次の問いに答えよ．

(1)$5 \tan \theta=2$のとき，$\displaystyle A=\frac{\sin^4 \theta-\cos^4 \theta}{12 \sin \theta \cos \theta+6}$の値を求めよ．
(2)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$の$7$個の数字がある．これらの数字を並べて$7$桁の整数を作る．ただし，同じ数字は$2$度以上使わないものとする．このとき，偶数が隣り合わないような$7$桁の整数は全部で$J$個できる．また，これらの$J$個の中で奇数となるものは$K$個できる．$J$と$K$の値を求めよ．
(3)$m$を自然数とする．関数$f(x)=(x-2) \sqrt{x^4(x+1)^2}$に対して，定積分$\displaystyle B=m \int_{-2}^2 f(x) \, dx$の値が整数となる$m$の最小値$M$の値を求めよ．また，このときの$B$の値を求めよ．

$n$を自然数とする．数字$1$が書かれたカードが$n$枚，数字$4$が書かれたカードが$1$枚，$\triangle$が書かれたカードが$1$枚，合計$n+2$枚のカードがある．これら$n+2$枚のカードから$2$枚のカードを同時に引き，カードに書かれた数字の合計を得点とするが，引いたカードの中に$\triangle$が書かれたカードが含まれる場合には，得点は$0$点とする．

(1)得点が$0$点となる確率，得点が$2$点となる確率，得点が$5$点となる確率をそれぞれ求めよ．
(2)得点の期待値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた期待値を$a_n$とおくとき，$a_{n+1}-a_n$の符号を調べることにより，$a_n$が最大になる$n$をすべて求めよ．

$n$を自然数とする．数字$1$が書かれたカードが$n$枚，数字$4$が書かれたカードが$1$枚，$\triangle$が書かれたカードが$1$枚，合計$n+2$枚のカードがある．これら$n+2$枚のカードから$2$枚のカードを同時に引き，カードに書かれた数字の合計を得点とするが，引いたカードの中に$\triangle$が書かれたカードが含まれる場合には，得点は$0$点とする．

(1)得点が$0$点となる確率，得点が$2$点となる確率，得点が$5$点となる確率をそれぞれ求めよ．
(2)得点の期待値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた期待値を$a_n$とおくとき，$a_{n+1}-a_n$の符号を調べることにより，$a_n$が最大になる$n$をすべて求めよ．

$n$を自然数とする．$1$から$2n$までの番号をつけた$2n$枚のカードを袋に入れ，よくかき混ぜて$n$枚を取り出し，取り出した$n$枚のカードの数字の合計を$A$，残された$n$枚のカードの数字の合計を$B$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$n$が奇数のとき，$A$と$B$が等しくないことを示せ．
(2)$n$が偶数のとき，$A$と$B$の差は偶数であることを示せ．
(3)$n=4$のとき，$A$と$B$が等しい確率を求めよ．

$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$のそれぞれの数字が書かれた玉が$2$個ずつ，合計$10$個ある．

(1)$10$個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて$2$個の玉を取り出す．書かれている$2$つの数字の積が$10$となる確率を求めよ．
(2)$10$個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて$4$個の玉を取り出す．書かれている$4$つの数字の積が$100$となる確率を求めよ．
(3)$10$個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて$6$個の玉を取り出す．$1$個目から$3$個目の玉に書かれている$3$つの数字の積と，$4$個目から$6$個目の玉に書かれている$3$つの数字の積が等しい確率を求めよ．

$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$のそれぞれの数字が書かれた玉が$2$個ずつ，合計$10$個ある．

(1)$10$個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて$2$個の玉を取り出す．書かれている$2$つの数字の積が$10$となる確率を求めよ．
(2)$10$個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて$4$個の玉を取り出す．書かれている$4$つの数字の積が$100$となる確率を求めよ．
(3)$10$個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて$6$個の玉を取り出す．$1$個目から$3$個目の玉に書かれている$3$つの数字の積と，$4$個目から$6$個目の玉に書かれている$3$つの数字の積が等しい確率を求めよ．

${2014}^{10}$に関して，以下の問に答えよ．ただし，必要ならば${7}^9=40353607$および${7}^{10}=282475249$を用いてよい．

(1)${2014}^{10}$の十の位の数字を求めよ．
(2)${2014}^{10}$の十万の位の数字を求めよ．
(3)${2014}^{10}$の上$3$桁の数字を求めよ．

${2014}^{10}$に関して，以下の問に答えよ．ただし，必要ならば${7}^9=40353607$および${7}^{10}=282475249$を用いてよい．

(1)${2014}^{10}$の十の位の数字を求めよ．
(2)${2014}^{10}$の十万の位の数字を求めよ．
(3)${2014}^{10}$の上$3$桁の数字を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$，$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような，$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ．

(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する．

(2)$n$を$0$以上の整数とする．$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に，最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか．ただし，$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい．

注：例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり，$14225$の最上位の桁の数字は$1$である．

自然数$n$に対し，$3$個の数字$1,\ 2,\ 3$から重複を許して$n$個並べたもの$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$の全体の集合を$S_n$とおく．$S_n$の要素$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$に対し，次の$2$つの条件を考える．

条件$\mathrm{C}_{12}$：$1 \leqq i<j \leqq n$である整数$i,\ j$の組で，$x_i=1$，$x_j=2$を満たすものが少なくとも$1$つ存在する．
条件$\mathrm{C}_{123}$：$1 \leqq i<j<k \leqq n$である整数$i,\ j,\ k$の組で，$x_i=1$，$x_j=2$，$x_k=3$を満たすものが少なくとも$1$つ存在する．
例えば，$S_4$の要素$(3,\ 1,\ 2,\ 2)$は条件$\mathrm{C}_{12}$を満たすが，条件$\mathrm{C}_{123}$は満たさない．
$S_n$の要素$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$のうち，条件$\mathrm{C}_{12}$を満たさないものの個数を$f(n)$，条件$\mathrm{C}_{123}$を満たさないものの個数を$g(n)$とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$f(4)$と$g(4)$を求めよ．
(2)$f(n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$g(n+1)$を$g(n)$と$f(n)$を用いて表せ．
(4)$g(n)$を$n$を用いて表せ．