$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & -2 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対して，$(AB)^n$を推測し，それを数学的帰納法で証明せよ．
(2)自然数$n$に対して，$(BA)^n$を求めよ．

$n$を正の整数とし，$x \geqq 0$とする．以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle r_n(x)=e^x-\left( 1+x+\frac{1}{2!}x^2+\cdots +\frac{1}{n!}x^n \right)$とする．$r_n(x) \geqq 0$を$n$に関する数学的帰納法を使って示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty}x^n e^{-x}=0$を示せ．
(3)$t \geqq 0$とし，$\displaystyle f(t)=\int_0^t x^n e^{-x} \, dx$とする．$\displaystyle \lim_{t \to \infty}f(t)$を求めよ．

$p$を素数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)自然数$k$が$1 \leqq k \leqq p-1$を満たすとき，$\comb{p}{k}$は$p$で割り切れることを示せ．ただし，$\comb{p}{k}$は$p$個のものから$k$個取った組合せの総数である．
(2)$n$を自然数とするとき，$n$に関する数学的帰納法を用いて，$n^p-n$は$p$で割り切れることを示せ．
(3)$n$が$p$の倍数でないとき，$n^{p-1}-1$は$p$で割り切れることを示せ．

数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=\frac{3}{4},\quad a_{n+1}=1-\frac{1}{4a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．以下の問に答えよ．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5,\ a_6$を求めよ．また，それより一般項$a_n$を推定せよ．
(2)数学的帰納法により，$(1)$の一般項の推定が正しいことを証明せよ．
(3)$n$を正の整数とする．すべての実数$x$に対して，不等式
\[ a_nx^2+x+1 \geqq a_{n+1} \]
が成り立つことを示せ．
(4)$n$を正の整数とする．すべての実数$x$に対して，不等式
\[ x^{2n}+x^{2n-1}+x^{2n-2}+\cdots +x^2+x+1 \geqq a_n \]
が成り立つことを示せ．

$a \neq 1$に対して$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-a^2 & 2a
\end{array} \right)$とする．

(1)$E-A$の逆行列$B$を求めよ．ただし$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，
\[ E+A+A^2+\cdots +A^n=B(E-A^{n+1}) \]
となることを示せ．
(3)$A^n=\left( \begin{array}{cc}
-(n-1)a^n & na^{n-1} \\
-na^{n+1} & (n+1)a^n
\end{array} \right) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を数学的帰納法を用いて示せ．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^n ka^{k-1}$を求めよ．

数列$\{a_n\}$は

$a_1=a_2=-1,$
$a_{n+2}-(n+2)a_{n+1}+na_n=(n^2+n+1)(n+1)! \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

をみたすとする．次の問いに答えよ．

(1)数学的帰納法を用いて，
\[ a_{n+1}-na_n=(n-1)(n+1)! \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{(n-1)!}$とおくとき，$(1)$を用いて数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$A+B=E$，$AB=O$をみたす$2 \times 2$行列$A,\ B$を考える．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．以下の問いに答えよ．

(1)$A^2=A$，$B^2=B$，$BA=O$となることを示せ．
(2)$(A+\alpha B)^n=A+k_nB$をみたす実数$k_n$を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，$\alpha$は実数であり，$n$は自然数である．
(3)$A+\alpha B=\left( \begin{array}{cc}
-1 & -3 \\
2 & 4
\end{array} \right)$であるとき，$A,\ B$と実数$\alpha$を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
7 & -4 \\
5 & -2
\end{array} \right)$について，次の問に答えよ．ただし，$n$は自然数とする．

(1)$P=\left( \begin{array}{cc}
4 & 1 \\
5 & 1
\end{array} \right)$とするとき，$P^{-1}AP$を求めよ．
(2)$A^n$を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$を漸化式$a_1=2$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{7a_n-4}{5a_n-2}$で定める．

(i) $A^n=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right)$とおくとき，$A^{n+1}=AA^n$であることと数学的帰納法を用いて$\displaystyle a_{n+1}=\frac{2p_n+q_n}{2r_n+s_n}$が成り立つことを示せ．
(ii) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$a,\ b$を実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a
\end{array} \right)$について，次の問いに答えなさい．

(1)すべての自然数$n$に対して，
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
b_n & a_n
\end{array} \right) \]
となる実数$a_n,\ b_n$があることを数学的帰納法で示し，$a_n$，$b_n$を用いて$a_{n+1}$，$b_{n+1}$を表しなさい．
(2)$c_n=a_n+b_n$，$d_n=a_n-b_n$とおく．数列$\{c_n\}$の漸化式と数列$\{d_n\}$の漸化式をそれぞれ求め，$a,\ b,\ n$を用いて$c_n,\ d_n$を表しなさい．
(3)$a,\ b,\ n$を用いて$a_n,\ b_n$を表しなさい．

$a,\ b$を実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a
\end{array} \right)$について，次の問いに答えなさい．

(1)すべての自然数$n$に対して，
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
b_n & a_n
\end{array} \right) \]
となる実数$a_n,\ b_n$があることを数学的帰納法で示し，$a_n$，$b_n$を用いて$a_{n+1}$，$b_{n+1}$を表しなさい．
(2)$c_n=a_n+b_n$，$d_n=a_n-b_n$とおく．数列$\{c_n\}$の漸化式と数列$\{d_n\}$の漸化式をそれぞれ求め，$a,\ b,\ n$を用いて$c_n,\ d_n$を表しなさい．
(3)$a,\ b,\ n$を用いて$a_n,\ b_n$を表しなさい．