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私立 昭和大学 2014年 第3問次の各問に答えよ．
(1)$1$から$8$までの数字を$1$つずつ記した$8$個の球が袋の中に入っている．この袋から$1$個の球を取り出し，その数字を読み取ってはもとの袋に戻す操作を$3$回繰り返す．ただし，どの球が選ばれる確率も同じであるとする．いま，読み取った$3$個の数字のうち最大の数と最小の数の差を$R$とする．次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ $R=1$となる確率を求めよ．
$(1$-$2)$ $R=4$となる確率を求めよ．
$(1$-$3)$ $R$の期待値を求めよ．
(2)$x$についての$2$次方程式$x^2+(\log_a 5)x+\log_5 a^2=0$が相異なる負の解をもつための定数$a$のとるべき値の範囲を求めよ．
(3)行列$A$を$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
-b & a
\end{array} \right)$とし，さらに，$A^2=B$および$B^2=A$を満たす行列$B$が存在するとする．ただし$a,\ b$は実数で，$b>0$とする．次の問に答えよ．
$(3$-$1)$ 行列$A^3$を求めよ．
$(3$-$2)$ $a,\ b$の値を求めよ．
(1)$1$から$8$までの数字を$1$つずつ記した$8$個の球が袋の中に入っている．この袋から$1$個の球を取り出し，その数字を読み取ってはもとの袋に戻す操作を$3$回繰り返す．ただし，どの球が選ばれる確率も同じであるとする．いま，読み取った$3$個の数字のうち最大の数と最小の数の差を$R$とする．次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ $R=1$となる確率を求めよ．
$(1$-$2)$ $R=4$となる確率を求めよ．
$(1$-$3)$ $R$の期待値を求めよ．
(2)$x$についての$2$次方程式$x^2+(\log_a 5)x+\log_5 a^2=0$が相異なる負の解をもつための定数$a$のとるべき値の範囲を求めよ．
(3)行列$A$を$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
-b & a
\end{array} \right)$とし，さらに，$A^2=B$および$B^2=A$を満たす行列$B$が存在するとする．ただし$a,\ b$は実数で，$b>0$とする．次の問に答えよ．
$(3$-$1)$ 行列$A^3$を求めよ．
$(3$-$2)$ $a,\ b$の値を求めよ．
私立 大同大学 2014年 第1問次の$[ア]$から$[ネ]$までの$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．
(1)$36+2 \sqrt{155}={(\sqrt{[ア][イ]}+\sqrt{[ウ]})}^2$であり，
\[ \frac{1}{\sqrt{36+2 \sqrt{155}}}+\frac{1}{\sqrt{36-2 \sqrt{155}}}=\frac{\sqrt{[エ][オ]}}{[カ][キ]} \]
である．
(2)放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が$x$軸の負の部分および正の部分と交わるような$k$の範囲は$\displaystyle -[ク]<k<\frac{[ケ]}{[コ]}$である．この範囲で$k$が動くとき，放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が切り取る$x$軸上の線分の長さの最大値は$\displaystyle \frac{[サ] \sqrt{[シ][ス]}}{[セ]}$である．
(3)$3$桁の整数で$3$の倍数は，全部で$[ソ][タ][チ]$個ある．$3$桁の整数で各位の数の和が$k$であるものの個数を$n(k)$とする（たとえば，$3$桁の整数で各位の数の和が$2$であるものは$101$，$110$，$200$の$3$個であるから，$n(2)=3$である）．このとき，$n(3)=[ツ]$，$n(27)=[テ]$，$n(24)=[ト][ナ]$であり，$n(6)+n(9)+n(12)+n(15)+n(18)+n(21)=[ニ][ヌ][ネ]$である．
(1)$36+2 \sqrt{155}={(\sqrt{[ア][イ]}+\sqrt{[ウ]})}^2$であり，
\[ \frac{1}{\sqrt{36+2 \sqrt{155}}}+\frac{1}{\sqrt{36-2 \sqrt{155}}}=\frac{\sqrt{[エ][オ]}}{[カ][キ]} \]
である．
(2)放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が$x$軸の負の部分および正の部分と交わるような$k$の範囲は$\displaystyle -[ク]<k<\frac{[ケ]}{[コ]}$である．この範囲で$k$が動くとき，放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が切り取る$x$軸上の線分の長さの最大値は$\displaystyle \frac{[サ] \sqrt{[シ][ス]}}{[セ]}$である．
(3)$3$桁の整数で$3$の倍数は，全部で$[ソ][タ][チ]$個ある．$3$桁の整数で各位の数の和が$k$であるものの個数を$n(k)$とする（たとえば，$3$桁の整数で各位の数の和が$2$であるものは$101$，$110$，$200$の$3$個であるから，$n(2)=3$である）．このとき，$n(3)=[ツ]$，$n(27)=[テ]$，$n(24)=[ト][ナ]$であり，$n(6)+n(9)+n(12)+n(15)+n(18)+n(21)=[ニ][ヌ][ネ]$である．
私立 大同大学 2014年 第2問次の$[ノ]$から$[レ]$までの$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．
(1)$\mathrm{A}(-1,\ -2)$，$\mathrm{B}(3,\ 4)$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$が$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$の直角三角形のとき，点$\mathrm{C}$は円$x^2+y^2-[ノ]x-[ハ]y-[ヒ][フ]=0$上にある．さらに$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が最大となる点$\mathrm{C}$の座標は$([ヘ],\ -[ホ])$または$(-[マ],\ [ミ])$である．
(2)$\sin x=t$とおくとき，$2 \sin 2x \cos x-(8+3 \cos 2x) \sin x-2=[ム] t^3-[メ] t-[モ]=(t-[ヤ])([ユ] t^2+[ヨ] t+[ラ])$である．
$2 \sin 2x \cos x-(8+3 \cos 2x) \sin x-2=0$のとき，$\displaystyle \sin x=\frac{-[リ]+\sqrt{[ル]}}{[レ]}$である．
(1)$\mathrm{A}(-1,\ -2)$，$\mathrm{B}(3,\ 4)$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$が$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$の直角三角形のとき，点$\mathrm{C}$は円$x^2+y^2-[ノ]x-[ハ]y-[ヒ][フ]=0$上にある．さらに$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が最大となる点$\mathrm{C}$の座標は$([ヘ],\ -[ホ])$または$(-[マ],\ [ミ])$である．
(2)$\sin x=t$とおくとき，$2 \sin 2x \cos x-(8+3 \cos 2x) \sin x-2=[ム] t^3-[メ] t-[モ]=(t-[ヤ])([ユ] t^2+[ヨ] t+[ラ])$である．
$2 \sin 2x \cos x-(8+3 \cos 2x) \sin x-2=0$のとき，$\displaystyle \sin x=\frac{-[リ]+\sqrt{[ル]}}{[レ]}$である．
私立 大同大学 2014年 第6問次の$[ノ]$から$[リ]$までの$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．
(1)$1$つのさいころを$3$回続けて投げるとき，出た目が$3$回とも同じである確率は$\displaystyle \frac{[ノ]}{[ハ][ヒ]}$，$3$回とも異なる確率は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$であり，$3$回のうち$2$回は同じで$1$回だけ他と異なる確率は$\displaystyle \frac{[ホ]}{[マ][ミ]}$である．
(2)$a,\ b$を自然数とし，$x$を実数とするとき，以下の$[ム]$から$[リ]$の$[ ]$に入る正しい記述を次の$①$～$④$の中から選び，その番号を記述せよ．
\mon[$①$] 必要十分条件である
\mon[$②$] 必要条件であるが十分条件でない
\mon[$③$] 十分条件であるが必要条件でない
\mon[$④$] 必要条件でも十分条件でもない
(i) $a$が$2$の倍数であることは，$a^2$が$2$の倍数であるための$[ム]$
(ii) $a$が$4$の倍数であることは，$a^2$が$4$の倍数であるための$[メ]$
(iii) $a$が$4$の倍数であることは，$a^2$が$8$の倍数であるための$[モ]$
\mon[$\tokeishi$] $a$が$2$の倍数または$b$が$2$の倍数であることは，$ab$が$6$の倍数であるための$[ヤ]$
\mon[$\tokeigo$] $a$が$2$の倍数または$b$が$3$の倍数であることは，$ab$が$6$の倍数であるための$[ユ]$
\mon[$\tokeiroku$] $x^2+x-2=0$は，$x=1$であるための$[ヨ]$
\mon[$\tokeishichi$] $x>2$は，$x^2+3x-4>0$であるための$[ラ]$
\mon[$\tokeihachi$] $x^2 \leqq x+6$は，$x<3$であるための$[リ]$
(1)$1$つのさいころを$3$回続けて投げるとき，出た目が$3$回とも同じである確率は$\displaystyle \frac{[ノ]}{[ハ][ヒ]}$，$3$回とも異なる確率は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$であり，$3$回のうち$2$回は同じで$1$回だけ他と異なる確率は$\displaystyle \frac{[ホ]}{[マ][ミ]}$である．
(2)$a,\ b$を自然数とし，$x$を実数とするとき，以下の$[ム]$から$[リ]$の$[ ]$に入る正しい記述を次の$①$～$④$の中から選び，その番号を記述せよ．
\mon[$①$] 必要十分条件である
\mon[$②$] 必要条件であるが十分条件でない
\mon[$③$] 十分条件であるが必要条件でない
\mon[$④$] 必要条件でも十分条件でもない
(i) $a$が$2$の倍数であることは，$a^2$が$2$の倍数であるための$[ム]$
(ii) $a$が$4$の倍数であることは，$a^2$が$4$の倍数であるための$[メ]$
(iii) $a$が$4$の倍数であることは，$a^2$が$8$の倍数であるための$[モ]$
\mon[$\tokeishi$] $a$が$2$の倍数または$b$が$2$の倍数であることは，$ab$が$6$の倍数であるための$[ヤ]$
\mon[$\tokeigo$] $a$が$2$の倍数または$b$が$3$の倍数であることは，$ab$が$6$の倍数であるための$[ユ]$
\mon[$\tokeiroku$] $x^2+x-2=0$は，$x=1$であるための$[ヨ]$
\mon[$\tokeishichi$] $x>2$は，$x^2+3x-4>0$であるための$[ラ]$
\mon[$\tokeihachi$] $x^2 \leqq x+6$は，$x<3$であるための$[リ]$
私立 同志社大学 2014年 第1問次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ．
袋の中に$1$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれた$9$個の球が入っている．この袋から球を$1$個取り出し，取り出した球の数字を調べて袋に戻すことを$2$回行うとき，取り出した球に書かれた数字のうちの最大値を$X$とする．$X$が$3$以下となる場合の数は$[ア]$通りである．また，$X$が$4$以下となる場合の数は$[イ]$通りである．$X$が$3$となる場合の数は$[ウ]$通りであるので，$X$が$3$と等しくなる確率は$[エ]$である．したがって，$i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 9$に対して，$X$が$i$と等しくなる確率は$[オ]$であり，$X$の期待値は$[カ]$である．
次に，この袋から球を$1$個取り出し，取り出した球の数字を調べて袋に戻すことを$k$回行うとき（$k$は自然数），取り出した球に書かれた数字のうちの最大値を$Y$とする．$Y$が$j (j=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 9)$以下となる場合の数は$[キ]$通りであり，$Y$が$j$と等しくなる場合の数は$[ク]$通りである．したがって，$Y$が$j$と等しくなる確率は$[ケ]$であり，$Y$の期待値は$\displaystyle 9-\frac{1}{9^k} \sum_{j=1}^8 [コ]$である．
袋の中に$1$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれた$9$個の球が入っている．この袋から球を$1$個取り出し，取り出した球の数字を調べて袋に戻すことを$2$回行うとき，取り出した球に書かれた数字のうちの最大値を$X$とする．$X$が$3$以下となる場合の数は$[ア]$通りである．また，$X$が$4$以下となる場合の数は$[イ]$通りである．$X$が$3$となる場合の数は$[ウ]$通りであるので，$X$が$3$と等しくなる確率は$[エ]$である．したがって，$i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 9$に対して，$X$が$i$と等しくなる確率は$[オ]$であり，$X$の期待値は$[カ]$である．
次に，この袋から球を$1$個取り出し，取り出した球の数字を調べて袋に戻すことを$k$回行うとき（$k$は自然数），取り出した球に書かれた数字のうちの最大値を$Y$とする．$Y$が$j (j=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 9)$以下となる場合の数は$[キ]$通りであり，$Y$が$j$と等しくなる場合の数は$[ク]$通りである．したがって，$Y$が$j$と等しくなる確率は$[ケ]$であり，$Y$の期待値は$\displaystyle 9-\frac{1}{9^k} \sum_{j=1}^8 [コ]$である．
私立 獨協医科大学 2014年 第2問$m$は正の整数とする．箱の中に，$1$と書かれたカードが$1$枚，$2$と書かれたカードが$2$枚，$3$と書かれたカードが$3$枚，$\cdots$，$2m$と書かれたカードが$2m$枚入っている．この箱の中から，$1$枚のカードを取り出し，書かれている数字を記録してからもとに戻す操作を$n$回繰り返す．
(1)箱の中にカードは全部で
\[ m([ア]m+[イ]) \text{枚} \]
入っている．
(2)$n=1$のとき，偶数のカードを取り出す確率は
\[ \frac{m+[ウ]}{[エ]m+[オ]} \]
である．
また，$n=2$のとき，記録した$2$個の数の和が偶数である確率は
\[ \frac{[カ]m^2+[キ]m+[ク]}{[ケ]m^2+[コ]m+[サ]} \]
である．
(3)記録した$n$個の数の和が偶数である確率を$p_n$とする．$p_n$を$m,\ n$を用いて表すと
\[ p_n=\frac{[シ]}{[ス]} \left( \frac{[セ]}{[ソ]m+[タ]} \right)^n+\frac{[チ]}{[ツ]} \]
である．
(1)箱の中にカードは全部で
\[ m([ア]m+[イ]) \text{枚} \]
入っている．
(2)$n=1$のとき，偶数のカードを取り出す確率は
\[ \frac{m+[ウ]}{[エ]m+[オ]} \]
である．
また，$n=2$のとき，記録した$2$個の数の和が偶数である確率は
\[ \frac{[カ]m^2+[キ]m+[ク]}{[ケ]m^2+[コ]m+[サ]} \]
である．
(3)記録した$n$個の数の和が偶数である確率を$p_n$とする．$p_n$を$m,\ n$を用いて表すと
\[ p_n=\frac{[シ]}{[ス]} \left( \frac{[セ]}{[ソ]m+[タ]} \right)^n+\frac{[チ]}{[ツ]} \]
である．
私立 玉川大学 2014年 第2問$[ア]$～$[タ]$を埋めよ．
(1)$\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$のとき$\sin 5x+\sin 3x$の値は
\[ \sin 5x+\sin 3x=[ア] \sin [イ]x \cos x \]
を用いれば
\[ [ウエ] \sqrt{[オ]}-[カキ] \]
である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$n:m$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$m \neq n$かつ$m$と$n$の最大公約数は$1$である．このとき$\displaystyle t=\frac{m}{m+n}$とおくと
\[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+([ク]-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．いま，$2$直線$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{R}$として，点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{PR}$の中点であるならば
\[ \overrightarrow{\mathrm{AR}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ケ] ([コ]-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
となるから
\[ m:n=[サ]:[シ] \]
である．
(3)数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を使って$5$桁の整数を作る．その中で，数字の並べ方を逆にしたものをもとの整数に加えると，どの桁の数字も偶数になるものは
\[ [スセ] \]
個ある．
(4)曲線$y=x^2-x$と$x$軸の囲む部分の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$である．
(1)$\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$のとき$\sin 5x+\sin 3x$の値は
\[ \sin 5x+\sin 3x=[ア] \sin [イ]x \cos x \]
を用いれば
\[ [ウエ] \sqrt{[オ]}-[カキ] \]
である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$n:m$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$m \neq n$かつ$m$と$n$の最大公約数は$1$である．このとき$\displaystyle t=\frac{m}{m+n}$とおくと
\[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+([ク]-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．いま，$2$直線$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{R}$として，点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{PR}$の中点であるならば
\[ \overrightarrow{\mathrm{AR}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ケ] ([コ]-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
となるから
\[ m:n=[サ]:[シ] \]
である．
(3)数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を使って$5$桁の整数を作る．その中で，数字の並べ方を逆にしたものをもとの整数に加えると，どの桁の数字も偶数になるものは
\[ [スセ] \]
個ある．
(4)曲線$y=x^2-x$と$x$軸の囲む部分の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$である．
私立 武庫川女子大学 2014年 第1問次の空欄$[$1$]$～$[$24$]$にあてはまる数字を記入せよ．ただし，空欄$[$21$]$には，$+$または$-$の記号が入る．
(1)$a_1=m$（ただし，$m>0$），$a_{n+1}-a_n=-4$（ただし，$n$は自然数）で定められる数列$\{a_n\}$がある．
$a_n=m-[$1$](n-[$2$])$であり，
$S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とすると，$n$が$\displaystyle \frac{m+[$3$]}{[$4$]}$に最も近い整数であるとき，$S_n$は最大値をとる．
したがって，ある$m$の値について，$S_n$が，$n=10$で最大となるとき，とり得る$m$の値の範囲は$[$5$][$6$] \leqq m \leqq [$7$][$8$]$であり，$m=[$7$][$8$]$のとき，$S_{10}=[$9$][$10$][$11$]$である．
(2)$\angle \mathrm{AOB}$を直角とする直角三角形$\mathrm{OAB}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．線分$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，$3:1$に外分する点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{BP}=1$とする．
(i) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[$12$]}{[$13$]} \overrightarrow{a}+\frac{[$14$]}{[$13$]} \overrightarrow{b}$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\frac{[$15$]}{[$16$]} \overrightarrow{a}+\frac{[$17$]}{[$16$]} \overrightarrow{b}$であり，
$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=[$18$]|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき，$|\overrightarrow{b}|=[$19$]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[$20$]$である．
(iii) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=2 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RA}}$のなす角を$\theta$とすると，
$\displaystyle \cos \theta=[$21$] \frac{[$22$] \sqrt{[$23$]}}{[$24$]}$である．
(1)$a_1=m$（ただし，$m>0$），$a_{n+1}-a_n=-4$（ただし，$n$は自然数）で定められる数列$\{a_n\}$がある．
$a_n=m-[$1$](n-[$2$])$であり，
$S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とすると，$n$が$\displaystyle \frac{m+[$3$]}{[$4$]}$に最も近い整数であるとき，$S_n$は最大値をとる．
したがって，ある$m$の値について，$S_n$が，$n=10$で最大となるとき，とり得る$m$の値の範囲は$[$5$][$6$] \leqq m \leqq [$7$][$8$]$であり，$m=[$7$][$8$]$のとき，$S_{10}=[$9$][$10$][$11$]$である．
(2)$\angle \mathrm{AOB}$を直角とする直角三角形$\mathrm{OAB}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．線分$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，$3:1$に外分する点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{BP}=1$とする．
(i) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[$12$]}{[$13$]} \overrightarrow{a}+\frac{[$14$]}{[$13$]} \overrightarrow{b}$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\frac{[$15$]}{[$16$]} \overrightarrow{a}+\frac{[$17$]}{[$16$]} \overrightarrow{b}$であり，
$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=[$18$]|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき，$|\overrightarrow{b}|=[$19$]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[$20$]$である．
(iii) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=2 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RA}}$のなす角を$\theta$とすると，
$\displaystyle \cos \theta=[$21$] \frac{[$22$] \sqrt{[$23$]}}{[$24$]}$である．
私立 武庫川女子大学 2014年 第2問次の問いに答えよ．
(1)次の不等式の空欄$[$25$]$～$[$28$]$にあてはまるものを下の解答群から選べ．
\[ [$25$]<[$26$]<\sqrt[3]{7}<[$27$]<[$28$] \]
解答群 \quad $\nagamaruichi \ \tan {50}^\circ \qquad \nagamaruni \ \sqrt{5} \qquad \nagamarusan \ \sqrt[4]{14} \qquad \nagamarushi \ \sin {100}^\circ$
(2)次の空欄$[$29$]$～$[$38$]$にあてはまる数字を入れよ．ただし，空欄$[$29$]$，$[$32$]$には$+$，$-$，$\pm$いずれかの記号が入る．
(i) 方程式$\log_2 (x+7)+\log_2 (3x+2)=\log_2 6$の解は
\[ x=\frac{\kakkofour{$29$}{$30$}{$31$}{$32$} \sqrt{[$33$][$34$][$35$]}}{[$36$]} \]
である．
(ii) $\log_2 3 \cdot \log_4 8 \cdot \log_9 16=[$37$][$38$]$である．
(1)次の不等式の空欄$[$25$]$～$[$28$]$にあてはまるものを下の解答群から選べ．
\[ [$25$]<[$26$]<\sqrt[3]{7}<[$27$]<[$28$] \]
解答群 \quad $\nagamaruichi \ \tan {50}^\circ \qquad \nagamaruni \ \sqrt{5} \qquad \nagamarusan \ \sqrt[4]{14} \qquad \nagamarushi \ \sin {100}^\circ$
(2)次の空欄$[$29$]$～$[$38$]$にあてはまる数字を入れよ．ただし，空欄$[$29$]$，$[$32$]$には$+$，$-$，$\pm$いずれかの記号が入る．
(i) 方程式$\log_2 (x+7)+\log_2 (3x+2)=\log_2 6$の解は
\[ x=\frac{\kakkofour{$29$}{$30$}{$31$}{$32$} \sqrt{[$33$][$34$][$35$]}}{[$36$]} \]
である．
(ii) $\log_2 3 \cdot \log_4 8 \cdot \log_9 16=[$37$][$38$]$である．
私立 武庫川女子大学 2014年 第3問次の空欄$[$39$]$～$[$60$]$にあてはまる数字を入れよ．ただし，空欄$[$41$]$，$[$44$]$，$[$47$]$，$[$51$]$には$+$または$-$の記号が入る．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{5x^2+5x-30}{x-2}=[$39$][$40$]$である．
(2)$2$次関数$y=f(x)$のグラフは原点と点$\displaystyle \left( 1,\ \frac{17}{4} \right)$を通る．また，$x=2$において傾き$8$の接線をもつ．このとき，$f(x)$の最小値は$\displaystyle [$41$] \frac{[$42$]}{[$43$]}$である．
(3)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$（ただし，$a,\ b,\ c$は定数）がある．すべての実数$x$について$3f(x)+4f^\prime(x)=-2x^2+5x+7$が常に成立するとき，
\[ a=[$44$] \frac{[$45$]}{[$46$]},\quad b=[$47$] \frac{[$48$][$49$]}{[$50$]},\quad c=[$51$] \frac{[$52$][$53$]}{[$54$][$55$]} \]
である．
(4)$2$つの関数$\displaystyle f(x)=x-\frac{3}{a}$および$\displaystyle g(x)=ax^2+7x+\frac{6}{a}$がある（ただし，$a$は正の定数）．$xy$平面上の$4$つのグラフ$y=f(x)$，$y=g(x)$，$x=0$および$x=1$で囲まれる図形の面積は$a=[$56$] \sqrt{[$57$]}$のとき最小値$[$58$]+[$59$] \sqrt{[$60$]}$をとる．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{5x^2+5x-30}{x-2}=[$39$][$40$]$である．
(2)$2$次関数$y=f(x)$のグラフは原点と点$\displaystyle \left( 1,\ \frac{17}{4} \right)$を通る．また，$x=2$において傾き$8$の接線をもつ．このとき，$f(x)$の最小値は$\displaystyle [$41$] \frac{[$42$]}{[$43$]}$である．
(3)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$（ただし，$a,\ b,\ c$は定数）がある．すべての実数$x$について$3f(x)+4f^\prime(x)=-2x^2+5x+7$が常に成立するとき，
\[ a=[$44$] \frac{[$45$]}{[$46$]},\quad b=[$47$] \frac{[$48$][$49$]}{[$50$]},\quad c=[$51$] \frac{[$52$][$53$]}{[$54$][$55$]} \]
である．
(4)$2$つの関数$\displaystyle f(x)=x-\frac{3}{a}$および$\displaystyle g(x)=ax^2+7x+\frac{6}{a}$がある（ただし，$a$は正の定数）．$xy$平面上の$4$つのグラフ$y=f(x)$，$y=g(x)$，$x=0$および$x=1$で囲まれる図形の面積は$a=[$56$] \sqrt{[$57$]}$のとき最小値$[$58$]+[$59$] \sqrt{[$60$]}$をとる．