タグ「数列」の検索結果

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立教大学 私立 立教大学 2016年 第2問
$a$を正の整数とし,数列$\{b_n\}$を
\[ b_1=1,\quad b_2=a,\quad b_{n+2}=b_{n+1}+b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める.さらに,$n \geqq 2$に対して,数列$\{c_n\}$を
\[ c_n=b_{n+1}b_{n-1}-{b_n}^2 \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
と定める.

このとき,次の問いに答えよ.


(1)$b_3,\ b_4,\ b_5$をそれぞれ$a$を用いて表せ.
(2)$c_2,\ c_3,\ c_4$をそれぞれ$a$を用いて表せ.
(3)$c_n$を$b_{n-1}$と$b_{n-2}$を用いて表せ.また,$c_{n-1}$を$b_{n-1}$と$b_{n-2}$を用いて表せ.
(4)$c_n$を$c_{n-1}$を用いて表せ.
(5)$2$以上のすべての整数$n$について,$|c_n|=1$が成り立つような$a$をすべて求めよ.
東北学院大学 私立 東北学院大学 2016年 第6問
数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=3a_n+2n$で表されるとき,次の問いに答えよ.

(1)$a_1$と$a_2$を求めよ.
(2)$a_n$を$n$の式で表せ.
愛知工業大学 私立 愛知工業大学 2016年 第1問
次の$[ ]$を適当に補え.$(6)$,$(7)$は選択問題である.

(1)$a$を定数とする.不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす$x$の範囲は$[ア]$である.また,不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす整数$x$が$x=2$だけであるような$a$の範囲は$[イ]$である.
(2)数列$\{a_n\}$は関係式
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}-a_n=2(3^n-n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする.このとき,$a_4=[ウ]$であり,$a_n=[エ]$である.
(3)$\displaystyle \log_2(4-x)+\log_4(x-1)=\frac{1}{2}$をみたす$x$は$x=[オ]$である.
(4)$a$を定数とし,$f(x)=x^3-3x^2-9x+a$とする.区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最小値が$5$であるとき,$a=[カ]$である.またこのとき,区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最大値は$[キ]$である.
(5)$\displaystyle z=\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$とする.$z^n$が実数となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$であり,このとき,$z^n=[ケ]$である.ただし,$i$は虚数単位である.
(6)$1$枚の硬貨を投げ,表が出たときは白球$1$個を壺に入れ,裏が出たときは黒球$1$個を壺に入れる.硬貨を$3$回投げて壺に$3$個の球が入っている.

(i) 壺に白球$1$個と黒球$2$個が入っている確率は$[コ]$である.
(ii) 壺の中から$2$個の球を同時に取り出したとき,それが白球$1$個と黒球$1$個である確率は$[サ]$である.

(7)等式$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{5}{y}=1$をみたす自然数$x,\ y$の組は$(x,\ y)=[シ]$である.
名城大学 私立 名城大学 2016年 第3問
数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=\frac{1}{3},\quad a_{n+1}=\frac{a_n}{1+(2n+3)a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めるとき,次の各問に答えよ.

(1)$\displaystyle \frac{1}{a_2}$と$\displaystyle \frac{1}{a_3}$の値を求めよ.
(2)一般項$a_n$を求めよ.
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ.
京都産業大学 私立 京都産業大学 2016年 第1問
以下の$[ ]$にあてはまる式または数値を記入せよ.

(1)不等式$|2x-4|>x$を満たす$x$の値の範囲は$[ ]$である.
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき,$2 \sin^2 \theta \geqq 3 \cos \theta+3$を満たす$\theta$の値の範囲は$[ ]$である.
(3)以下の数列$\{a_n\}$の階差数列は等差数列になっている.この数列$\{a_n\}$の第$21$項の値は$[ ]$である.
\[ 3,\ 4,\ 11,\ 24,\ 43,\ \cdots \]
(4)$2$つのベクトル$\displaystyle \overrightarrow{a}=\left( x,\ \frac{1}{2} \right),\ \overrightarrow{b}=\left( 2,\ \frac{7}{2} \right)$について,$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$とが垂直であるとき,実数$x$の値は$[ ]$である.
(5)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2+2x}+x \right)$の値は$[ ]$である.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2016年 第5問
数列$\{a_n\}$はすべての項が整数であり,次の性質を満たしている.

「正の整数$n$の正の約数が$k$個あるとき,これらを$d_1,\ d_2,\ \cdots,\ d_k$とすると,
\[ a_{d_1}+a_{d_2}+\cdots +a_{d_k}=n \]
が成り立つ.」

(1)$a_5=[ツ]$,$a_6=[テ]$,$a_{49}=[ト]$である.
(2)$a_{5^{100}}=[ナ] \cdot 5^{99}$である.
(3)$p,\ q$を$p<q$を満たす$2$つの素数とする.$a_{pq}=pq-11$が成立するならば,$p=[ニ]$,$q=[ヌ]$である.
東京都市大学 私立 東京都市大学 2016年 第3問
数列$\{a_n\}$を次のように定める.
\[ a_1=2 \cos \frac{\pi}{4},\quad a_n=2a_{n-1} \cos \frac{\pi}{2^{n+1}} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
このとき,次の問に答えよ.

(1)一般項$\displaystyle b_n=a_n \sin \frac{\pi}{2^{n+1}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ.
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{2^n}$を求めよ.
久留米大学 私立 久留米大学 2016年 第5問
数列$\{a_n\}$が$3(a_{n+1})^2=(a_n)^3$の関係を満たしているとする.ただし,$a_n$は正の実数で,$n$は正の整数とする.

(1)$\log a_n$を$n$と$a_1$を用いて表すと$[$15$]$となる.
(2)数列$\{a_n\}$が収束するような$a_1$の値の範囲は$[$16$]$である.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2016年 第5問
実数$x$に対して,$[x]$は$x$以下の最大の整数を表すものとする.

(1)数列$\displaystyle a_1=\frac{1}{[\sqrt{1}]},\ a_2=\frac{2}{[\sqrt{2}]},\ a_3=\frac{3}{[\sqrt{3}]},\ \cdots,\ a_n=\frac{n}{[\sqrt{n}]},\ \cdots$としたとき,$1$から$99$までの数$n$のうち$a_n$が整数になるものは$[$70$][$71$]$個である.また,$a_n=10$と最初になるのは$n=[$72$][$73$]$のときである.さらに,$\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^n a_i$としたとき,$S_{99}=[$74$][$75$][$76$]$である.
(2)数列$\displaystyle b_1=\frac{1}{[\sqrt[3]{1}]},\ b_2=\frac{2}{[\sqrt[3]{2}]},\ b_3=\frac{3}{[\sqrt[3]{3}]},\ \cdots,\ b_n=\frac{n}{[\sqrt[3]{n}]},\ \cdots$としたとき,$1$から$124$までの数$n$のうち$b_n$が整数になるものは$[$77$][$78$]$個である.また,$b_n=10$と最初になるのは$n=[$79$][$80$]$のときである.さらに,$\displaystyle T_n=\sum_{i=1}^n b_i$としたとき,$T_{124}=\kakkofour{$81$}{$82$}{$83$}{$84$}$である.
立教大学 私立 立教大学 2016年 第3問
次の条件を満たす実数の数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を考える.
\[ a_1=1,\quad b_1=0,\quad \left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}(a_n-b_n) \!\!\!\!\!\!\!\!\phantom{\displaystyle\frac{\mkakko{}}{\mkakko{}}} \\
b_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}(a_n+b_n) \!\!\!\!\!\!\!\!\phantom{\displaystyle\frac{\mkakko{}}{\mkakko{}}}
\end{array} \right. (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また,$i$を虚数単位とし,複素数$z_n$を$z_n=a_n+b_n i$とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$z_{n+1}=\alpha z_n$となる複素数$\alpha$を求めよ.
(2)$(1)$で求めた複素数$\alpha$を極形式で$\alpha=r(\cos \theta+i \sin \theta)$と表すとき,$r$と$\theta$を求めよ.ただし,$0 \leqq \theta<2\pi$とする.
(3)$n \geqq 1$に対して,$z_n$を極形式で$z_n=r_n(\cos \theta_n+i \sin \theta_n)$と表すとき,$r_n$と$\theta_n$を$n$を用いて表せ.ただし,$\theta_n \geqq 0$とする.
(4)$a_1+a_2+a_3+a_4$を求めよ.
(5)$N$を自然数とするとき,$\displaystyle \sum_{n=1}^{4N} a_n$を$N$を用いて表せ.
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