「数列」について
タグ「数列」の検索結果
（10ページ目：全826問中91問～100問を表示）
私立 龍谷大学 2016年 第2問次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=1,\quad a_2=0,\quad a_{n+2}-a_n=3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．
(1)$b_1$を求めなさい．また，$b_{n+1}$を$b_n$で表しなさい．
(2)数列$\{b_n\}$の一般項を求めなさい．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．
\[ a_1=1,\quad a_2=0,\quad a_{n+2}-a_n=3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．
(1)$b_1$を求めなさい．また，$b_{n+1}$を$b_n$で表しなさい．
(2)数列$\{b_n\}$の一般項を求めなさい．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．
私立 東邦大学 2016年 第13問数列$\{a_n\}$は，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$で次の等式を満たしている．
\[ n \cdot a_1+(n-1) \cdot a_2+(n-2) \cdot a_3+\cdots +2 \cdot a_{n-1}+1 \cdot a_n=\frac{n-4}{10}+\frac{2}{n+5} \]
このとき，
\[ \lim_{n \to \infty} (a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{[オ]}{[カキ]} \]
であり，
\[ \lim_{n \to \infty} \biggl\{ 2 \cdot a_1+5 \cdot a_2+8 \cdot a_3+\cdots +(3n-4) \cdot a_{n-1}+(3n-1) \cdot a_n \biggr\}=\frac{[ク]}{[ケ]} \]
である．
\[ n \cdot a_1+(n-1) \cdot a_2+(n-2) \cdot a_3+\cdots +2 \cdot a_{n-1}+1 \cdot a_n=\frac{n-4}{10}+\frac{2}{n+5} \]
このとき，
\[ \lim_{n \to \infty} (a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{[オ]}{[カキ]} \]
であり，
\[ \lim_{n \to \infty} \biggl\{ 2 \cdot a_1+5 \cdot a_2+8 \cdot a_3+\cdots +(3n-4) \cdot a_{n-1}+(3n-1) \cdot a_n \biggr\}=\frac{[ク]}{[ケ]} \]
である．
私立 東京女子大学 2016年 第6問初項が$3$である数列$\{a_n\}$と，その階差数列$\{b_n\}$が，すべての自然数$n$に対して，条件$a_n-b_n=-1$をみたしている．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$a_n \leqq 99999999$となる最大の$n$を求めよ．$\log_{10}2=0.3010$は用いてよい．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$a_n \leqq 99999999$となる最大の$n$を求めよ．$\log_{10}2=0.3010$は用いてよい．
私立 昭和薬科大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)赤球と白球を合わせて$13$個の球が入っている袋から同時に$2$個の球を取り出す．$2$個の球が同じ色である確率が$\displaystyle \frac{7}{13}$であるとき，この袋には$[ア]$個の赤球が入っている．ただし，赤球の個数は白球の個数より多いとする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形であり，$\mathrm{BC}=2$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$2 \sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \cos A=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(3)不等式$\sqrt{(x+2)^2}+\sqrt{(2x-3)^2} \leqq 4$の解は$\displaystyle [エ] \leqq x \leqq \frac{[オ]}{[カ]}$である．
(4)分母が$12$である正の既約分数を値が小さい順に並べた数列
\[ \frac{1}{12},\ \frac{5}{12},\ \frac{7}{12},\ \frac{11}{12},\ \frac{13}{12},\ \cdots \]
の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_4=[キ]$及び$S_8=[ク]$であり，
$\displaystyle S_{39}=\frac{\kakkofour{ケ}{コ}{サ}{シ}}{[ス][セ]}$である．
(5)$\displaystyle \left( \displaystyle\frac{1}{45} \right)^{100}$を小数で表したとき，小数第$[ソ][タ][チ]$位に初めて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(6)$x$の関数$\displaystyle f(x)=\int_1^x y^2(y-3) \, dy$は$x=[ツ]$のとき最小値$[テ][ト]$をとる．
(1)赤球と白球を合わせて$13$個の球が入っている袋から同時に$2$個の球を取り出す．$2$個の球が同じ色である確率が$\displaystyle \frac{7}{13}$であるとき，この袋には$[ア]$個の赤球が入っている．ただし，赤球の個数は白球の個数より多いとする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形であり，$\mathrm{BC}=2$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$2 \sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \cos A=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(3)不等式$\sqrt{(x+2)^2}+\sqrt{(2x-3)^2} \leqq 4$の解は$\displaystyle [エ] \leqq x \leqq \frac{[オ]}{[カ]}$である．
(4)分母が$12$である正の既約分数を値が小さい順に並べた数列
\[ \frac{1}{12},\ \frac{5}{12},\ \frac{7}{12},\ \frac{11}{12},\ \frac{13}{12},\ \cdots \]
の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_4=[キ]$及び$S_8=[ク]$であり，
$\displaystyle S_{39}=\frac{\kakkofour{ケ}{コ}{サ}{シ}}{[ス][セ]}$である．
(5)$\displaystyle \left( \displaystyle\frac{1}{45} \right)^{100}$を小数で表したとき，小数第$[ソ][タ][チ]$位に初めて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(6)$x$の関数$\displaystyle f(x)=\int_1^x y^2(y-3) \, dy$は$x=[ツ]$のとき最小値$[テ][ト]$をとる．
私立 中京大学 2016年 第5問条件$\displaystyle a_1=\frac{2}{5}$，$\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=\frac{2n+7}{6} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められる数列$\{a_n\}$がある．このとき，$\displaystyle a_n=\frac{[ア]}{n^2+[イ]n+[ウ]}$であり，$\displaystyle \sum_{n=1}^{16} a_n=\frac{[エ][オ][カ]}{[キ][ク]}$である．
私立 千葉工業大学 2016年 第4問$x$の$2$次関数$f_1(x),\ f_2(x),\ \cdots,\ f_n(x),\ \cdots$を条件
$f_1(x)=x^2-5x,$
$\displaystyle f_{n+1}(x)=x^2 \int_0^2 \{ t{f_n}^\prime(t)-f_n(t) \} \, dt+x \int_0^2 f_n(t) \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
により定める．さらに，数列$\{a_n\}$，$\{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ f_n(x)=a_nx^2+b_nx \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)${f_n}^\prime(x)=[ア]a_nx+b_n$であり，数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は
\[ a_{n+1}=\frac{[イ]}{[ウ]}a_n,\quad b_{n+1}=\frac{[エ]}{[オ]}a_n+[カ]b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたす．
(2)$\displaystyle a_n=\left( \frac{[キ]}{[ク]} \right)^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$であり，$\displaystyle c_n=\frac{b_n}{{[カ]}^{n-1}}$とおくと，$\displaystyle c_{n+1}-c_n=\left( \frac{[ケ]}{[コ]} \right)^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つ．
(3)$\displaystyle f_n(x)=\left( \frac{[キ]}{[ク]} \right)^{n-1}x^2+\left\{ [サ] \cdot \left( \frac{[シ]}{[ス]} \right)^{n-1}-[セ] \cdot {[ソ]}^{n-1} \right\} x$
である．
(4)$x$の方程式$f_n(x)=0$の$x=0$とは異なる解を$x=p_n$とする．不等式$p_n>M$がすべての正の整数$n$に対して成り立つような定数$M$のうち，最大の整数は$M=[タチ]$であり，$[タチ]<p_n<[タチ]+1$となるような最小の$n$は$[ツ]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
$f_1(x)=x^2-5x,$
$\displaystyle f_{n+1}(x)=x^2 \int_0^2 \{ t{f_n}^\prime(t)-f_n(t) \} \, dt+x \int_0^2 f_n(t) \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
により定める．さらに，数列$\{a_n\}$，$\{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ f_n(x)=a_nx^2+b_nx \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)${f_n}^\prime(x)=[ア]a_nx+b_n$であり，数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は
\[ a_{n+1}=\frac{[イ]}{[ウ]}a_n,\quad b_{n+1}=\frac{[エ]}{[オ]}a_n+[カ]b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたす．
(2)$\displaystyle a_n=\left( \frac{[キ]}{[ク]} \right)^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$であり，$\displaystyle c_n=\frac{b_n}{{[カ]}^{n-1}}$とおくと，$\displaystyle c_{n+1}-c_n=\left( \frac{[ケ]}{[コ]} \right)^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つ．
(3)$\displaystyle f_n(x)=\left( \frac{[キ]}{[ク]} \right)^{n-1}x^2+\left\{ [サ] \cdot \left( \frac{[シ]}{[ス]} \right)^{n-1}-[セ] \cdot {[ソ]}^{n-1} \right\} x$
である．
(4)$x$の方程式$f_n(x)=0$の$x=0$とは異なる解を$x=p_n$とする．不等式$p_n>M$がすべての正の整数$n$に対して成り立つような定数$M$のうち，最大の整数は$M=[タチ]$であり，$[タチ]<p_n<[タチ]+1$となるような最小の$n$は$[ツ]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
私立 福岡大学 2016年 第2問次の$[ ]$をうめよ．
(1)方程式$\log_2 (5-x)=\log_8 (x^2-15)$を解くと$[ ]$である．また，変数$a,\ b$が$\log_9 a=(\log_3 b)^2$をみたすとき$\displaystyle \left( \frac{a}{b} \right)^8$の最小値は$[ ]$である．
(2)$a_1=-30$，$a_{n+1}-a_n=-2n+18$で定められる数列$\{a_n\}$について，$a_n>0$である$n$の個数を求めると$[ ]$であり，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$の最大値を求めると$[ ]$である．
(1)方程式$\log_2 (5-x)=\log_8 (x^2-15)$を解くと$[ ]$である．また，変数$a,\ b$が$\log_9 a=(\log_3 b)^2$をみたすとき$\displaystyle \left( \frac{a}{b} \right)^8$の最小値は$[ ]$である．
(2)$a_1=-30$，$a_{n+1}-a_n=-2n+18$で定められる数列$\{a_n\}$について，$a_n>0$である$n$の個数を求めると$[ ]$であり，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$の最大値を求めると$[ ]$である．
私立 大阪工業大学 2016年 第2問次の空所を埋めよ．
(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．
(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．
私立 玉川大学 2016年 第2問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$であるとする．$\mathrm{CA}=x$とおくとき，
\[ \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{[ア]+x^2}{[イ]x} \]
である．$\angle \mathrm{BAC}$の最大は，${[ウエ]}^\circ$であり，このとき，$x=[オ]$である．
(2)$1 \leqq x \leqq 100$とする．このとき，方程式$2x+3y=31$をみたす整数の組$(x,\ y)$の個数は，$[カキ]$個で，$x$が最小となる解は，$(x,\ y)=([ク],\ [ケ])$である．
(3)方程式
\[ 2 \sin^3 x+\cos 2x-\sin x=0 \]
を解くと，$n$を任意の整数として
\[ x=\frac{\pi}{[コ]}+2n \pi,\ \frac{\pi}{[サ]}+\frac{1}{[シ]}n \pi \]
となる．
(4)$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(t,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(t+\sqrt{2}-1,\ \sqrt{2})$とする．このとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が鋭角になる条件は，
\[ t>[ス],\quad t<-\sqrt{[セ]} \]
であり，鈍角になる条件は，
\[ -\sqrt{[ソ]}<t<[タ] \]
である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n^2+n$で表されるとき，
\[ a_n=[チ]n \]
である．また，
\[ \sum_{k=1}^n (a_k+1)^2=\frac{n}{[ツ]} ([テ]n^2+[トナ]n+[ニヌ]) \]
である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$であるとする．$\mathrm{CA}=x$とおくとき，
\[ \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{[ア]+x^2}{[イ]x} \]
である．$\angle \mathrm{BAC}$の最大は，${[ウエ]}^\circ$であり，このとき，$x=[オ]$である．
(2)$1 \leqq x \leqq 100$とする．このとき，方程式$2x+3y=31$をみたす整数の組$(x,\ y)$の個数は，$[カキ]$個で，$x$が最小となる解は，$(x,\ y)=([ク],\ [ケ])$である．
(3)方程式
\[ 2 \sin^3 x+\cos 2x-\sin x=0 \]
を解くと，$n$を任意の整数として
\[ x=\frac{\pi}{[コ]}+2n \pi,\ \frac{\pi}{[サ]}+\frac{1}{[シ]}n \pi \]
となる．
(4)$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(t,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(t+\sqrt{2}-1,\ \sqrt{2})$とする．このとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が鋭角になる条件は，
\[ t>[ス],\quad t<-\sqrt{[セ]} \]
であり，鈍角になる条件は，
\[ -\sqrt{[ソ]}<t<[タ] \]
である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n^2+n$で表されるとき，
\[ a_n=[チ]n \]
である．また，
\[ \sum_{k=1}^n (a_k+1)^2=\frac{n}{[ツ]} ([テ]n^2+[トナ]n+[ニヌ]) \]
である．
私立 大阪工業大学 2016年 第2問次の空所を埋めよ．
(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．
(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．