$1$から$4$までの数字が$1$つずつ書かれた$4$枚のカードがある．その$4$枚のカードを横一列に並べ，以下の操作を考える．

操作：$1$から$4$までの数字が$1$つずつ書かれた$4$個の球が入っている袋から同時に$2$個の球を取り出す．球に書かれた数字が$i$と$j$ならば，$i$のカードと$j$のカードを入れかえる．その後，$2$個の球は袋に戻す．

初めにカードを左から順に$1$，$2$，$3$，$4$と並べ，上の操作を$n$回繰り返した後のカードについて，以下の問いに答えよ．

(1)$n = 2$のとき，カードが左から順に$1$，$2$，$3$，$4$と並ぶ確率を求めよ．
(2)$n = 2$のとき，カードが左から順に$4$，$3$，$2$，$1$と並ぶ確率を求めよ．
(3)$n = 2$のとき，左端のカードの数字が$1$になる確率を求めよ．
(4)$n = 3$のとき，左端のカードの数字の期待値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)中心が点$(1,\ 2)$，半径が3の円がある．点$\mathrm{P}$がこの円上を動くとき，点$\mathrm{A}(-3,\ 6)$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分$\mathrm{AP}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．
(2)5個の数字1，2，3，4，5から異なる3個を取って3桁の自然数を作る．3の倍数にも5の倍数にもならないものはいくつあるか．

以下の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に関する次の命題を証明せよ．

(i) $n$を$3$で割った余りが1ならば，$n^2$を$3$で割った余りは$1$である．
(ii) $n$が$3$の倍数であることは，$n^2$が$3$の倍数であるための必要十分条件である．

(2)$100$から$999$までの$3$桁の自然数について，次の問いに答えよ．

(i) $3$種類の数字が現れるものは何個あるか．
\mon[$(ⅱ)$)] $0$が現れないものは何個あるか．
(iii) $0$または$1$が現れるものは何個あるか．

(3)$1$から$49$までの自然数からなる集合を全体集合$U$とする．$U$の要素のうち，$50$との最大公約数が$1$より大きいもの全体からなる集合を$V$，また，$U$の要素のうち，偶数であるもの全体からなる集合を$W$とする．いま$A$と$B$は$U$の部分集合で，次の$2$つの条件を満たすものとする．

\mon[(ア)] $A \cup \overline{B}=V$
\mon[(イ)] $\overline{A} \cap \overline{B} = W$

このとき，集合$A$の要素をすべて求めよ．ただし，$\overline{A}$と$\overline{B}$はそれぞれ$A$と$B$の補集合とする．

$0$，$1$，$2$，$3$，$4$，$5$の$6$つの数字を重複せずに用いて，$n$桁の整数を作る（$n \leqq 6$）．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$n=3$，すなわち$3$桁の整数で，隣り合う数字の和がどれも$5$にならないような整数はいくつできるか．
(2)$n=4$，すなわち$4$桁の整数で，隣り合う数字の和がどれも$3$にならないような整数はいくつできるか．
(3)$n=4$，すなわち$4$桁の整数で，隣り合う数字の和が$5$になる箇所が$2$つあるような整数をすべて加えるといくらになるか．

1から6までの数字が1つずつ書かれた6枚のカードがある．6枚のカードの中から3枚を取り出し，左から一列に並べる．並べたカードの数字を左から順に百の位，十の位，一の位とする3桁の整数を$M$とし，また右から順に百の位，十の位，一の位とする3桁の整数を$N$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$M+N$が3の倍数となるカードの並べ方の総数を求めなさい．
(2)$|M-N|<200$を満たすカードの並べ方の総数を求めなさい．

袋の中に$5$個の玉が入っている．それらは，$0$と書かれた玉が$2$個，$1$と書かれた玉，$-1$と書かれた玉，$2$と書かれた玉がそれぞれ$1$個ずつである．この袋の中から$3$個の玉を取り出す．取り出した$3$個の玉に書かれた数字の和を$m$とする．次に，袋の中に残った$2$個の玉に書かれた数字の積を$n$とする．このように定義された$m$と$n$のもとで，$2$次関数
\[ f(x)=x^2-mx+n \]
を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)$m$のとり得る値をすべて求めよ．
(2)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$をすべて求めよ．
(3)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$のすべてについて，それぞれが起こる確率を求めよ．
(4)不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$について成り立つ確率を求めよ．
(5)方程式$f(x)=0$が異なる実数解$\alpha,\ \beta$をもち，同時に$\alpha<2$かつ$\beta<2$となる確率を求めよ．

袋の中に5個の玉が入っている．それらは，0と書かれた玉が2個，1と書かれた玉，$-1$と書かれた玉，2と書かれた玉がそれぞれ1個ずつである．この袋の中から3個の玉を取り出す．取り出した3個の玉に書かれた数字の和を$m$とする．次に，袋の中に残った2個の玉に書かれた数字の積を$n$とする．このように定義された$m$と$n$のもとで，2次関数
\[ f(x)=x^2-mx+n \]
を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)$m$のとり得る値をすべて求めよ．
(2)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$をすべて求めよ．
(3)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$のすべてについて，それぞれが起こる確率を求めよ．
(4)不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$について成り立つ確率を求めよ．
(5)方程式$f(x)=0$が異なる実数解$\alpha,\ \beta$をもち，同時に$\alpha<2$かつ$\beta<2$となる確率を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$において，$a_n$は小数第$1$位から小数第$n$位までの数字が$0$で小数第$(n+1)$位から小数第$2n$位までの数字が$9$であり，小数第$(2n+1)$位以降の数字が$0$である実数とする．ただし，$0<a_n<1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．また，数列$\{b_n\}$を，$b_n=10^na_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．

(i) $b_1,\ b_2,\ b_3$を求め，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(ii) $\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．$s_n$を求めよ．
(iii) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}s_n$を求めよ．

(2)当たりくじが$k$本入っている$n$本のくじがある．ただし，$n \geqq 2$とする．この中から$2$本のくじを同時に引く．

(i) 少なくとも$1$本当たる確率を，$n$および$k$で表せ．
(ii) $n=21$のとき，少なくとも$1$本当たる確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$以上となる最小の$k$を求めよ．
(iii) $n=21$のとき，$2$本とも当たる確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$以下となる最大の$k$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=x^2-3x+7-3 |x-2|$のグラフをかけ．
(2)方程式$\displaystyle \log_5x-\frac{4}{\log_5x}+\frac{\log_5 x^3}{\log_5 x}=0$を解け．
(3)$a>0$とする．関数$f(t)=t(a-t^2) \ (0<t<\sqrt{a})$の最大値が$2$であるとき，$a$の値を求めよ．
(4)正四面体の各面に$0,\ 1,\ 2,\ 3$の数字が$1$つずつ書かれているさいころがある．このさいころを投げたとき，各面が底面になる確率は等しいものとする．このようなさいころを$2$つ同時に投げ，おのおののさいころの底面に書かれている数の積を$X$とする．$X$の期待値を求めよ．
(5)$2$つの曲線$y=x^2$，$y=-x^2+2x+1$で囲まれる図形の面積を求めよ．

$a>0,\ b>0$は次の式を満たす．
\[ \begin{array}{ll}
ab-b^2+5a-2b+15=0 & \cdots\cdots① \\
a^ab^b-a^bb^a-999a^ab^a=0 & \cdots\cdots②
\end{array} \]
次の問に答えよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771,\ \log_{10}7=0.8451$とする．

(1)$b-a$の値を求めよ．
(2)$a$および$b$の値を求めよ．
(3)$a^{50}$は何桁の整数か．
(4)$a^{50}$の最高位の数字を求めよ．