「数字」について
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国立 鳥取大学 2015年 第1問$4$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$5$桁の整数について，以下の個数を求めよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．
(1)$2$の倍数の個数
(2)$9$の倍数の個数
(3)$22000$以上の整数の個数
(1)$2$の倍数の個数
(2)$9$の倍数の個数
(3)$22000$以上の整数の個数
国立 鳥取大学 2015年 第2問$4$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$5$桁の整数について，以下の個数を求めよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．
(1)$2$の倍数の個数
(2)$9$の倍数の個数
(3)$22000$以上の整数の個数
(1)$2$の倍数の個数
(2)$9$の倍数の個数
(3)$22000$以上の整数の個数
国立 鳥取大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$4$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$5$桁の整数について，以下の個数を求めよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．
(i) $2$の倍数の個数
(ii) $9$の倍数の個数
(iii) $22000$以上の整数の個数
(2)前問と同じ方式で$5$桁の整数を独立に$2$個作り，それらを$m,\ n$とするとき，$m \leqq n$となる$(m,\ n)$の組の個数を求めよ．
(1)$4$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$5$桁の整数について，以下の個数を求めよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．
(i) $2$の倍数の個数
(ii) $9$の倍数の個数
(iii) $22000$以上の整数の個数
(2)前問と同じ方式で$5$桁の整数を独立に$2$個作り，それらを$m,\ n$とするとき，$m \leqq n$となる$(m,\ n)$の組の個数を求めよ．
国立 大阪大学 2015年 第5問$n$を$2$以上の整数とする．正方形の形に並んだ$n \times n$のマスに$0$または$1$のいずれかの数字を入れる．マスは上から第$1$行，第$2$行，$\cdots$，左から第$1$列，第$2$列，$\cdots$，と数える．数字の入れ方についての次の条件$p$を考える．
条件$p$：$1$から$n-1$までのどの整数$i,\ j$についても，第$i$行，第$i+1$行と第$j$列，第$j+1$列とが作る$2 \times 2$の$4$個のマスには$0$と$1$が$2$つずつ入る．
（図は省略）
(1)条件$p$を満たすとき，第$n$行と第$n$列の少なくとも一方には$0$と$1$が交互に現れることを示せ．
(2)条件$p$を満たすような数字の入れ方の総数$a_n$を求めよ．
条件$p$：$1$から$n-1$までのどの整数$i,\ j$についても，第$i$行，第$i+1$行と第$j$列，第$j+1$列とが作る$2 \times 2$の$4$個のマスには$0$と$1$が$2$つずつ入る．
（図は省略）
(1)条件$p$を満たすとき，第$n$行と第$n$列の少なくとも一方には$0$と$1$が交互に現れることを示せ．
(2)条件$p$を満たすような数字の入れ方の総数$a_n$を求めよ．
国立 九州工業大学 2015年 第4問$1$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれた$9$個の玉があり，これらのうち，$1,\ 2,\ 3$が書かれた玉をそれぞれ玉$1$，玉$2$，玉$3$と呼ぶ．以下の問いに答えよ．
(1)$9$個の玉から$3$個を選んで$1$つの箱に入れる．この入れ方は何通りあるか．
(2)$(1)$の入れ方のうち，箱に，玉$1$と玉$2$がいっしょに含まれず，玉$1$と玉$3$もいっしょに含まれないものは何通りあるか．
(3)$9$個の玉を区別できない$3$つの箱に分けて入れる．ただし，各箱にはそれぞれ$3$個ずつの玉を入れるものとする．この入れ方は何通りあるか．
(4)$(3)$の入れ方のうち，どの箱にも，玉$1$と玉$2$がいっしょに含まれず，玉$1$と玉$3$もいっしょに含まれないものは何通りあるか．
(1)$9$個の玉から$3$個を選んで$1$つの箱に入れる．この入れ方は何通りあるか．
(2)$(1)$の入れ方のうち，箱に，玉$1$と玉$2$がいっしょに含まれず，玉$1$と玉$3$もいっしょに含まれないものは何通りあるか．
(3)$9$個の玉を区別できない$3$つの箱に分けて入れる．ただし，各箱にはそれぞれ$3$個ずつの玉を入れるものとする．この入れ方は何通りあるか．
(4)$(3)$の入れ方のうち，どの箱にも，玉$1$と玉$2$がいっしょに含まれず，玉$1$と玉$3$もいっしょに含まれないものは何通りあるか．
国立 防衛医科大学校 2015年 第2問スイッチを押すと，$0$から$n$までの整数が$1$つ表示される機械がある．表示される数字を$X$とすると，$X=k$となる確率$P(X=k)=C \alpha^k (k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n)$である．ただし，$C$は定数，$0<\alpha<1$である．
(1)$P(X=k)$を$\alpha$と$k$で表せ（$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n$）．
(2)$P(X<k)>1-\alpha^k$であることを示せ（$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n+1$）．
(3)確率$p$で$1$点もらえ，確率$1-p$で得点がもらえない試行を考える（$0<p<1$）．この試行を独立に$m$回行ったとき，$l$点（$0 \leqq l \leqq m$）もらえる確率を$Q_{m,l}(p)$と表す．このとき，$m,\ l$を一定とし，$p$を変数とみなして以下の問に答えよ．
(i) $y=\log Q_{m,l}(p)$はどのような変化をするか．$p$を横軸，$y$を縦軸とする$y$のグラフの概形を描け．ただし，$\log$は自然対数である．
(ii) $Q_{m,l}(p)$を最大にする$p$を求めよ．
(4)$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$とする．このとき，$Q_{2m,m}(P(X<k))$を最大にする$k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を求めよ．
(1)$P(X=k)$を$\alpha$と$k$で表せ（$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n$）．
(2)$P(X<k)>1-\alpha^k$であることを示せ（$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n+1$）．
(3)確率$p$で$1$点もらえ，確率$1-p$で得点がもらえない試行を考える（$0<p<1$）．この試行を独立に$m$回行ったとき，$l$点（$0 \leqq l \leqq m$）もらえる確率を$Q_{m,l}(p)$と表す．このとき，$m,\ l$を一定とし，$p$を変数とみなして以下の問に答えよ．
(i) $y=\log Q_{m,l}(p)$はどのような変化をするか．$p$を横軸，$y$を縦軸とする$y$のグラフの概形を描け．ただし，$\log$は自然対数である．
(ii) $Q_{m,l}(p)$を最大にする$p$を求めよ．
(4)$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$とする．このとき，$Q_{2m,m}(P(X<k))$を最大にする$k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を求めよ．
国立 和歌山大学 2015年 第1問$n$を$1$以上の整数とする．袋の中に，$1$の数字を書いたカードが$1$枚，$2$の数字を書いたカードが$2$枚，$3$の数字を書いたカードが$3$枚入っている．この袋の中から，無作為にカードを$1$枚取り出して数字を記録し，もとに戻すという試行を繰り返す．次の問いに答えよ．
(1)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字すべての積を$R_n$とする．$R_n$が$3$で割り切れない確率と，$R_n$が$6$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字の合計を$S_n$とし，$S_n$が偶数である確率を$p_n$とする．$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表し，数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
(1)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字すべての積を$R_n$とする．$R_n$が$3$で割り切れない確率と，$R_n$が$6$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字の合計を$S_n$とし，$S_n$が偶数である確率を$p_n$とする．$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表し，数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
国立 和歌山大学 2015年 第1問$n$を$1$以上の整数とする．袋の中に，$1$の数字を書いたカードが$1$枚，$2$の数字を書いたカードが$2$枚，$3$の数字を書いたカードが$3$枚入っている．この袋の中から，無作為にカードを$1$枚取り出して数字を記録し，もとに戻すという試行を繰り返す．次の問いに答えよ．
(1)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字すべての積を$R_n$とする．$R_n$が$3$で割り切れない確率と，$R_n$が$6$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字の合計を$S_n$とし，$S_n$が偶数である確率を$p_n$とする．$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表し，数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
(1)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字すべての積を$R_n$とする．$R_n$が$3$で割り切れない確率と，$R_n$が$6$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字の合計を$S_n$とし，$S_n$が偶数である確率を$p_n$とする．$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表し，数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
国立 奈良女子大学 2015年 第2問$n$を自然数とする．$n$個の白球，$n$個の赤球，$1$から$n$までの数字が$1$つずつ書かれた$n$枚のカードがある．次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$の操作を順に行う．
(i) $n$枚のカードから$1$枚取り出す．
(ii) 取り出されたカードに書かれた数字と同じ個数の赤球と$n$個の白球を袋に入れる．
(iii) 袋から$1$個の球を取り出す．
このとき，取り出された球が白球である確率を$P_n$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$P_1,\ P_2$をそれぞれ求めよ．
(2)定積分を利用して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．
(i) $n$枚のカードから$1$枚取り出す．
(ii) 取り出されたカードに書かれた数字と同じ個数の赤球と$n$個の白球を袋に入れる．
(iii) 袋から$1$個の球を取り出す．
このとき，取り出された球が白球である確率を$P_n$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$P_1,\ P_2$をそれぞれ求めよ．
(2)定積分を利用して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．
国立 豊橋技術科学大学 2015年 第4問$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が書かれた$6$枚のカードがある．以下の問いに答えよ．ただし，答えは既約分数で示せ．
(1)これら$6$枚のカードの中から$4$枚を取って並べるとき，$4$桁の整数は全部で何通りできるか求めよ．
(2)これら$6$枚のカードを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$組に分ける方法は全部で何通りあるか求めよ．ただし，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$いずれの組も少なくとも$1$枚のカードを含む．
(3)これら$6$枚のカードを$2$組に分ける方法は全部で何通りあるか求めよ．ただし，いずれの組も少なくとも$1$枚のカードを含む．
(4)これら$6$枚のカードが箱に入っている．この箱の中から$2$枚のカードを一度に無作為に取り出す．大きい方の数字が$4$以下で，小さい方の数字が$2$以上である確率を求めよ．
(5)これら$6$枚のカードを無作為に横一列に並べるとき，$1$が$0$の隣にならない確率を求めよ．
(1)これら$6$枚のカードの中から$4$枚を取って並べるとき，$4$桁の整数は全部で何通りできるか求めよ．
(2)これら$6$枚のカードを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$組に分ける方法は全部で何通りあるか求めよ．ただし，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$いずれの組も少なくとも$1$枚のカードを含む．
(3)これら$6$枚のカードを$2$組に分ける方法は全部で何通りあるか求めよ．ただし，いずれの組も少なくとも$1$枚のカードを含む．
(4)これら$6$枚のカードが箱に入っている．この箱の中から$2$枚のカードを一度に無作為に取り出す．大きい方の数字が$4$以下で，小さい方の数字が$2$以上である確率を求めよ．
(5)これら$6$枚のカードを無作為に横一列に並べるとき，$1$が$0$の隣にならない確率を求めよ．