「数字」について
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国立 福岡教育大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$，$0 \leqq y \leqq \pi$のとき，連立方程式
\[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \]
を解け．
(2)$a,\ b,\ c$を実数とする．$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき，$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し，左から並べて自然数$n$を作るとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．ただし，例えば$012$は$12$を表すものとする．
(i) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか．
(ii) $3$桁の自然数$n$を作った後，箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき，$n+m=555$となる$n$は何通りか．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$，$0 \leqq y \leqq \pi$のとき，連立方程式
\[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \]
を解け．
(2)$a,\ b,\ c$を実数とする．$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき，$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し，左から並べて自然数$n$を作るとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．ただし，例えば$012$は$12$を表すものとする．
(i) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか．
(ii) $3$桁の自然数$n$を作った後，箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき，$n+m=555$となる$n$は何通りか．
国立 福岡教育大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$，$0 \leqq y \leqq \pi$のとき，連立方程式
\[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \]
を解け．
(2)$a,\ b,\ c$を実数とする．$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき，$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し，左から並べて自然数$n$を作るとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．ただし，例えば$012$は$12$を表すものとする．
(i) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか．
(ii) $3$桁の自然数$n$を作った後，箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき，$n+m=555$となる$n$は何通りか．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$，$0 \leqq y \leqq \pi$のとき，連立方程式
\[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \]
を解け．
(2)$a,\ b,\ c$を実数とする．$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき，$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し，左から並べて自然数$n$を作るとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．ただし，例えば$012$は$12$を表すものとする．
(i) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか．
(ii) $3$桁の自然数$n$を作った後，箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき，$n+m=555$となる$n$は何通りか．
国立 鹿児島大学 2014年 第8問次の各問いに答えよ．
(1)数字$1$が書かれた玉$a$個（$a \geqq 1$）と，数字$2$が書かれた玉$1$個がある．これら$a+1$個の玉を母集団として，玉に書かれている数字を変量とする．このとき，この母集団から復元抽出によって大きさ$3$の無作為標本を抽出し，その玉の数字を取り出した順に$X_1$，$X_2$，$X_3$とする．標本平均$\displaystyle \overline{X}=\frac{X_1+X_2+X_3}{3}$の平均$E(\overline{X})$が$\displaystyle \frac{3}{2}$であるとき，$\overline{X}$の確率分布とその分散$V(\overline{X})$を求めよ．ただし，復元抽出とは，母集団の中から標本を抽出するのに，毎回もとに戻してから次のものを$1$個取り出す抽出法である．
(2)ある企業の入社試験は採用枠$300$名のところ$500$名の応募があった．試験の結果は$500$点満点の試験に対し，平均点$245$点，標準偏差$50$点であった．得点の分布が正規分布であるとみなされるとき，合格最低点はおよそ何点であるか．小数点以下を切り上げて答えよ．ただし，確率変数$Z$が標準正規分布に従うとき，$P(Z>0.25)=0.4$，$P(Z>0.5)=0.3$，$P(Z>0.54)=0.2$とする．
(1)数字$1$が書かれた玉$a$個（$a \geqq 1$）と，数字$2$が書かれた玉$1$個がある．これら$a+1$個の玉を母集団として，玉に書かれている数字を変量とする．このとき，この母集団から復元抽出によって大きさ$3$の無作為標本を抽出し，その玉の数字を取り出した順に$X_1$，$X_2$，$X_3$とする．標本平均$\displaystyle \overline{X}=\frac{X_1+X_2+X_3}{3}$の平均$E(\overline{X})$が$\displaystyle \frac{3}{2}$であるとき，$\overline{X}$の確率分布とその分散$V(\overline{X})$を求めよ．ただし，復元抽出とは，母集団の中から標本を抽出するのに，毎回もとに戻してから次のものを$1$個取り出す抽出法である．
(2)ある企業の入社試験は採用枠$300$名のところ$500$名の応募があった．試験の結果は$500$点満点の試験に対し，平均点$245$点，標準偏差$50$点であった．得点の分布が正規分布であるとみなされるとき，合格最低点はおよそ何点であるか．小数点以下を切り上げて答えよ．ただし，確率変数$Z$が標準正規分布に従うとき，$P(Z>0.25)=0.4$，$P(Z>0.5)=0.3$，$P(Z>0.54)=0.2$とする．
国立 小樽商科大学 2014年 第1問次の$[ ]$の中を適当に補いなさい．
(1)$1$回の操作で溶液の不純物の$25 \, \%$を除去出来る装置で不純物を除去するとき，この操作を複数回行い，元の不純物の$98 \, \%$以上を除去するには，最低何回以上この操作をする必要があるかを求めると$[ ]$回以上．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)中心が$(0,\ 1)$で半径$1$の円がある．下図のように，この円の直径$\mathrm{AB}$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と，$x$軸上の点$\mathrm{C}(1,\ 0)$をとる．$\angle \mathrm{AOC}={60}^\circ$とする．点$\mathrm{A}$の$x$座標を$t$（ただし$t>0$）とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とするとき，$t$と$S$を求めると$(t,\ S)=[ ]$．
（図は省略）
(3)$4$桁の正の整数$n$に対し，千の位，百の位，十の位，一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．$a>b>c>d$を満たす$n$は全部で$p$個あり，$a>c$かつ$b>d$を満たす$n$は全部で$q$個ある．このとき，$p$と$q$を求めると$(p,\ q)=[ ]$．
(1)$1$回の操作で溶液の不純物の$25 \, \%$を除去出来る装置で不純物を除去するとき，この操作を複数回行い，元の不純物の$98 \, \%$以上を除去するには，最低何回以上この操作をする必要があるかを求めると$[ ]$回以上．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)中心が$(0,\ 1)$で半径$1$の円がある．下図のように，この円の直径$\mathrm{AB}$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と，$x$軸上の点$\mathrm{C}(1,\ 0)$をとる．$\angle \mathrm{AOC}={60}^\circ$とする．点$\mathrm{A}$の$x$座標を$t$（ただし$t>0$）とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とするとき，$t$と$S$を求めると$(t,\ S)=[ ]$．
（図は省略）
(3)$4$桁の正の整数$n$に対し，千の位，百の位，十の位，一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．$a>b>c>d$を満たす$n$は全部で$p$個あり，$a>c$かつ$b>d$を満たす$n$は全部で$q$個ある．このとき，$p$と$q$を求めると$(p,\ q)=[ ]$．
国立 島根大学 2014年 第1問$3$つの箱$X,\ Y,\ Z$と$3$つの玉$a,\ b,\ c$があり，$1$つの箱には$1$つの玉が入るとする．箱$X$には$a$が，箱$Y$には$b$が，箱$Z$には$c$が入っている状態から始めて，次の操作を繰り返し行う．
「数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から無作為に$1$つの数字$m$を選ぶ．$m=1$ならば，箱$Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ Y$に移す．$m=2$ならば，箱$X,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X$に移す．$m=3$ならば，箱$X,\ Y$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ X$に移す．$m=4$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ Z,\ X$に移す．$m=5$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X,\ Y$に移す．」
この操作を$n$回繰り返したあとに$3$つの玉が最初の状態に戻っている確率を$p_n$とする．箱$X,\ Y,\ Z$にそれぞれ玉$x,\ y,\ z$が入っている状態を$(x,\ y,\ z)$と表す．たとえば，最初の状態は$(a,\ b,\ c)$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$1$回目の操作を行ったあとの起こりうる状態をすべて挙げ，$p_1$，$p_2$を求めよ．
(2)$n$回目の操作を行ったあとの状態が最初の状態$(a,\ b,\ c)$となっていない確率を$q_n$とする．$n \geqq 1$のとき，$\displaystyle p_{n+1}=\frac{1}{5}q_n$が成り立つことを示せ．
(3)$p_n$を求めよ．
「数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から無作為に$1$つの数字$m$を選ぶ．$m=1$ならば，箱$Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ Y$に移す．$m=2$ならば，箱$X,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X$に移す．$m=3$ならば，箱$X,\ Y$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ X$に移す．$m=4$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ Z,\ X$に移す．$m=5$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X,\ Y$に移す．」
この操作を$n$回繰り返したあとに$3$つの玉が最初の状態に戻っている確率を$p_n$とする．箱$X,\ Y,\ Z$にそれぞれ玉$x,\ y,\ z$が入っている状態を$(x,\ y,\ z)$と表す．たとえば，最初の状態は$(a,\ b,\ c)$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$1$回目の操作を行ったあとの起こりうる状態をすべて挙げ，$p_1$，$p_2$を求めよ．
(2)$n$回目の操作を行ったあとの状態が最初の状態$(a,\ b,\ c)$となっていない確率を$q_n$とする．$n \geqq 1$のとき，$\displaystyle p_{n+1}=\frac{1}{5}q_n$が成り立つことを示せ．
(3)$p_n$を求めよ．
国立 島根大学 2014年 第1問$3$つの箱$X,\ Y,\ Z$と$3$つの玉$a,\ b,\ c$があり，$1$つの箱には$1$つの玉が入るとする．箱$X$には$a$が，箱$Y$には$b$が，箱$Z$には$c$が入っている状態から始めて，次の操作を繰り返し行う．
「数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から無作為に$1$つの数字$m$を選ぶ．$m=1$ならば，箱$Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ Y$に移す．$m=2$ならば，箱$X,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X$に移す．$m=3$ならば，箱$X,\ Y$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ X$に移す．$m=4$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ Z,\ X$に移す．$m=5$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X,\ Y$に移す．」
この操作を$n$回繰り返したあとに$3$つの玉が最初の状態に戻っている確率を$p_n$とする．箱$X,\ Y,\ Z$にそれぞれ玉$x,\ y,\ z$が入っている状態を$(x,\ y,\ z)$と表す．たとえば，最初の状態は$(a,\ b,\ c)$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$1$回目の操作を行ったあとの起こりうる状態をすべて挙げ，$p_1$，$p_2$を求めよ．
(2)$n$回目の操作を行ったあとの状態が最初の状態$(a,\ b,\ c)$となっていない確率を$q_n$とする．$n \geqq 1$のとき，$\displaystyle p_{n+1}=\frac{1}{5}q_n$が成り立つことを示せ．
(3)$p_n$を求めよ．
「数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から無作為に$1$つの数字$m$を選ぶ．$m=1$ならば，箱$Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ Y$に移す．$m=2$ならば，箱$X,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X$に移す．$m=3$ならば，箱$X,\ Y$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ X$に移す．$m=4$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ Z,\ X$に移す．$m=5$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X,\ Y$に移す．」
この操作を$n$回繰り返したあとに$3$つの玉が最初の状態に戻っている確率を$p_n$とする．箱$X,\ Y,\ Z$にそれぞれ玉$x,\ y,\ z$が入っている状態を$(x,\ y,\ z)$と表す．たとえば，最初の状態は$(a,\ b,\ c)$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$1$回目の操作を行ったあとの起こりうる状態をすべて挙げ，$p_1$，$p_2$を求めよ．
(2)$n$回目の操作を行ったあとの状態が最初の状態$(a,\ b,\ c)$となっていない確率を$q_n$とする．$n \geqq 1$のとき，$\displaystyle p_{n+1}=\frac{1}{5}q_n$が成り立つことを示せ．
(3)$p_n$を求めよ．
国立 愛媛大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{AB}=1$，$\angle \mathrm{A}={90}^\circ$を満たす直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{CP}$と線分$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，線分$\mathrm{AR}$の長さを求めよ．
(2)$\displaystyle \left( \frac{1}{3} \right)^{26}$を小数で表すと，小数第何位に初めて$0$でない数字が現れるか．ただし，必要ならば$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ．
(3)$k$を実数とし，不等式$x^2-2x-3>0$，$x^2-(k+1)x+k>0$を満たす実数$x$の集合をそれぞれ$A,\ B$とする．このとき，$A \subset B$であるための必要十分条件を$k$を用いて表せ．
(1)$\mathrm{AB}=1$，$\angle \mathrm{A}={90}^\circ$を満たす直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{CP}$と線分$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，線分$\mathrm{AR}$の長さを求めよ．
(2)$\displaystyle \left( \frac{1}{3} \right)^{26}$を小数で表すと，小数第何位に初めて$0$でない数字が現れるか．ただし，必要ならば$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ．
(3)$k$を実数とし，不等式$x^2-2x-3>0$，$x^2-(k+1)x+k>0$を満たす実数$x$の集合をそれぞれ$A,\ B$とする．このとき，$A \subset B$であるための必要十分条件を$k$を用いて表せ．
国立 信州大学 2014年 第2問次の各問いに答えよ．
(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$，$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような，$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ．
(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する．
(2)$n$を$0$以上の整数とする．$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に，最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか．ただし，$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい．
注：例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり，$14225$の最上位の桁の数字は$1$である．
(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$，$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような，$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ．
(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する．
(2)$n$を$0$以上の整数とする．$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に，最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか．ただし，$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい．
注：例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり，$14225$の最上位の桁の数字は$1$である．
国立 信州大学 2014年 第3問次の各問いに答えよ．
(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$，$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような，$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ．
(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する．
(2)$n$を$0$以上の整数とする．$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に，最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか．ただし，$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい．
注：例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり，$14225$の最上位の桁の数字は$1$である．
(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$，$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような，$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ．
(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する．
(2)$n$を$0$以上の整数とする．$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に，最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか．ただし，$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい．
注：例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり，$14225$の最上位の桁の数字は$1$である．
私立 愛知学院大学 2014年 第4問$1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3$の$8$個の数字を全部使って$8$桁の整数を作る．これらの整数について，次の問いに答えなさい．
(1)百の位，十の位，一の位の数字がすべて$2$である整数は何個あるか．
(2)百の位，十の位，一の位の数字がすべて$1$である整数は何個あるか．
(3)百の位，十の位，一の位の数字が互いに異なる整数は何個あるか．
(4)百の位，十の位，一の位の数字のうち，$2$つの数字が同じで，残りの$1$つの数字がそれらと違う整数は何個あるか．
(1)百の位，十の位，一の位の数字がすべて$2$である整数は何個あるか．
(2)百の位，十の位，一の位の数字がすべて$1$である整数は何個あるか．
(3)百の位，十の位，一の位の数字が互いに異なる整数は何個あるか．
(4)百の位，十の位，一の位の数字のうち，$2$つの数字が同じで，残りの$1$つの数字がそれらと違う整数は何個あるか．