次の各問題の$[　]$に適する答えを記入せよ．

(1)$x^3+ax^2+bx+1$を$x-1$で割ると余りは$4$であり，$2x-1$で割ると余りは$\displaystyle \frac{3}{2}$である．このとき$(a,\ b)=[ア]$である．
(2)$1$の数字が書かれたカード$1$枚，$2$の数字が書かれたカード$2$枚，$3$の数字が書かれたカード$2$枚の計$5$枚のカードを並べてできる$5$けたの数字の中で，$23000$より大きいものは$[イ]$個ある．
(3)関数$\displaystyle y=\sqrt{2} \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)-\sin 2x$の最大値は$[ウ]$である．

$1$から$9$までの数字を$1$つずつ書いた$9$枚のカードが袋の中に入っている．この中から$3$枚のカードを同時に取り出したとき，

(1)$1$枚が$2$以下で，$2$枚が$7$以上となる確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コサ]}$である．
(2)最小の数が$2$以下で，最大の数が$7$以上となる確率は$\displaystyle \frac{[シス]}{[セソ]}$である．
(3)最大の数が$7$となる確率は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チツ]}$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)一般項が$a_n=2n+1$で与えられる数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_{10}=[ア]$であり，$S_n=9999$となるのは$n=[イ]$のときである．
(2)$A=\left( \begin{array}{rr}
1 & -3 \\
-2 & 3
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$のとき，$A^2-4A=[ウ]$であり，$A^3-5A^2+A-E=[エ]$である．
(3)複素数$\alpha,\ \beta$が$\alpha^3+\beta^3=-2$，$\alpha\beta=1$を満たすとき，$\alpha+\beta=[オ]$であり，$\alpha^2+\beta^2=[カ]$である．
(4)関数$\displaystyle y=|\cos x|+2 \sin \frac{x}{2}$を考える．$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$y$のとりうる値の範囲は$[キ]$である．$\displaystyle \frac{\pi}{2}<x \leqq \pi$のとき，$y$のとりうる値の範囲は$[ク]$である．
(5)$1$と書かれたカード，$2$と書かれたカード，$3$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入った袋がある．この袋からでたらめにカードを$1$枚取り出して，書かれた数字の数だけコインをもらい，カードを袋に戻すという試行を繰り返すゲームを行う．ゲームが終了するのは，試行を$2$回繰り返した後にそれまでにもらったコインの枚数の合計がちょうど$4$枚になったとき，または，そうならずに試行を$3$回繰り返したときのいずれかである．このゲームが終了したときに，それまでにもらったコインの枚数の合計が$4$枚である確率は$[ケ]$であり，$6$枚以上である確率は$[コ]$である．

$1$から$120$までの数字が書かれたカード$120$枚から任意に$1$枚取り出すとき，次の問いに答えなさい．

(1)取り出したカードの数字が$2$でも$3$でも割り切れる確率を求めなさい．
(2)取り出したカードの数字が$3$で割り切れるが，$2$で割り切れない確率を求めなさい．
(3)取り出したカードの数字が$2$でも$3$でも割り切れない確率を求めなさい．

さいころを$4$個同時に振って$x$種類の数字がでたら$x$点とする．例えば$1,\ 2,\ 2,\ 5$がでたら$3$点である．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$1$点となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウエ]}$である．

(2)$4$点となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$である．

(3)$2$点となる確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．

(4)$3$点となる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]}$である．

(5)得点$x$の期待値は$\displaystyle \frac{[ソタチ]}{[ツテト]}$である．

$6$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$を重複なく使ってできる$5$桁の数を，小さい方から順に並べる．

(1)初めて$30000$以上になる数を求めよ．また，その数は何番目か答えよ．
(2)$300$番目の数を答えよ．

次の$[　]$を適当に補え．

(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[　]$となる．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x^2-2x-3<0 \\
x^2+3x+1>0
\end{array} \right.$をみたす$x$の範囲は$[　]$である．
(3)$x$の$2$次方程式$x^2-2ax-a^2+1=0$が実数解をもたないような実数$a$の範囲は$[　]$である．
(4)初速$v \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$で地上から真上に投げたボールの$x$秒後の高さ$y \; \mathrm{m}$は，$y=vx-5x^2$で表されるものとする．地上から真上に投げたボールが$3$秒後に最高点に達したとすると，ボールの初速は$[　] \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$であり，最高点の高さは$[　] \; \mathrm{m}$である．
(5)$4$桁の自然数で各位の数字がすべて異なるものは全部で$[　]$個あり，そのうち，$1234$より大きいものは全部で$[　]$個である．
(6)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある．共通接線がちょうど$3$本引けるとき，この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[　]$である．
(7)$\mathrm{A}$君は$3$校の大学を受験し，合格する確率はすべて等しく$\displaystyle \frac{1}{2}$であるという．$\mathrm{A}$君が少なくとも$1$校に合格する確率は$[　]$である．また，合格した大学には$1$校につき$30$万円の入学金を支払うとすると，支払う入学金の期待値は$[　]$円である．

$1$から$10$までの数字が$1$つずつ書かれた球$10$個の入っている箱がある．
\begin{itemize}
この箱から$1$個の球を取り出したとき，その球の数字を$X$とする．
$1$回目に取り出した球を箱に戻さず，再び$1$個の球を取り出す．$2$回目に取り出した球の数字を$Y$とする．
$2$回目に取り出した球も箱に戻さず，再び$1$個の球を取り出す．$3$回目に取り出した球の数字を$Z$とする．
\end{itemize}
このとき，以下の設問に答えよ．

(1)「$(X,\ Y)$の組み合わせの総数」および「$(X,\ Y,\ Z)$の組み合わせの総数」を求めよ．
(2)$X<Y$となる確率を求めよ．
(3)$X<Z<Y$となる確率を求めよ．

$1$から$9$の数字がそれぞれ書かれた$9$枚のカードから，$\mathrm{A}$グループとして$3$枚，$\mathrm{B}$グループとして$4$枚のカードを選ぶ．次の問いに答えよ．

(1)このような選び方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$グループの数字がすべて$4$以下になる確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$グループの最大数が$\mathrm{B}$グループの最小数より小さい場合の得点を$\mathrm{A}$グループの数字の和とし，そうでない場合は得点を$0$とする．得点の期待値を求めよ．

$1,\ 2,\ 3$の$3$種類の数字を使ってできる正の整数を小さい方から順に並べた列を$(S)$とする：
\[ (S):\qquad 1,\ 2,\ 3,\ 11,\ 12,\ 13,\ 21,\ 22,\ 23,\ 31,\ \cdots \]
さらに，この列の区切りをなくして，すべての数字を一列に並べたものを$(T)$とする：
\[ (T):\qquad 12311121321222331 \cdots \]
次の各問に答えよ．

(1)$(S)$において，$12$は$5$番目の整数である．$312$は何番目の整数になるか求めよ．
(2)$(S)$において，$2010$番目の整数を求めよ．
(3)$(T)$において，初めて$2$が$3$個連続して並ぶ部分の最初の$2$は$12$番目の数字である．初めて$1$が$2n+1$個連続して並ぶ部分の最初の$1$は何番目の数字になるか求めよ．ただし，$n$は自然数とする．