石を$n$個一列に並べる並べ方のうち,黒石が先頭で白石どうしは隣り合わないような並べ方の総数を$a_n$とする.ここで,$a_1=1$,$a_2=2$である.
(4)立方体の各辺の中点は全部で$12$個ある.頂点がすべてこれら$12$個の点のうちのどれかであるような正多角形は全部で[エ]個ある.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2010年 第1問
次の[\phantom{ア]}にあてはまる数,数式または文字等を解答用紙の所定欄に記入せよ.

(1)極限
\[ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)} \]
の値は$[ア]$である.
(2)ある囲碁大会で,$5$つの地区から男女が各$1$人ずつ選抜されて,男性$5$人と女性$5$人のそれぞれが異性を相手とする対戦を$1$回行う.その対戦組み合わせを無作為な方法で決めるとき,同じ地区同士の対戦が含まれない組み合わせが起こる確率は$[イ]$である.
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.直線$\mathrm{BQ}$と直線$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表すと$[ウ]$である.
(4)関数
\[ y= \frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1} \]
の逆関数を表す式は$y= [エ]$で,その定義域は$[オ]$である.
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