「数字」について
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国立 琉球大学 2016年 第4問$N$を$3$以上の自然数とする．
$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた$N$枚のカードを袋に入れ，「無作為に$1$枚のカードを取り出し，そのカードを袋に戻さず次のカードを取り出す」という作業を$3$枚のカードを取り出すまで繰り返す．取り出された$3$枚のカードに書かれた数の最大値を$X$とする．
また，$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた$N$枚のカードを袋に入れ，「無作為に$1$枚のカードを取り出してはそれに書かれた数を記録し，袋に戻す」という作業を$3$回行い，記録された数の最大値を$Y$とする．
$n$を$N$以下の自然数とする．$X=n$となる確率を$p_n$とし，$Y=n$となる確率を$q_n$とする．
次の問いに答えよ．
(1)$p_3,\ q_1,\ q_2,\ q_3$を求めよ．
(2)$p_n$と$q_n$を求めよ．
$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた$N$枚のカードを袋に入れ，「無作為に$1$枚のカードを取り出し，そのカードを袋に戻さず次のカードを取り出す」という作業を$3$枚のカードを取り出すまで繰り返す．取り出された$3$枚のカードに書かれた数の最大値を$X$とする．
また，$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた$N$枚のカードを袋に入れ，「無作為に$1$枚のカードを取り出してはそれに書かれた数を記録し，袋に戻す」という作業を$3$回行い，記録された数の最大値を$Y$とする．
$n$を$N$以下の自然数とする．$X=n$となる確率を$p_n$とし，$Y=n$となる確率を$q_n$とする．
次の問いに答えよ．
(1)$p_3,\ q_1,\ q_2,\ q_3$を求めよ．
(2)$p_n$と$q_n$を求めよ．
国立 宇都宮大学 2016年 第1問$p,\ q$を正の整数とする．数字$0$の書かれた$p$枚のカードと，数字$1$の書かれた$q$枚のカードを横一列に並べて得られる$0$と$1$からなる$(p+q)$個の数字の列を考える．このような列$X$に対して，$1 \leqq i<j \leqq p+q$かつ，左から$i$番目のカードの数字が$1$であり，左から$j$番目のカードの数字が$0$であるような正の整数の対$(i,\ j)$の個数を$f(X)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$p=3$，$q=1$，$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき，$f(X)$を求めよ．
(2)$p=2$，$q=2$のとき，得られる列$X$をすべて求め，そのときの$f(X)$の値を求めよ．
(3)$f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ．
(1)$p=3$，$q=1$，$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき，$f(X)$を求めよ．
(2)$p=2$，$q=2$のとき，得られる列$X$をすべて求め，そのときの$f(X)$の値を求めよ．
(3)$f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ．
国立 宇都宮大学 2016年 第1問$p,\ q$を正の整数とする．数字$0$の書かれた$p$枚のカードと，数字$1$の書かれた$q$枚のカードを横一列に並べて得られる$0$と$1$からなる$(p+q)$個の数字の列を考える．このような列$X$に対して，$1 \leqq i<j \leqq p+q$かつ，左から$i$番目のカードの数字が$1$であり，左から$j$番目のカードの数字が$0$であるような正の整数の対$(i,\ j)$の個数を$f(X)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$p=3$，$q=1$，$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき，$f(X)$を求めよ．
(2)$p=2$，$q=2$のとき，得られる列$X$をすべて求め，そのときの$f(X)$の値を求めよ．
(3)$f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ．
(1)$p=3$，$q=1$，$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき，$f(X)$を求めよ．
(2)$p=2$，$q=2$のとき，得られる列$X$をすべて求め，そのときの$f(X)$の値を求めよ．
(3)$f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ．
国立 宇都宮大学 2016年 第1問$p,\ q$を正の整数とする．数字$0$の書かれた$p$枚のカードと，数字$1$の書かれた$q$枚のカードを横一列に並べて得られる$0$と$1$からなる$(p+q)$個の数字の列を考える．このような列$X$に対して，$1 \leqq i<j \leqq p+q$かつ，左から$i$番目のカードの数字が$1$であり，左から$j$番目のカードの数字が$0$であるような正の整数の対$(i,\ j)$の個数を$f(X)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$p=3$，$q=1$，$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき，$f(X)$を求めよ．
(2)$p=2$，$q=2$のとき，得られる列$X$をすべて求め，そのときの$f(X)$の値を求めよ．
(3)$f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ．
(1)$p=3$，$q=1$，$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき，$f(X)$を求めよ．
(2)$p=2$，$q=2$のとき，得られる列$X$をすべて求め，そのときの$f(X)$の値を求めよ．
(3)$f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ．
国立 愛媛大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2m^2-n^2-mn-m+n=18$を満たす自然数$m,\ n$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき$\displaystyle \log_{\cos \theta} \left( \tan^2 \theta+\frac{\tan \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{3} \right)=-2$を満たす$\theta$を求めよ．
(3)袋の中に$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ書かれた$5$個の玉が入っている．$5$人が順にこの袋の中から玉を$1$個ずつ取り出し，玉に書かれた数字を記録する．この操作が終了したら，すべての玉を袋の中に戻し，同じ操作をもう一度行う．このとき，$1$回目と$2$回目に取り出した玉に書かれた数字が同じであるという人がちょうど$3$人になる確率を求めよ．
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 |t-x| \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．
(1)$2m^2-n^2-mn-m+n=18$を満たす自然数$m,\ n$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき$\displaystyle \log_{\cos \theta} \left( \tan^2 \theta+\frac{\tan \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{3} \right)=-2$を満たす$\theta$を求めよ．
(3)袋の中に$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ書かれた$5$個の玉が入っている．$5$人が順にこの袋の中から玉を$1$個ずつ取り出し，玉に書かれた数字を記録する．この操作が終了したら，すべての玉を袋の中に戻し，同じ操作をもう一度行う．このとき，$1$回目と$2$回目に取り出した玉に書かれた数字が同じであるという人がちょうど$3$人になる確率を求めよ．
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 |t-x| \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．
国立 愛媛大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2m^2-n^2-mn-m+n=18$を満たす自然数$m,\ n$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき$\displaystyle \log_{\cos \theta} \left( \tan^2 \theta+\frac{\tan \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{3} \right)=-2$を満たす$\theta$を求めよ．
(3)袋の中に$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ書かれた$5$個の玉が入っている．$5$人が順にこの袋の中から玉を$1$個ずつ取り出し，玉に書かれた数字を記録する．この操作が終了したら，すべての玉を袋の中に戻し，同じ操作をもう一度行う．このとき，$1$回目と$2$回目に取り出した玉に書かれた数字が同じであるという人がちょうど$3$人になる確率を求めよ．
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 |t-x| \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．
(1)$2m^2-n^2-mn-m+n=18$を満たす自然数$m,\ n$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき$\displaystyle \log_{\cos \theta} \left( \tan^2 \theta+\frac{\tan \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{3} \right)=-2$を満たす$\theta$を求めよ．
(3)袋の中に$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ書かれた$5$個の玉が入っている．$5$人が順にこの袋の中から玉を$1$個ずつ取り出し，玉に書かれた数字を記録する．この操作が終了したら，すべての玉を袋の中に戻し，同じ操作をもう一度行う．このとき，$1$回目と$2$回目に取り出した玉に書かれた数字が同じであるという人がちょうど$3$人になる確率を求めよ．
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 |t-x| \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2016年 第6問$7$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$を重複なく使ってできる$4$桁の数について，次の設問に答えよ．
(1)$4$桁の数はすべてで何個あるか．
(2)そのうち，$5500$よりも大きい数は何個あるか．
(3)$4$桁の数を小さい順に並べたとき，$150$番目の数を求めよ．
(1)$4$桁の数はすべてで何個あるか．
(2)そのうち，$5500$よりも大きい数は何個あるか．
(3)$4$桁の数を小さい順に並べたとき，$150$番目の数を求めよ．
私立 自治医科大学 2016年 第18問$7$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$を使用してできる全ての$4$桁の整数の個数を$N$，その$4$桁の整数のうち，両端が奇数であるものの個数を$M$とする．$\displaystyle \frac{N}{M}$の値を求めよ．ただし，同じ数字は$2$度以上使わないものとする．
私立 東京薬科大学 2016年 第3問次の問に答えよ．
(1)$7^n$が$15$桁の自然数になるとき，整数$n=[ネノ]$である．ただし，$\log_{10}7=0.8451$とする．
(2)$(1)$の$n$に対して，$7^n$の一の位の数字は$[ハ]$である．
(3)$7^{30},\ 7^{60}$の桁数を求めるとき，$\log_{10}7$として$0.8451$のうち一つの数字を見誤ったため，それぞれ桁数は$1$だけ小さいものが得られた．このとき，$0.8451$の小数点以下第$[ヒ]$位の数字を$[フ]$と見誤ったと考えられる．
(1)$7^n$が$15$桁の自然数になるとき，整数$n=[ネノ]$である．ただし，$\log_{10}7=0.8451$とする．
(2)$(1)$の$n$に対して，$7^n$の一の位の数字は$[ハ]$である．
(3)$7^{30},\ 7^{60}$の桁数を求めるとき，$\log_{10}7$として$0.8451$のうち一つの数字を見誤ったため，それぞれ桁数は$1$だけ小さいものが得られた．このとき，$0.8451$の小数点以下第$[ヒ]$位の数字を$[フ]$と見誤ったと考えられる．
私立 福岡大学 2016年 第4問不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{2x}-6 \left( \frac{1}{2} \right)^{x-1}+32 \leqq 0$を解くと$[ ]$である．また，$\displaystyle \left( \frac{1}{24} \right)^{15}$は，小数第$[ ]$位にはじめて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．