$n$は任意の自然数，また，$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$について$a_k$は$0 \leqq a_k \leqq k$を満たす整数である．このとき，以下の問に答えよ．

(1)数学的帰納法により，次の等式を示せ．
\[ 1 \cdot 1!+2 \cdot 2!+\cdots +n \cdot n!=(n+1)!-1 \]
(2)$2015=a_1 \cdot 1!+a_2 \cdot 2!+\cdots +a_n \cdot n!$が成り立っているとき，$n$を求めよ．ただし，$a_n \neq 0$とする．
(3)$(2)$の等式を成立させる$a_1,\ a_2,\ \cdots, a_n$を求め，答のみ記入せよ．

次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=\frac{5a_n+9}{-a_n+11} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
次の問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を推測し，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$a_n<3$を示せ．
(4)$a_n<a_{n+1}$を示せ．
(5)$a_n$が自然数となる$n$をすべて求めよ．

ともに目盛りのない$3 \, \ell$の容器$\mathrm{A}$と$5 \, \ell$の容器$\mathrm{B}$を一つずつ用いるとき，次の問いに答えなさい．

(1)$4 \, \ell$の水を量る手順を，次の例にならって説明しなさい．
（例）$\mathrm{A}$に$3 \, \ell$，$\mathrm{B}$に$0 \, \ell$の水が入っている状態を$\mathrm{AB}(3,\ 0)$で表す．また，はじめに$\mathrm{A}$に$3 \, \ell$の水を入れ，次に，$\mathrm{B}$に$5 \, \ell$の水を入れていくとき，
\[ \mathrm{AB}(0,\ 0) \to \mathrm{AB}(3,\ 0) \to \mathrm{AB}(3,\ 5) \]
のように表すものとする．
(2)$n \, \ell$以上の水が量れることを，数学的帰納法を用いて証明しなさい．ただし，$n$は$9$以上の自然数とする．

$n$を自然数とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)次の等式を示せ．
\[ \comb{n+2}{3}+\comb{n+2}{2}=\comb{n+3}{3} \]
(2)$(1)$の結果を利用して，数学的帰納法により，次の等式を証明せよ．
\[ \sum_{i=1}^n \comb{i+1}{2}=\comb{n+2}{3} \]

$p$を素数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$1 \leqq r \leqq p-1$を満たす自然数$r$に対し，$\comb{p}{r}$は$p$で割り切れることを示せ．ただし，$\comb{p}{r}$は$p$個から$r$個とる組合せの総数を表すものとする．
(2)$1 \leqq s \leqq q-1$を満たす自然数の組$(q,\ s)$であって，$\comb{q}{s}$が$q$で割り切れないものを$1$組あげよ．
(3)自然数$m,\ n$に対し，$(m+n)^p-(m^p+n^p)$が$p$で割り切れることを示せ．
(4)自然数$n$に対し，$n^p-n$は$p$で割り切れることを，$n$に関する数学的帰納法を用いて証明せよ．

数列$\{a_n\}$が
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_1=1 \\
a_{n+1}-a_n=a_n(5-a_{n+1}) \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \right. \]
を満たしているとき，以下の問いに答えよ．

(1)$n$に関する数学的帰納法で，$a_n>0$であることを証明せよ．

(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(3)$a_n$を求めよ．

$a,\ b$を実数，$a>0$として，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2 \\
-2 & b
\end{array} \right)$の定める$1$次変換を$f$とする．$f$によって，点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が点$\mathrm{P}_1$に移され，点$\mathrm{P}_1$が点$\mathrm{P}_2$に移されるものとする．$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$を求めよ．
(2)ある実数$c$に対して$c \overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1=(v_1,\ v_2)$とすると，
\[ A \left( \begin{array}{c}
v_1 \\
v_2
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
v_1 \\
v_2
\end{array} \right) \]
が成り立つ．$c$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PP}}_1=(w_1,\ w_2)$とする．すべての自然数$n$に対して
\[ A^n \left( \begin{array}{c}
w_1 \\
w_2
\end{array} \right)=(-2)^n \left( \begin{array}{c}
w_1 \\
w_2
\end{array} \right) \]
が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(4)$(2)$と$(3)$の$v_1,\ v_2,\ w_1,\ w_2$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s(v_1,\ v_2)+t(w_1,\ w_2)$となる実数$s,\ t$を求め，$A^n \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$を$n$を用いて表せ．ただし，$n$は自然数である．

数列$\{a_n\}$が
\[ a_1+2a_2+3a_3+\cdots +na_n=2^n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたしている．次の問いに答えよ．

(1)一般項$a_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$とおくとき，
\[ S_n=4-\frac{n+2}{2^{n-1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
となることを数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{k}{a_k}$を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d$は$a+d=0$，$ad-bc=1$をみたす実数とし，$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$A^2=-E$を示せ．
(2)$p,\ q$は実数で$p^2+q^2 \neq 0$をみたすとする．実数$x,\ y$に対して$(pA+qE)(xA+yE)=E$が成り立つとき，$x,\ y$を$p,\ q$で表せ．
(3)$\theta$を実数とする．すべての正の整数$n$に対して
\[ \{(\cos \theta)E+(\sin \theta)A \}^n=(\cos n\theta)E+(\sin n\theta)A \]
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．ここで，$(\sin \theta)A$は行列$A$の$\sin \theta$倍を表す．

$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を以下のように定める．

$a_1=a,\ a_{2n}=a_{2n-1}+d,\ a_{2n+1}=ra_{2n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_1=a,\ b_{2n}=rb_{2n-1},\ b_{2n+1}=b_{2n}+d \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

ただし，$a \neq 0$，$r \neq 0$，$r \neq 1$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a=3$，$d=1$，$r=2$のとき，$b_9$を求めよ．
(2)数学的帰納法を用いて，すべての自然数$n$に対して次が成り立つことを示せ．
\[ a_{2n}=ar^{n-1}+\frac{d(r^n-1)}{r-1} \]
(3)すべての自然数$n$に対して$\displaystyle b_{2n+1}-a_{2n}=\frac{2}{5}ar^n$が成り立つとき，$r$の値を求めよ．