次の空欄を適当に補え．

(1)円$x^2+2x+y^2-6y-6=0$の半径は$[ア]$であり，中心の座標は$[イ]$である．

(2)$\displaystyle 2 \log_84+\log_3 \sqrt{15}-\frac{1}{\log_59}$を計算すると$[ウ]$である．

(3)$0 \leqq x<2\pi$とする．方程式$\cos 2x-5 \cos x+3=0$を解くと，$x=[エ],\ [オ]$である．
(4)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$つの数字から同じ数字を繰り返し使わずに作れる$3$桁の偶数は全部で$[カ]$個ある．

空欄$[オ]$，$[カ]$，$[キ]$に当てはまるものを解答群の中から選び，それ以外の空欄には，当てはまる$0$から$9$までの数字を入れよ．

座標平面上に$3$つの放物線$C_1:y=x^2$，$C_2:y=-x^2-8x-8$，$C_3:y=-x^2+ax+b$がある．$C_1$と$C_3$は$t>0$の範囲にただ$1$つの共有点$(t,\ t^2)$を持ち，直線$\ell$は点$\mathrm{P}$で$C_2$に接し，なおかつ点$\mathrm{Q}$で$C_3$に接しているとする．次の問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の共有点は$\displaystyle \left( -[ア],\ [イ] \right)$である．また，$C_1$と$C_3$もただ$1$つの共有点を持つことから$a=[ウ]t$，$b=-[エ]t^2$である．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha$，$\beta$とする．$\ell$は点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線および点$\mathrm{Q}$における$C_3$の接線に等しい．これら$2$つの接線の傾きおよび$y$軸との交点がともに等しいことから
\[ \beta-\alpha=[オ],\quad \beta^2-\alpha^2=[カ] \]
が成り立つ．したがって，$\beta+\alpha=[キ]$である．これより，直線$\ell$の方程式は
\[ y=\left( t-[ク] \right) x+\frac{t^2+[ケコ]t+[サ]}{[シ]} \]
である．
(3)$C_3$と$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S_1$，$C_1$と直線$\ell$によって囲まれる部分の面積を$S_2$とすると，


$\displaystyle S_1=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]} \cdot [ソ]t^3$

$\displaystyle S_2=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]} \cdot \left( t+[タ] \right)^3$


である．$S_1-S_2$は$\displaystyle t=\frac{[チ]+[ツ] \sqrt{[テ]}}{[ト]}$のときに最小値をとる．

オ，カ，キの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\nagamarurei t+2 & \nagamaruichi t-2 & \nagamaruni 2t+4 & \nagamarusan t+\sqrt{2} & \nagamarushi t-\sqrt{2} \\
\nagamarugo t^2-2 & \nagamaruroku t^2-4 & \nagamarushichi t^2-8 & \nagamaruhachi 2t^2-4 & \nagamarukyu 2t^2-8
\end{array} \]
（図は省略）

次の問いに答えよ．

(1)$(ⅰ)$～$(ⅲ)$のそれぞれの場合について，$3$つの実数$A,\ B,\ C$の大小関係を，下の選択肢から選べ．

(i) $A=\sin 1^\circ$，$B=\tan 1^\circ$，$C=1-\cos 2^\circ$
(ii) $A=\comb{150}{80}$，$B=\comb{150}{81}$，$C=\comb{151}{81}$

(iii) $\displaystyle A=\frac{10}{\pi}$，$B=\sqrt{10}$，$\displaystyle C=\frac{1}{\tan 15^\circ}$


選択肢： \quad $(\mathrm{a}) A>B>C \qquad (\mathrm{b}) A>C>B \qquad (\mathrm{c}) B>A>C$
\qquad\qquad \;\;\; $(\mathrm{d}) B>C>A \qquad (\mathrm{e}) C>A>B \qquad (\mathrm{f}) C>B>A$

(2)$\tan \alpha=-\sqrt{7} (0^\circ<\alpha<180^\circ)$のとき
\[ \cos \alpha=\frac{[ア] \sqrt{[イ]}}{[ウ]} \]
である．
(3)$a,\ b$は自然数で，$\displaystyle \frac{a^2}{b}$の整数部分は$6$桁であり，$\displaystyle \frac{b^2}{a}$は小数第$3$位にはじめて$0$でない数字が現われる$1$より小さい数である．このとき，$a$は$[エ]$桁または$[オ]$桁，$b$は$[カ]$桁である．ただし$[エ]<[オ]$である．

次の空欄ア～ソに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$x$が$0<x<1$と$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=3$を満たすとき，$x^3$の値は$[ア]$である．
(2)不等式$\displaystyle \log_5 \left( \frac{x+1}{2} \right)+\log_5(x-4)<2$の解は$[イ]<x<[ウ]$である．
(3)$\sqrt{3} \sin \theta-\cos \theta>1 (-\pi<\theta<\pi)$を満たす$\theta$の範囲は，$[エ]<\theta<[オ]$である．
(4)$3$次方程式$x^3+3x^2-24x-a=0$が，異なる$3$つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲は，$[カ]<a<[キ]$である．
(5)積分$\displaystyle \int_{-3}^3 |x^2-1| \, dx$の値は$[ク]$である．
(6)$2$次不等式$ax^2-4x+b<0$の解が$-3<x<5$であるとき，定数$a$は$[ケ]$であり，定数$b$は$[コ]$である．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ -1,\ 1)$と$\overrightarrow{b}=(x-2,\ -x,\ 4)$のなす角が$30^\circ$のとき，$x$の値は$[サ]$である．
(8)点$(x,\ y)$が直線$2x+3y=4$の上を動くとする．$4^x+8^y$が最小値をとるとき，$x,\ y$の値は$x=[シ]$，$y=[ス]$である．
(9)三角形$\mathrm{ABC}$の$\mathrm{A}$における角度は$45^\circ$，$\mathrm{C}$における角度は$75^\circ$，辺$\mathrm{AC}$の長さが$6$であるとき，辺$\mathrm{BC}$の長さは$[セ]$である．
\mon $0,\ 1,\ 2,\ 3$の数字から選んで$4$桁の自然数を作るとき，同じ数字を何回用いてもよいとすると，$2$の倍数でない自然数は$[ソ]$個できる．

次の問いに答えよ．

(1)$\log_{10}x+\log_{10}y-\log_{10}(y+1)=1$を満たす整数$x,\ y$に対して，
\[ x+y=[ア] \text{または} [イ] \]
が成り立つ．ここで$[ア]<[イ]$とする．
(2)$(100.1)^7$の$100$の位の数字は$[ウ]$であり，小数第$4$位の数字は$[エ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}>\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}=8$，$\displaystyle \cos A=\frac{9}{40}$であり，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とすると$\mathrm{AM}=5$である．このとき，
\[ \mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2=[オ],\quad \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC}=[カ] \]
である．したがって
\[ \mathrm{AB}=[キ] \sqrt{[ク]},\quad \mathrm{AC}=[ケ] \sqrt{[コ]} \]
である．

ボタンを押すと，$0$と$1$のどちらか一方の数字を表示する機械がある．ボタンを連続して押すとき，直前に表示された数字と同じ数字が再び表示される確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$，違う数字の表示される確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$である．ただし，始めにボタンを押すときには，$0$と$1$が表示される確率は等しい．

(1)$4$回連続してボタンを押すとき，$4$回とも同じ数字が表示される確率は$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]}$である．また，$4$回目に表示された数字が$1$である確率は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ]}$である．
(2)$4$回連続してボタンを押すときに表示される数字の合計が$1$である確率は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．また，合計が$2$である確率は$\displaystyle \frac{[ム]}{[メ]}$である．
(3)始めに表示された数字が$1$のとき，さらに$4$回連続してボタンを押して表示される$4$つの数字の合計が$2$である確率は$\displaystyle \frac{[モ]}{[ヤ]}$である．

$1$と$2$の数字だけを使って$6$桁の整数をつくると，$[　]$通りの整数ができる．そのうち，$121212$よりも小さい整数は$[　]$通りある．

次の$[　]$にあてはまる数字または符号を記入せよ．

(1)$\displaystyle -2<\log_8 x<\frac{5}{3}$を満たす$x$は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}<x<[　]$である．
(2)$x^3+ax^2+x+b=0$が$1$と$-2$を解にもつとき，もう$1$つの解は$[　]$である．
(3)$7$個の数字$1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4$を$1$列に並べる．このとき，偶数番目がすべて奇数になるような並べ方は$[　]$通りある．
(4)$2$点$(2,\ 0,\ 1)$，$(1,\ 1,\ 2)$を通る直線がある．原点$\mathrm{O}$からこの直線に下ろした垂線の足を$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]} \right)$であり，原点から点$\mathrm{A}$までの距離は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$である．

次の$[　]$を適当に補え．

(1)連続する$4$つの自然数を小さい順に$a,\ b,\ c,\ d$とする．$\displaystyle \frac{ac}{bd}=\frac{5}{8}$のとき，$a=[　]$である．
(2)袋の中に$0$と書かれたカードが$1$枚，$1$と書かれたカードが$2$枚，$2$と書かれたカードが$3$枚，合わせて$6$枚のカードが入っている．この袋から$1$枚ずつ$4$枚のカードを取り出し，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$[　]$である．また，$1$枚カードを取り出し，カードを袋に戻すことを$4$回くり返した場合，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$[　]$である．
(3)数列$\{a_n\}$は関係式$a_1=1$，$\displaystyle 2^{a_{n+1}}=\frac{4^{a_n}}{\sqrt{2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとする．このとき，$a_3=[　]$であり，$a_n=[　]$である．
(4)$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$において，$\tan \theta=-2$のとき，$\cos^2 \theta=[　]$，$\displaystyle \sin \left( 2\theta+\frac{\pi}{4} \right)=[　]$である．
(5)$2$次方程式$x^2-kx+9=0$が実数解をもつような実数$k$の範囲は$[　]$である．このとき，その実数解を$\alpha,\ \beta$とすると，$(\alpha+1)^2+(\beta+1)^2$の最小値は$[　]$である．
(6)整式$x^3+3x$を$x^2+1$で割った商は$[　]$であり，余りは$[　]$である．また，$\displaystyle \int_0^2 \frac{x^3+3x}{x^2+1} \, dx=[　]$である．

数列$1,\ 2,\ 1,\ 3,\ 2,\ 1,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1,\ 5,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1,\ \cdots,\ k,\ k-1,\ \cdots,\ 2,\ 1,\ k+1,\ k,\ \cdots,\ 2,\ 1,\ \cdots$の第$n$項を$a_n$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)数字$9$が$16$度目に現れるのは第何項か．
(2)$\displaystyle \sum_{n=1}^{365} a_n$を求めなさい．