次の[\phantom{ア]}に適する数または式を記入せよ．

(1)点Oを原点とする座標平面内に，2点A$(5,\ 10)$，B$(-2,\ 4)$がある．$\angle \text{AOB} = \theta$とするとき，$\cos \theta = [ア]$であり，$\sin \theta = [イ]$である．また，$\triangle \text{AOB}$の面積は[ウ]であり，内接円の半径$r$は[エ]である．また，外接円の半径$R$は[オ]であり，外心の座標は[カ]である．さらに，重心の座標は[キ]である．
(2)サイコロを3回投げ，出た目の数字を順に$a,\ b,\ c$とする．このとき，2次方程式$ax^2+bx+c=0$が異なる2つの実数解を持つ確率は[ク]である．また，$\log_{(a+b)}c$が整数となる確率は[ケ]であり，ベクトル$(a,\ b)$とベクトル$(c,\ -1)$が直交する確率は[コ]である．

赤球$2$個，青球$3$個，緑球$1$個が入った白い箱がある．この白い箱から無作為に$1$個の球を取り出し，球の色を確認後，球を白い箱に戻す作業を試行$\mathrm{A}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)試行$\mathrm{A}$を$5$回繰り返すときに，取り出される$5$個の球のうち，$3$個が青球である確率を求めよ．
(2)試行$\mathrm{A}$を$4$回繰り返すときに，少なくとも赤球が$2$個出る確率を求めよ．
次に，赤い箱，青い箱，緑の箱に数字の書かれたカードが$4$枚ずつ入っていて，それぞれの箱のカードに書かれた数字と枚数は次の通りとする．
\begin{itemize}
赤い箱：$1$が$2$枚，$2$が$1$枚，$3$が$1$枚
青い箱：$1$が$1$枚，$2$が$2$枚，$3$が$1$枚
緑の箱：$1$が$2$枚，$2$が$2$枚
\end{itemize}
試行$\mathrm{A}$を$1$回実施し，取り出した球と同じ色の箱から無作為に$1$枚のカードを取り出し，カードに書かれた数字を確認後，カードを元の箱に戻す作業を試行$\mathrm{B}$とする．
(3)試行$\mathrm{B}$を$1$回実施するときに，出る数字の期待値を求めよ．
(4)試行$\mathrm{B}$を$2$回繰り返すときに，出る$2$個の数字の合計が偶数である確率を求めよ．
(5)動点$\mathrm{P}$は数直線上の原点から出発し，奇数回目の試行$\mathrm{B}$で出た数字の分だけ正の方向に動き，偶数回目の試行$\mathrm{B}$で出た数字の分だけ負の方向に動くこととする．試行$\mathrm{B}$を$4$回繰り返したとき，動点$\mathrm{P}$の座標が$3$である確率を求めよ．

以下の問いの空欄$[サ]$～$[ナ]$に適する数値，式を記せ．

(1)$2$次方程式$2x^2-5x+4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，
\[ \alpha^2+\beta^2=[サ],\quad \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=[シ],\quad \alpha^3+\beta^3=[ス] \]
である．
(2)点$\mathrm{P}$が円$x^2+y^2=4$の周上を動くとき，点$\mathrm{A}(8,\ 0)$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分$\mathrm{AP}$を$\mathrm{AQ}:\mathrm{QP}=2:3$に内分する点$\mathrm{Q}$の軌跡は中心$[セ]$，半径$[ソ]$の円である．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$とする．方程式$\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta+1=0$を解くと$\theta=[タ],\ [チ]$である．
(4)$4^{45}$は$[ツ]$桁の数である．また，$\displaystyle \left( \frac{1}{8} \right)^{17}$は，小数第$[テ]$位にはじめて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(5)$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[ト]$である．また，数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和は，$S_n=[ナ]$である．

$n$を$3$以上の整数とする．$3n$枚のカードに1から$3n$までの数字が$1$つずつ書かれている．この中から$3$枚のカードを取りだす．ひとたび取りだしたカードは戻さないものとする．

(1)$3$枚のカードの数字がすべて$3$の倍数である確率を求めよ．
(2)$3$枚のカードの数字の和が$3$の倍数である確率を求めよ．
(3)$3$枚のカードの数字の積が$3$の倍数である確率と$3$枚のカードの数字の和が$3$の倍数でない確率とはどちらが大きいかを調べよ．

数字の2を書いた玉が1個，数字の1を書いた玉が3個，数字の0を書いた玉が4個あり，これら合計8個の玉が袋に入っている．以下の(1)から(3)のそれぞれにおいて，この状態の袋から1度に1個ずつ玉を取り出し，取り出した玉は袋に戻さないものとする．

(1)玉を2度取り出すとき，取り出した玉に書かれた数字の合計が2である確率を求めよ．
(2)玉を4度取り出すとき，取り出した玉に書かれた数字の合計が4以下である確率を求めよ．
(3)玉を8度取り出すとき，次の条件が満たされる確率を求めよ．\\
\quad 条件 \ :\ すべての$n=1,\ 2,\ \cdots,\ 8$に対して，\\
\qquad \qquad 1個目から$n$個目までの玉に書かれた数字の合計は$n$以下である．

$A_0 = \biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする．整数$n \geqq 1$に対して，次の試行により行列$A_{n-1}$から行列$A_n$を定める．

「数字の組$(1,\ 1)$，$(1,\ 2)$，$(2,\ 1)$，$(2,\ 2)$を1つずつ書いた4枚の札が入っている袋から1枚を取り出し，その札に書かれている数字の組が$(i,\ i)$のとき，$A_{n-1}$の$(i,\ j)$成分に1を加えた行列を$A_n$とする．」

この試行を$n$回$(n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$くり返した後に，$A_0,\ A_1,\ \cdots,\ A_{n-1}$が逆行列をもたず$A_n$は逆行列をもつ確率を$p_n$とする．

(1)$p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$n-1$回$(n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$の試行をくり返した後に，$A_{n-1}$の第1行の成分がいずれも正で第2行の成分はいずれも0である確率$q_{n-1}$を求めよ．
(3)$p_n \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を求めよ．

数字$1,\ 2,\ 3$を使ってできる次のような整数の個数を求めよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．

(1)5桁の整数
(2)5桁の整数で2の倍数
(3)5桁の整数で3の倍数
(4)5桁の整数で4の倍数
(5)5桁の整数で6の倍数

数字$1,\ 2,\ 3$を使ってできる次のような整数の個数を求めよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．

(1)$5$桁の整数
(2)$5$桁の整数で$2$の倍数
(3)$5$桁の整数で$3$の倍数
(4)$5$桁の整数で$4$の倍数
(5)$5$桁の整数で$6$の倍数

袋の中に0から4までの数字のうち1つが書かれたカードが1枚ずつ合計5枚入っている．4つの数$0,\ 3,\ 6,\ 9$をマジックナンバーと呼ぶことにする．次のようなルールをもつ，1人で行うゲームを考える．\\
\quad ルール：袋から無作為に 1 枚ずつカードを取り出していく．ただし，一度取
り出したカードは袋に戻さないものとする．取り出したカードの数字の合計がマ
ジックナンバーになったとき，その時点で負けとし，それ以降はカードを取り出
さない．途中で負けとなることなく，すべてのカードを取り出せたとき，勝ちと
する．以下の問に答えよ．

(1)2枚のカードを取り出したところで負けとなる確率を求めよ．
(2)3枚のカードを取り出したところで負けとなる確率を求めよ．
(3)このゲームで勝つ確率を求めよ．

$1$から$4$までの数字が$1$つずつ書かれた$4$枚のカードがある．その$4$枚のカードを横一列に並べ，以下の操作を考える．

操作： \ $1$から$4$までの数字が$1$つずつ書かれた$4$個の球が入っている袋から同時に$2$個の球を取り出す．球に書かれた数字が$i$と$j$ならば，$i$のカードと$j$のカードを入れかえる．その後，$2$個の球は袋に戻す．

初めにカードを左から順に$1$，$2$，$3$，$4$と並べ，上の操作を$2$回繰り返した後のカードについて，以下の問いに答えよ．

(1)カードが左から順に$1,\ 2,\ 3,\ 4$と並ぶ確率を求めよ．
(2)カードが左から順に$4,\ 3,\ 2,\ 1$と並ぶ確率を求めよ．
(3)左端のカードの数字が$1$になる確率を求めよ．
(4)左端のカードの数字の期待値を求めよ．