$n,\ a_n,\ b_n$を自然数とし，$(2+\sqrt{3})^n=a_n+\sqrt{3}b_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a_{n+1},\ b_{n+1}$を$a_n,\ b_n$を用いて表せ．
(2)$(2-\sqrt{3})^n=a_n-\sqrt{3}b_n$となることを数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$(2+\sqrt{3})^n$以下の整数のうち最大のものを$pa_n+q$とする．$p$と$q$の値を求めよ．

$A=\biggl( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \biggr)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)すべての自然数$n$について，
\[ A^n=\biggl( \begin{array}{cc}
\cos n \theta & -\sin n \theta \\
\sin n \theta & \cos n \theta
\end{array} \biggr) \]
となることを数学的帰納法で示せ．
(2)$\theta=20^\circ$のとき，$A^m=E$となる最小の自然数$m$を求めよ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$である．
(3)$\theta=20^\circ$のとき，(2)で求められた$m$を用いて
\[ A+A^2+\cdots +A^m \]
を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{2^x-1}{2^x+1}$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f \biggl( \frac{1}{2} \biggr)$を求めよ．
(2)$\displaystyle f(2x)=\frac{2f(x)}{1+f(x)^2}$を示せ．
(3)すべての自然数$n$に対して$\displaystyle b_n=f \biggl( \frac{1}{2^n} \biggr)$は無理数であることを，数学的帰納法を用いて示せ．ただし，有理数$r,\ s$を用いて表される実数$r+s\sqrt{2}$は$s \neq 0$ならば無理数であることを，証明なく用いてもよい．

$a,\ b$を実数の定数として，$2$次の正方行列$A$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & a-b \\
0 & b
\end{array} \right) \]
と定める．自然数$n$に対して$A^n$を推測し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 3)$とおく．平面上の任意のベクトル$\overrightarrow{w}=(x,\ y)$を$\overrightarrow{w}=k \overrightarrow{a}+l \overrightarrow{b}$と表すとき，次の問いに答えよ．

(1)$k,\ l$を$x,\ y$で表せ．
(2)$(1)$の$k,\ l$に対して，点$\mathrm{W}(\overrightarrow{w})$を点$\mathrm{U}(k \overrightarrow{a})$へ移す変換を$f$，点$\mathrm{W}(\overrightarrow{w})$を点$\mathrm{V}(l \overrightarrow{b})$へ移す変換を$g$とするとき，$2$つの変換$f,\ g$を表す行列$P,\ Q$を求めよ．
(3)行列$PQ$，$QP$，$P^2$，$Q^2$を求めよ．
(4)行列$R$が$R=sP+tQ$と表されるとき，自然数$n$に対して$R^n$を類推し，それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ．ただし，$s,\ t$は実数とする．

$a,\ b,\ c,\ d$は実数とし，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
-d & c \\
b & -a
\end{array} \right)$とする．$A^2+A+E=O$が成り立つとき，次の問いに答えよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列とする．

(1)$a+d$および$ad-bc$の値を求めよ．
(2)$A^3,\ A^6,\ B^3,\ B^6$を求めよ．
(3)$B^{3n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて示せ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3a-1 & 9a \\
-a & -3a-1
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とする．

(1)$A^2,\ A^3$を求めよ．
(2)正の整数$n$について$A^n$を推定し，それを数学的帰納法で証明せよ．

関数$f(x)=e^x$について，次の問いに答えよ．

(1)原点から$y=f(x)$のグラフへ引いた接線の方程式を求めよ．
(2)(1)の接線の接点をP$_1$とする．点P$_1$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をA$_1(a_1,\ 0)$とする．このとき，点A$_1$から$y=f(x)$のグラフへ引いた接線の方程式を求めよ．
(3)(2)の接線の接点をP$_2$とする．点P$_2$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をA$_2(a_2,\ 0)$とする．このとき，点A$_2$から$y=f(x)$のグラフへ接線を引き，その接点をP$_3$とする．さらに，点P$_3$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をA$_3(a_3,\ 0)$とする．このようにして，次々に$x$軸上の点A$_1(a_1,\ 0)$，A$_2(a_2,\ 0)$，A$_3(a_3,\ 0)$，$\cdots$を得る．このとき，数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$の一般項$a_n$を推定し，その推定が正しいことを数学的帰納法で証明せよ．

正の数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$と自然数$n \geqq 2$に対して，次の不等式が成り立つことを数学的帰納法で証明しなさい．
\[ \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{1+a_i} > \frac{a_1 +a_2 + \cdots +a_n}{1+a_1 +a_2+\cdots+a_n} \]

関数$f_n(x) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の条件を満たしている．
\[ (\text{i}) f_0(x)=e^x,\quad (\text{ii}) f_n(x)=\int_0^x (n+t)f_{n-1}(t) \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき以下の問いに答えよ．

(1)$f_1(x),\ f_2(x)$を求めよ．
(2)$f_n(x)$の具体的な形を推測し，その結果を数学的帰納法で証明せよ．