$1$から$9$までの数字が$1$つずつ重複せずに書かれた$9$枚のカードがある．そのうち$8$枚のカードを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$人に$2$枚ずつ分ける．以下の問に答えよ．

(1)$9$枚のカードの分け方は全部で何通りあるか．
(2)各人が持っている$2$枚のカードに書かれた数の和が$4$人とも奇数である確率を求めよ．
(3)各人が持っている$2$枚のカードに書かれた数の差が$4$人とも同じである確率を求めよ．ただし，$2$枚のカードに書かれた数の差とは，大きいほうの数から小さいほうの数を引いた数である．

$7$個の数字$1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3$をすべて用いて$7$桁の整数を作るとき，次の問いに答えよ．

(1)全部で何個できるか．
(2)これらの整数を小さい順に並べるとき，$3211231$は何番目に現れるか．

次の問いに答えよ．

(1)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から異なる$3$個の数字を用いて$3$けたの整数をつくるとき，$300$以上の整数は$[][]$個できる．
(2)$2$個のさいころを同時に投げるとき，目の和が$8$以上になる確率は$\displaystyle \frac{[][]}{12}$である．
(3)第$2$項が$10$，第$7$項が$320$である等比数列がある．この数列の公比は$[][]$であり，第$5$項は$[][]$である．
(4)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(\sqrt{6}-\sqrt{2},\ \sqrt{6}+\sqrt{2})$，$\overrightarrow{b}=(\sqrt{3},\ 1)$のなす角は$[][]^\circ$である．

$7$個の数字$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 5$の中から$5$個の数字を選んで$1$列に並べ，$5$桁の数を作る．

(1)$5$桁の数は全部で$[ソ]$通りできる．これらの$5$桁の数を小さい方から順に並べたとき，$23145$は$[タ]$番目の数である．
(2)同じ数字が隣り合わないような$5$桁の数は全部で$[チ]$通りできる．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$30$以下の自然数の集合を全体集合$U$とし，$U$の部分集合で$3$の倍数の集合を$A$，$U$の部分集合で$4$の倍数の集合を$B$とする．このとき，要素を書き並べる方法で表すと，$A \cap B=[$1$]$，$\overline{A} \cap B=[$2$]$である．
(2)$3$個の数字$0,\ 1,\ 2$を，重複を許して並べてできる$5$桁の整数は$[$3$]$個ある．そのうち，$0,\ 1,\ 2$の$3$個の数字がすべて使われている整数は$[$4$]$個ある．
(3)関数$y=\sin x \cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$の最小値は$[$5$]$であり，関数$\displaystyle y=\sin \left( x+\frac{2}{3} \pi \right) (0 \leqq x \leqq \pi)$の最大値は$[$6$]$である．
(4)円$(x-a)^2+y^2=4$と直線$\displaystyle y=x-\frac{a}{2}$が接するとき，定数$a$の値は$a=[$7$]$または$a=[$8$]$である．
(5)不等式$\displaystyle 9^{x+\frac{1}{2}}-10 \cdot 3^x+3 \leqq 0$の解は$[$9$]$である．
(6)方程式$\displaystyle \frac{1}{2}x^3+mx+n=0$の解の$1$つが$-1-\sqrt{3}i$のとき，実数$m,\ n$の値は$m=[$10$]$，$n=[$11$]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$とする．$2 \sin^2 \theta-3 \cos \theta-3 \geqq 0$を満足する$\theta$の範囲は$[　]$であり，この$\theta$に対する$\tan \theta$の最大値は$[　]$である．
(2)数字$1$のカード$1$枚，数字$3$のカード$2$枚，数字$a$（$a$は$1,\ 3,\ 6$以外の正の整数）のカード$2$枚，数字$6$のカード$b$枚の中から無作為に$1$枚のカードを取り出したとき，そのカードに記された数字の期待値が$\displaystyle \frac{9}{2}$になった．このとき$(a,\ b)$の組をすべて求めると$(a,\ b)=[　]$である．
(3)$f(x)=x^6-2x^4-x^2+2$とする．$f(x)$を整数の範囲で因数分解すると$[　]$となり，複素数の範囲で因数分解すると$[　]$となる．

次の各問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$地点から$15 \, \mathrm{km}$離れた$\mathrm{B}$地点まで行くのに，初めは時速$4 \, \mathrm{km}$で歩き，途中から時速$6 \, \mathrm{km}$で歩くことにする．$\mathrm{A}$地点を出発後，$3$時間以内に$\mathrm{B}$地点に到着するためには，時速$4 \, \mathrm{km}$で歩ける距離は最大で$[ア] \, \mathrm{km}$である．
(2)半径$2 \sqrt{6}$の円に内接する正三角形の$1$辺の長さは$[イ] \sqrt{[ウ]}$である．
(3)中心が$(-2,\ 3)$で，$y$軸に接する円の方程式は$x^2+y^2+[エ]x-[オ]y+[カ]=0$である．
(4)$3^n$の一の位の数字が$1$になる正の整数$n$の最小値は$[キ]$であり，$3^{102}$の一の位の数字は$[ク]$である．
(5)数直線上の集合$A=\{x \;|\; 2<x<9 \}$，$B=\{x \;|\; k<x<k+2 \}$（ただし，$k$は定数）において，$A \cap B$が空集合となるような$k$の値の範囲は$k \leqq [ケ]$または$[コ] \leqq k$である．
(6)白玉$3$個，赤玉$5$個の計$8$個の玉が入った箱の中から同時に$4$個の玉を取り出すとき，白玉も赤玉もともに取り出される確率は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセ]}$である．
(7)方程式$\displaystyle 9^x=\frac{3}{27^x}$の解は$\displaystyle x=\frac{[ソ]}{[タ]}$である．
(8)関数$f(x)=-2x^3-6x^2+9$の極大値は$[チ]$，極小値は$[ツ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$x^2+4xy+3y^2-2x-8y-3$を因数分解せよ．
(2)$1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3$の$8$個の数字を用いて作ることができる$8$桁の整数の個数を求めよ．
(3)$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=7$のとき$\cos \angle \mathrm{B}$を求めよ．
(4)放物線$y=x^2+2x-1$を原点に関して，対称移動したときの放物線の式を求めよ．
(5)$2$次関数$y=-x^2+6x-9$の最大値，最小値があれば，それを求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$7^{2013}$の$1$の位の数字は$[　]$である．
(2)$a,\ b$を定数とする．整式$P(x)=x^3+2x^2+ax+b$は$x-2$で割り切れるが，$x+3$で割ると$5$余る．このとき$a=[　]$，$b=[　]$である．
(3)$x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+3xyz$を因数分解すると$[　]$である．

$1$から$8$までの各数字が$1$枚に$1$つずつ記入された$8$枚のカードがある．$7$枚を選んで左から順に並べて$7$桁の整数を作るとき，

(1)その整数が$3$の倍数になる場合は何通りか．
(2)その整数が$15$の倍数になる場合は何通りか．