次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=0,\quad a_{n+1}=\frac{2n(n+1)}{3n-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，以下の問いに答えよ．

(1)不等式$a_n<n$を数学的帰納法によって証明せよ．
(2)数列$\{b_n\}$を$\displaystyle b_n=\frac{n}{n-a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(5)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{n}$および$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_2a_3a_4 \cdots a_n}{n!}$を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)$2$つの整数$a,\ b$が$1+\sqrt{2}=a+b \sqrt{2}$を満たすならば，$a=b=1$であることを示しなさい．ただし，$\sqrt{2}$が無理数であることは示さなくてよい．
(2)$k$を自然数とする．$2$つの整数$a,\ b$が$(1+\sqrt{2})^{k+1}=a+b \sqrt{2}$を満たしているとき，$(1+\sqrt{2})^k=a^\prime+b^\prime \sqrt{2}$を満たす整数$a^\prime,\ b^\prime$を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(3)すべての自然数$n$に対して，
命題「$2$つの整数$a,\ b$が$(1+\sqrt{2})^n=a+b \sqrt{2}$を満たしているならば，$(1-\sqrt{2})^n=a-b \sqrt{2}$である」
が成り立つことを数学的帰納法を用いて示しなさい．

次のように定義される数列$\{a_n\}$について，以下の問いに答えなさい．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{2{a_n}^3+1}{3{a_n}^2} \]

(1)$a_2$を求めなさい．
(2)任意の自然数$n$について$a_n>1$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示しなさい．
(3)任意の自然数$n$について$a_n>a_{n+1}$が成り立つことを示しなさい．

$n$を自然数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)任意の$n$に対し，不等式$n! \geqq 2^{n-1}$が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ．
(2)$n \geqq 4$のとき，不等式
\[ 1.7<\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}<2 \]
が成り立つことを示せ．

$1$次変換$f$は点$(1,\ 3)$を点$(3,\ 5)$へ，点$(1,\ -1)$を点$(1,\ -1)$へ移すとする．$f$を表す行列を$A$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$を求めよ．
(2)$A^2,\ A^3$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して$A^n$を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ．

$\alpha$は実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 1
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)$A=r \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$と表すとき，$r,\ \theta$の値を求めよ．ただし，$r>0$，$0<\theta<\pi$とする．
(2)$B^n=\left( \begin{array}{cc}
\cos n\alpha & -\sin n\alpha \\
\sin n\alpha & \cos n\alpha
\end{array} \right) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$A_n=r_n \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta_n & -\sin \theta_n \\
\sin \theta_n & \cos \theta_n
\end{array} \right) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$(A_n)^n=A$により定める．ただし，$r_n>0$，$\displaystyle 0<\theta_n<\frac{\pi}{n}$とする．このとき，$r_n$，$\theta_n$を$n$の式で表せ．
(4)$(3)$で定めた$A_n$を用いて行列$T_n$を$T_n=nA_n$により定める．点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，$T_n$の表す$1$次変換によって点$(1,\ 0)$が移される点を$\mathrm{P}_n$とするとき，$\triangle \mathrm{OP}_n \mathrm{P}_{n+1}$の面積$S_n$を$n$の式で表せ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．

$\theta$は実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{rr}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)すべての自然数$k$に対して$A^k=\left( \begin{array}{rr}
\cos k\theta & \sin k\theta \\
-\sin k\theta & \cos k\theta
\end{array} \right)$が成り立つことを，数学的帰納法を用いて示せ．
(2)$n$は2以上の自然数とし，$\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{n}$とする．$B=A+A^2+\cdots +A^{n-1}$とおくとき，$AB=B+E-A$が成り立つことを示せ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．
(3)(2)の条件のもとで，$B=-E$が成り立つことを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$x,\ y$が$(x-2)^2+y^2 \leqq 3$を満たすとき，$\displaystyle \frac{y-7}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)自然数$n$について$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=\sin^2 \theta-\sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とするとき，ある自然数$a$と$b$を用いて，
\[ (2+\sqrt{3})^n=a+b \sqrt{3},\quad (2-\sqrt{3})^n=a-b \sqrt{3} \]
とかけることを，数学的帰納法を使って示せ．
(2)(1)の$a$と$b$について，$a^2-3b^2=1$が成り立つことを示せ．
(3)$n$を自然数とするとき，ある自然数$m$を用いて，
\[ (2+\sqrt{3})^n=\sqrt{m}+\sqrt{m-1},\quad (2-\sqrt{3})^n=\sqrt{m}-\sqrt{m-1} \]
とかけることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とするとき，ある自然数$a$と$b$を用いて，
\[ (2+\sqrt{3})^n=a+b \sqrt{3},\quad (2-\sqrt{3})^n=a-b \sqrt{3} \]
とかけることを，数学的帰納法を使って示せ．
(2)(1)の$a$と$b$について，$a^2-3b^2=1$が成り立つことを示せ．
(3)$n$を自然数とするとき，ある自然数$m$を用いて，
\[ (2+\sqrt{3})^n=\sqrt{m}+\sqrt{m-1},\quad (2-\sqrt{3})^n=\sqrt{m}-\sqrt{m-1} \]
とかけることを示せ．