「数学的帰納法」について
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国立 佐賀大学 2012年 第2問正の数からなる数列$\{a_n\}$に対し，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とする．すべての自然数$n$に対して，$\displaystyle \frac{a_n+3}{2}=\sqrt{3S_n}$が成り立つとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$S_n$を用いて表せ．
(3)$n$が自然数であるとき，数学的帰納法を用いて，$S_n=3n^2$が成り立つことを証明せよ．
(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$S_n$を用いて表せ．
(3)$n$が自然数であるとき，数学的帰納法を用いて，$S_n=3n^2$が成り立つことを証明せよ．
国立 宮崎大学 2012年 第2問数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=\frac{1}{3}, a_{n+1}=\frac{1}{3-2a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の各問に答えよ．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$の値を求めよ．
(2)一般項$a_n$を予想し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．
\[ a_1=\frac{1}{3}, a_{n+1}=\frac{1}{3-2a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の各問に答えよ．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$の値を求めよ．
(2)一般項$a_n$を予想し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．
国立 和歌山大学 2012年 第5問行列$A=\left( \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 4
\end{array} \right),\ B=\left(\!\! \begin{array}{rr}
1 & -1 \\
1 & 1 \\
-1 & 0
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．
(1)$AB$および$ABA$を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，$(AB)^nA$を推測し，それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ．
(3)自然数$n$に対して，$(BA)^{n+1}$を求めよ．
1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 4
\end{array} \right),\ B=\left(\!\! \begin{array}{rr}
1 & -1 \\
1 & 1 \\
-1 & 0
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．
(1)$AB$および$ABA$を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，$(AB)^nA$を推測し，それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ．
(3)自然数$n$に対して，$(BA)^{n+1}$を求めよ．
国立 長岡技術科学大学 2012年 第1問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 2
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えなさい．
(1)$A^2$と$A^3$を求めなさい．
(2)自然数$n$に対して$A^n$を推測し，それを数学的帰納法により証明しなさい．
1 & 1 \\
0 & 2
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えなさい．
(1)$A^2$と$A^3$を求めなさい．
(2)自然数$n$に対して$A^n$を推測し，それを数学的帰納法により証明しなさい．
国立 長崎大学 2012年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$m$を5以上の自然数とする．次の不等式が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
\[ m!>2^m>m^2 \]
(2)自然数$n$に対する次の和を求めよ．
\[ S_n=\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n(n+2)} \]
(3)(2)で求めた$S_n$について，$\displaystyle S_n<\frac{3}{4}$が成り立つことを示せ．
(4)(2)で求めた$S_n$について，$\displaystyle S_n>\frac{2}{3}$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
(1)$m$を5以上の自然数とする．次の不等式が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
\[ m!>2^m>m^2 \]
(2)自然数$n$に対する次の和を求めよ．
\[ S_n=\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n(n+2)} \]
(3)(2)で求めた$S_n$について，$\displaystyle S_n<\frac{3}{4}$が成り立つことを示せ．
(4)(2)で求めた$S_n$について，$\displaystyle S_n>\frac{2}{3}$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
国立 京都教育大学 2012年 第5問関数$f(x)=x^2-2$に対して，$y=f(x)$のグラフ上の点$(a,\ f(a))$における接線と$x$軸との交点の$x$座標を$g(a)$とおく．ただし，$a>0$とする．また$x_1=4$とし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$x_{n+1}=g(x_n)$とおく．次の問に答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフ上の点$(4,\ 14)$におけるグラフの接線の方程式を求めよ．
(2)どのような自然数$n$に対しても$x_n>0$であることを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$x_3$を求めよ．
(4)どのような自然数$n$に対しても$x_{n+1} \geqq \sqrt{2}$であることを，相加平均と相乗平均の大小関係を使って証明せよ．
(1)$y=f(x)$のグラフ上の点$(4,\ 14)$におけるグラフの接線の方程式を求めよ．
(2)どのような自然数$n$に対しても$x_n>0$であることを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$x_3$を求めよ．
(4)どのような自然数$n$に対しても$x_{n+1} \geqq \sqrt{2}$であることを，相加平均と相乗平均の大小関係を使って証明せよ．
国立 茨城大学 2012年 第2問実数$x,\ y$に対して，$x * y$を$x * y=x+y+xy$により定義する．次の各問に答えよ．
(1)実数$p,\ q,\ r$に対して$p * (q * r)-(p * q) * r$を求めよ．
(2)$a_1=2$，$a_{n+1}=a_n * 2 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$は$a_n=3^n-1$となることを数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)実数$p$に対して$b_1=p$，$b_{n+1}=b_n * 2 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を求めよ．
(1)実数$p,\ q,\ r$に対して$p * (q * r)-(p * q) * r$を求めよ．
(2)$a_1=2$，$a_{n+1}=a_n * 2 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$は$a_n=3^n-1$となることを数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)実数$p$に対して$b_1=p$，$b_{n+1}=b_n * 2 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を求めよ．
私立 法政大学 2012年 第2問$f(x)=x^2-5$として，数列$\{a_n\}$を次のように定義する．\\
\quad $a_1=3$，点$(a_n,\ f(a_n))$における曲線$y=f(x)$の接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$a_{n+1}$とする$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$。\\
\quad 次の問いに答えよ．
(1)$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(2)命題$P(n)$を$\lceil \sqrt{5} < a_{n+1} < a_n \rfloor$とするとき，すべての正の整数$n$に対して$P(n)$が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)次の不等式が共に成り立つ1より小さい正の数$r$が存在することを示せ．
(4)$a_{n+1}-\sqrt{5} \leqq r(a_n-\sqrt{5}) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(5)$a_n -\sqrt{5} \leqq r^{n-1} \quad (n= 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
\quad $a_1=3$，点$(a_n,\ f(a_n))$における曲線$y=f(x)$の接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$a_{n+1}$とする$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$。\\
\quad 次の問いに答えよ．
(1)$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(2)命題$P(n)$を$\lceil \sqrt{5} < a_{n+1} < a_n \rfloor$とするとき，すべての正の整数$n$に対して$P(n)$が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)次の不等式が共に成り立つ1より小さい正の数$r$が存在することを示せ．
(4)$a_{n+1}-\sqrt{5} \leqq r(a_n-\sqrt{5}) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(5)$a_n -\sqrt{5} \leqq r^{n-1} \quad (n= 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
私立 中央大学 2012年 第4問関数$f(x)$の第$n$次導関数を$\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}f(x)$で表す．いま，自然数$n$に対して関数$H_n(x)$を次で定義する．
\[ H_n(x)=(-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2} \]
以下の問いに答えよ．
(1)$H_1(x),\ H_2(x),\ H_3(x)$を求めよ．
(2)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx} H_n(x)$を$H_n(x)$と$H_{n+1}(x)$を用いて表せ．さらに，$n$に関する数学的帰納法により$H_n(x)$が$n$次多項式（整式）であることを証明せよ．
(3)$n \geqq 3$のとき，定積分
\[ S_n(a)=\int_0^a xH_n(x) e^{-x^2} \, dx \]
を$H_{n-1}(a)$，$H_{n-2}(a)$，$H_{n-2}(0)$を用いて表せ．ただし，$a$は実数とする．
(4)$n=6$のとき，極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}S_6(a)$を求めよ．
必要ならば，自然数$k$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^k e^{-x^2}=0$が成り立つことを用いてよい．
\[ H_n(x)=(-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2} \]
以下の問いに答えよ．
(1)$H_1(x),\ H_2(x),\ H_3(x)$を求めよ．
(2)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx} H_n(x)$を$H_n(x)$と$H_{n+1}(x)$を用いて表せ．さらに，$n$に関する数学的帰納法により$H_n(x)$が$n$次多項式（整式）であることを証明せよ．
(3)$n \geqq 3$のとき，定積分
\[ S_n(a)=\int_0^a xH_n(x) e^{-x^2} \, dx \]
を$H_{n-1}(a)$，$H_{n-2}(a)$，$H_{n-2}(0)$を用いて表せ．ただし，$a$は実数とする．
(4)$n=6$のとき，極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}S_6(a)$を求めよ．
必要ならば，自然数$k$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^k e^{-x^2}=0$が成り立つことを用いてよい．
公立 兵庫県立大学 2012年 第1問次の問に答えなさい．
(1)実数$x,\ y$に関する以下の命題で正しいものは証明し，誤っているものは反例をあげなさい．
(i) $x$と$y$が共に無理数であることは$x+y$が無理数であることの十分条件である．
(ii) $x$と$y$のいずれかが無理数であることは$x+y$が無理数であることの必要条件である．
(iii) $x$が有理数で$y$が無理数であることは$x+y$が無理数であることの十分条件である．
(2)数列$\{a_n\}$を$a_1=1,\ a_2=1,\ a_n=a_{n-2}+a_{n-1} (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$で定義する．このとき，すべての正の整数$n$に対して次の不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．
\[ a_n< \left( \frac{7}{4} \right)^n \]
(1)実数$x,\ y$に関する以下の命題で正しいものは証明し，誤っているものは反例をあげなさい．
(i) $x$と$y$が共に無理数であることは$x+y$が無理数であることの十分条件である．
(ii) $x$と$y$のいずれかが無理数であることは$x+y$が無理数であることの必要条件である．
(iii) $x$が有理数で$y$が無理数であることは$x+y$が無理数であることの十分条件である．
(2)数列$\{a_n\}$を$a_1=1,\ a_2=1,\ a_n=a_{n-2}+a_{n-1} (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$で定義する．このとき，すべての正の整数$n$に対して次の不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．
\[ a_n< \left( \frac{7}{4} \right)^n \]