「数字」について
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私立 東京理科大学 2012年 第1問次の文章中の$[ア]$から$[ヒ]$までに当てはまる数字$0$～$9$を求めよ．ただし，分数は既約分数として表しなさい．
(1)$a$を実数とするとき，方程式
\[ |x|-|x^2-4|+|x+6|=a \]
を考える．この方程式の実数解が$2$個であるための条件は
\[ a<[ア],\quad [イ]<a<[ウ][エ] \]
であり，実数解を持たないための条件は
\[ a>[オ][カ] \]
である．また，次の不等式
\[ |x|-|x^2-4|+|x+6|>2 \]
には，正の整数解が$[キ]$個，負の整数解が$[ク]$個ある．
(2)空間内に点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，それぞれの大きさと内積が
\[ \begin{array}{l}
|\overrightarrow{a}|=9,\quad |\overrightarrow{b}|=12,\quad |\overrightarrow{c}|=\sqrt{42}, \\ \\
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=72,\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=57,\quad \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=48
\end{array} \]
であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角は$\displaystyle \frac{1}{[ケ]} \pi$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[コ][サ]}{[シ]}$である．ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
が$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面と直交するのは$\displaystyle s=\frac{[ス]}{[セ]}$，$\displaystyle t=\frac{[ソ]}{[タ]}$のときである．したがって，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[チ][ツ]$である．
(3)三角関数についての等式
\[ [テ] \cos^3 \theta-[ト] \cos \theta-\cos 3\theta=0 \]
を利用して，$t$に関する$3$次方程式
\[ [テ]t^3-[ト]t-\frac{\sqrt{2}}{2}=0 \]
を解いたとき，$\displaystyle \cos \frac{3}{4} \pi$が解の$1$つであることがわかる．したがって，この方程式の残りの$2$つの解は
\[ \cos \frac{[ナ]}{12} \pi=\frac{\sqrt{[ニ]}+\sqrt{[ヌ]}}{[ネ]} \]
と
\[ \cos \frac{[ノ]}{12} \pi=\frac{\sqrt{[ニ]}-\sqrt{[ヌ]}}{[ネ]} \]
となる．これより，
\[ \tan \frac{[ナ]}{12} \pi=[ハ]-\sqrt{[ヒ]} \]
となる．
(1)$a$を実数とするとき，方程式
\[ |x|-|x^2-4|+|x+6|=a \]
を考える．この方程式の実数解が$2$個であるための条件は
\[ a<[ア],\quad [イ]<a<[ウ][エ] \]
であり，実数解を持たないための条件は
\[ a>[オ][カ] \]
である．また，次の不等式
\[ |x|-|x^2-4|+|x+6|>2 \]
には，正の整数解が$[キ]$個，負の整数解が$[ク]$個ある．
(2)空間内に点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，それぞれの大きさと内積が
\[ \begin{array}{l}
|\overrightarrow{a}|=9,\quad |\overrightarrow{b}|=12,\quad |\overrightarrow{c}|=\sqrt{42}, \\ \\
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=72,\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=57,\quad \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=48
\end{array} \]
であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角は$\displaystyle \frac{1}{[ケ]} \pi$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[コ][サ]}{[シ]}$である．ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
が$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面と直交するのは$\displaystyle s=\frac{[ス]}{[セ]}$，$\displaystyle t=\frac{[ソ]}{[タ]}$のときである．したがって，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[チ][ツ]$である．
(3)三角関数についての等式
\[ [テ] \cos^3 \theta-[ト] \cos \theta-\cos 3\theta=0 \]
を利用して，$t$に関する$3$次方程式
\[ [テ]t^3-[ト]t-\frac{\sqrt{2}}{2}=0 \]
を解いたとき，$\displaystyle \cos \frac{3}{4} \pi$が解の$1$つであることがわかる．したがって，この方程式の残りの$2$つの解は
\[ \cos \frac{[ナ]}{12} \pi=\frac{\sqrt{[ニ]}+\sqrt{[ヌ]}}{[ネ]} \]
と
\[ \cos \frac{[ノ]}{12} \pi=\frac{\sqrt{[ニ]}-\sqrt{[ヌ]}}{[ネ]} \]
となる．これより，
\[ \tan \frac{[ナ]}{12} \pi=[ハ]-\sqrt{[ヒ]} \]
となる．
私立 津田塾大学 2012年 第2問次の問に答えよ．
(1)奇数の平方は$8$で割ると$1$余ることを示せ．
(2)$11,\ 111,\ 1111,\ \cdots$のように数字$1$のみが並ぶ$2$桁以上の整数は平方数ではないことを示せ．
(1)奇数の平方は$8$で割ると$1$余ることを示せ．
(2)$11,\ 111,\ 1111,\ \cdots$のように数字$1$のみが並ぶ$2$桁以上の整数は平方数ではないことを示せ．
私立 昭和大学 2012年 第1問以下の各問に答えよ．
(1)$|x-1| \leqq 2x+1$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．
(2)$2$次関数$y=2x^2-8x+4 (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$3,\ 5,\ 7$の三角形の面積を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{5}{7}$を小数で表したとき，小数第$1000$位の数字を求めよ．
(1)$|x-1| \leqq 2x+1$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．
(2)$2$次関数$y=2x^2-8x+4 (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$3,\ 5,\ 7$の三角形の面積を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{5}{7}$を小数で表したとき，小数第$1000$位の数字を求めよ．
私立 昭和大学 2012年 第2問以下の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle \left( 2x^3-\frac{1}{4x^2} \right)^7$の展開式における$x^6$の項の係数を求めよ．
(2)$1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 3,\ 3,\ 7$の$7$個の数字を使ってできる$7$桁の整数の個数を求めよ．
(3)$2$個のさいころを投げるとき，目の和が偶数である事象を$A$，少なくとも$1$個は$3$の倍数の目が出る事象を$B$とする．確率$P(A)$および$P(A \cap B)$をそれぞれ求めよ．
(1)$\displaystyle \left( 2x^3-\frac{1}{4x^2} \right)^7$の展開式における$x^6$の項の係数を求めよ．
(2)$1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 3,\ 3,\ 7$の$7$個の数字を使ってできる$7$桁の整数の個数を求めよ．
(3)$2$個のさいころを投げるとき，目の和が偶数である事象を$A$，少なくとも$1$個は$3$の倍数の目が出る事象を$B$とする．確率$P(A)$および$P(A \cap B)$をそれぞれ求めよ．
私立 昭和大学 2012年 第1問以下の各問に答えよ．
(1)$|x-1| \leqq 2x+1$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．
(2)$2$次関数$y=2x^2-8x+4 (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$3,\ 5,\ 7$の三角形の面積を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{5}{7}$を小数で表したとき，小数第$1000$位の数字を求めよ．
(1)$|x-1| \leqq 2x+1$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．
(2)$2$次関数$y=2x^2-8x+4 (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$3,\ 5,\ 7$の三角形の面積を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{5}{7}$を小数で表したとき，小数第$1000$位の数字を求めよ．
私立 東京理科大学 2012年 第1問$[ ]$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．
(1)$k$を自然数とすると，不等式
\[ k>\frac{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}{2} \]
が成立する．この不等式の右辺の逆数は$\displaystyle [ア] \left( \sqrt{k}-\sqrt{k-[イ]} \right)$であるから，不等式
\[ \frac{1}{k}<[ア] \left( \sqrt{k}-\sqrt{k-[イ]} \right) \]
を得る．この不等式がすべての自然数$k$に対して成立することより，
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=[ウ] \]
であることがわかる．
(2)自然数$n$に対し，
\[ a_n=\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m(m+n+1)},\quad s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \]
と定める．
(i) $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$を求めよ．
(ii) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) s_{n+1}$を求めよ．
（ヒント：$n \geqq 2$であるような各自然数$n$に対して$s_{n+1}-s_n$を考えることにより，$(ⅰ)$の結果が使える形に変形せよ．）
(iii) $n$を自然数とする．また，$p$は自然数で，等式
\[ \sum_{m=1}^{\infty} \left( \frac{1}{m}-\frac{1}{m+n+1} \right)=s_p \]
が成立しているとする．このとき，$p$を$n$の$1$次式の形に表せ．
\mon[$\tokeishi$] $n$を自然数とし，$p$は$(ⅲ)$における通りであるとする．また，$q$は自然数で，等式
\[ a_n=\frac{s_p}{q} \]
が成立しているとする．このとき，$q$を$n$の$1$次式の形に表せ．
\mon[$\tokeigo$] $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$を求めよ．
(1)$k$を自然数とすると，不等式
\[ k>\frac{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}{2} \]
が成立する．この不等式の右辺の逆数は$\displaystyle [ア] \left( \sqrt{k}-\sqrt{k-[イ]} \right)$であるから，不等式
\[ \frac{1}{k}<[ア] \left( \sqrt{k}-\sqrt{k-[イ]} \right) \]
を得る．この不等式がすべての自然数$k$に対して成立することより，
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=[ウ] \]
であることがわかる．
(2)自然数$n$に対し，
\[ a_n=\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m(m+n+1)},\quad s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \]
と定める．
(i) $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$を求めよ．
(ii) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) s_{n+1}$を求めよ．
（ヒント：$n \geqq 2$であるような各自然数$n$に対して$s_{n+1}-s_n$を考えることにより，$(ⅰ)$の結果が使える形に変形せよ．）
(iii) $n$を自然数とする．また，$p$は自然数で，等式
\[ \sum_{m=1}^{\infty} \left( \frac{1}{m}-\frac{1}{m+n+1} \right)=s_p \]
が成立しているとする．このとき，$p$を$n$の$1$次式の形に表せ．
\mon[$\tokeishi$] $n$を自然数とし，$p$は$(ⅲ)$における通りであるとする．また，$q$は自然数で，等式
\[ a_n=\frac{s_p}{q} \]
が成立しているとする．このとき，$q$を$n$の$1$次式の形に表せ．
\mon[$\tokeigo$] $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$を求めよ．
私立 神奈川大学 2012年 第1問次の空欄を適当に補え．
(1)方程式$8 \times 8^x+7 \times 4^x=2^x$の解は$x=[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$\mathrm{O}$を原点$(0,\ 0,\ 0)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(p,\ q,\ r)$が，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を通る平面に垂直で，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=1$，$p>0$を満たしているとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$a_1=8$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{5}{4}a_n-10 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)正八面体の各面に$1$から$8$の数字を$1$つずつ書いた八面体サイコロが$2$つある．この$2$つを同時に投げたとき，少なくとも$1$つは$1$の目が出る確率は$[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$は，$x=[$(\mathrm{e])$}$のとき最大値をとる．
(6)$a \neq 0$とする．方程式$x^3-(a+1)x+a=0$が$1$以外の解を重解としてもつとき，$a=[$(\mathrm{f])$}$であり，そのときの重解は$x=[$(\mathrm{g])$}$である．
(1)方程式$8 \times 8^x+7 \times 4^x=2^x$の解は$x=[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$\mathrm{O}$を原点$(0,\ 0,\ 0)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(p,\ q,\ r)$が，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を通る平面に垂直で，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=1$，$p>0$を満たしているとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$a_1=8$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{5}{4}a_n-10 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)正八面体の各面に$1$から$8$の数字を$1$つずつ書いた八面体サイコロが$2$つある．この$2$つを同時に投げたとき，少なくとも$1$つは$1$の目が出る確率は$[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$は，$x=[$(\mathrm{e])$}$のとき最大値をとる．
(6)$a \neq 0$とする．方程式$x^3-(a+1)x+a=0$が$1$以外の解を重解としてもつとき，$a=[$(\mathrm{f])$}$であり，そのときの重解は$x=[$(\mathrm{g])$}$である．
私立 関西大学 2012年 第3問$1$から$5$までの番号が$1$つずつ書かれた$5$枚の赤色のカードと，$1$から$5$までの番号が$1$つずつ書かれた$5$枚の白色のカードと，$1$から$5$までの番号が$1$つずつ書かれた$5$枚の青色のカードがある．これら$15$枚のカードをよくかきまぜた後，$3$枚のカードを取り出す．次の$[ ]$を数値でうめよ．
(1)$3$枚とも赤色のカードである確率は$[$①$]$である．
(2)赤色，白色，青色のカードが$1$枚ずつある確率は$[$②$]$である．
(3)赤色，白色，青色のカードが$1$枚ずつあり，かつ$3$枚のカードの数字が異なっている確率は$[$③$]$である．
(4)$3$枚のカードの数字の積が$5$の倍数である確率は$[$④$]$である．
(5)$3$枚のカードの数字の積が$9$の倍数である確率は$[$⑤$]$である．
(1)$3$枚とも赤色のカードである確率は$[$①$]$である．
(2)赤色，白色，青色のカードが$1$枚ずつある確率は$[$②$]$である．
(3)赤色，白色，青色のカードが$1$枚ずつあり，かつ$3$枚のカードの数字が異なっている確率は$[$③$]$である．
(4)$3$枚のカードの数字の積が$5$の倍数である確率は$[$④$]$である．
(5)$3$枚のカードの数字の積が$9$の倍数である確率は$[$⑤$]$である．
私立 昭和大学 2012年 第2問以下の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle \left( 2x^3-\frac{1}{4x^2} \right)^7$の展開式における$x^6$の項の係数を求めよ．
(2)$1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 3,\ 3,\ 7$の$7$個の数字を使ってできる$7$桁の整数の個数を求めよ．
(3)$2$個のさいころを投げるとき，目の和が偶数である事象を$A$，少なくとも$1$個は$3$の倍数の目が出る事象を$B$とする．確率$P(A)$および$P(A \cap B)$をそれぞれ求めよ．
(1)$\displaystyle \left( 2x^3-\frac{1}{4x^2} \right)^7$の展開式における$x^6$の項の係数を求めよ．
(2)$1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 3,\ 3,\ 7$の$7$個の数字を使ってできる$7$桁の整数の個数を求めよ．
(3)$2$個のさいころを投げるとき，目の和が偶数である事象を$A$，少なくとも$1$個は$3$の倍数の目が出る事象を$B$とする．確率$P(A)$および$P(A \cap B)$をそれぞれ求めよ．
私立 大阪学院大学 2012年 第3問$1$から$4$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$4$個，$1$から$3$までの数字が$1$つずつ書かれた青球が$3$個，$1$から$2$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$2$個，合計$9$個の球がある．球の大きさはすべて同じである．次の場合の数を求めなさい．
(1)$9$個の球の中から$5$個の球を取り出す組合せの数
(2)$9$個の球の中から赤球を$2$個だけ含めて$5$個の球を取り出す組合せの数
(3)$9$個の球に書かれた数字をすべて消し，色だけに注目して$5$個の球を取り出す組合せの数
(4)$(3)$の条件で$5$個の球を取り出し，一列に並べる場合の数
(1)$9$個の球の中から$5$個の球を取り出す組合せの数
(2)$9$個の球の中から赤球を$2$個だけ含めて$5$個の球を取り出す組合せの数
(3)$9$個の球に書かれた数字をすべて消し，色だけに注目して$5$個の球を取り出す組合せの数
(4)$(3)$の条件で$5$個の球を取り出し，一列に並べる場合の数