数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=\frac{1}{3},\quad a_{n+1}=\frac{a_n}{1+(2n+3)a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めるとき，次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{a_2}$と$\displaystyle \frac{1}{a_3}$の値を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．

以下の計算をせよ．

(1)$\displaystyle \sum_{k=0}^8 \comb{8}{k}=[オ][カ][キ]$
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^8 (-1)^k \comb{8}{k}+\sum_{k=0}^8 \comb{8}{k}=[ク][ケ][コ]$

$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{1}{2} \cos (2n+1) \theta+\sum_{j=1}^n (\sin 2j \theta) \sin \theta=\frac{1}{2} \cos \theta \]

次の文中の$[ア]$～$[ヌ]$にあてはまる最も適切な数値を答えなさい．

(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が
\[ |\overrightarrow{a|}=2,\quad |\overrightarrow{b|}=\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{a|-2 \overrightarrow{b}}=2 \sqrt{2} \]
を満たすとき$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$である．また$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$を最小にする実数$t$の値は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である．

(2)$1$次不定方程式$17x+59y=1$のすべての整数解は，$n$を任意の整数として
\[ x=59n+[エ],\quad y=-17n+[オ] \]
である．
(3)$i$を虚数単位とし，$z=-1+\sqrt{3}i$とすると，
\[ z^2=[カ]+[キ] \sqrt{3}i,\quad z^3=[ク]+[ケ] \sqrt{3}i \]
である．また，$z^n$を$n$について$1$から$9$まで足し合わせると，
\[ \sum_{n=1}^9 z^n=[コ][サ] \left( [シ]+[ス] \sqrt{3}i \right) \]
となる．
(4)$\displaystyle \log_{15}900=[セ]+\frac{[ソ]}{\log_2 [タ]+\log_2 [チ]}$である．

(5)区間$[0,\ \pi]$を定義域とする$2$つの関数$f_1(x)=\cos (x+\alpha)+d$と$f_2(x)=\cos (x-\alpha)-d$を考える．
$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4},\ d=\frac{1}{4}$のとき，これら$2$つの関数のグラフの交点の$x$座標は
\[ \sin x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]} \]
を満足する．
また，$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$のとき，$\displaystyle d=\frac{[ト]}{[ナ]}$であればこれら$2$つの関数のグラフは，$\displaystyle x=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$で接している．

次の問に答えよ．

(1)$i$を虚数単位とする．複素数$\alpha=2 \left( \cos \displaystyle\frac{\pi}{12}+i \sin \displaystyle\frac{\pi}{12} \right)$と$0$でない複素数$\beta$に対し，複素数平面上の$3$点を$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{P}(\alpha\beta)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \displaystyle\frac{\beta}{\alpha} \right)$と定める．三角形$\mathrm{OPQ}$の面積が$3$であるとき，$|\beta|$を求めよ．

(2)等式$\displaystyle \sum_{k=1}^4 \log_2 \frac{x}{k}=-\log_2 864$を満たす実数$x$を求めよ．

(3)点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(x,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ y,\ z)$について，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{OB}$，$\mathrm{OB} \perp \mathrm{OC}$，$\mathrm{OC} \perp \mathrm{OA}$が成り立つとき，実数$x,\ y,\ z$の値を求めよ．さらに四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

実数$x$に対して，$[x]$は$x$以下の最大の整数を表すものとする．

(1)数列$\displaystyle a_1=\frac{1}{[\sqrt{1}]},\ a_2=\frac{2}{[\sqrt{2}]},\ a_3=\frac{3}{[\sqrt{3}]},\ \cdots,\ a_n=\frac{n}{[\sqrt{n}]},\ \cdots$としたとき，$1$から$99$までの数$n$のうち$a_n$が整数になるものは$[$70$][$71$]$個である．また，$a_n=10$と最初になるのは$n=[$72$][$73$]$のときである．さらに，$\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^n a_i$としたとき，$S_{99}=[$74$][$75$][$76$]$である．
(2)数列$\displaystyle b_1=\frac{1}{[\sqrt[3]{1}]},\ b_2=\frac{2}{[\sqrt[3]{2}]},\ b_3=\frac{3}{[\sqrt[3]{3}]},\ \cdots,\ b_n=\frac{n}{[\sqrt[3]{n}]},\ \cdots$としたとき，$1$から$124$までの数$n$のうち$b_n$が整数になるものは$[$77$][$78$]$個である．また，$b_n=10$と最初になるのは$n=[$79$][$80$]$のときである．さらに，$\displaystyle T_n=\sum_{i=1}^n b_i$としたとき，$T_{124}=\kakkofour{$81$}{$82$}{$83$}{$84$}$である．

次の空欄$[ア]$～$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ア]$，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[イ]$である．
(2)高さが$1$の円錐を，頂点から$a$の距離で底面に平行な面で上下$2$つに切断する．体積が$2$等分されるのは，$a=[ウ]$のときである．
(3)$\displaystyle \sum_{k=5}^{20}(2k-7)$の値は$[エ]$である．
(4)多項式$(x-1)(x-2)(x-3)$を$x-4$で割った余りを$A$，$(x-2)(x-3)(x-4)$を$x-1$で割った余りを$B$，$(x-3)(x-4)(x-1)$を$x-2$で割った余りを$C$とすると，$A+B+C=[オ]$である．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^5 |x^2-9| \, dx$の値は$[カ]$である．
(6)$5$人の大人と$3$人の子どもが，円形のテーブルの周りに座る．子ども同士が隣り合わない座り方は全部で$[キ]$通りある．ただし，回転して一致するものは同じ座り方とみなす．
(7)半透明のガラス板がある．光がガラス板$1$枚を通ると，その強さが$8$割に減る．光の強さが当初の$1$割未満となるのは，ガラス板を$[ク]$枚以上重ねたときである．ただし，必要であれば$\log_{10}2=0.3010$を用いよ．
(8)$1$周$300 \, \mathrm{m}$の池の周りを，$\mathrm{A}$は徒歩で，$\mathrm{B}$は自転車で，同じ地点から同時にスタートし，同じ方向に回る．自転車が徒歩の$5$倍の速さで進むとき，$\mathrm{B}$が池を$1$周したあと，$\mathrm{A}$を初めて追い抜く地点は，スタート地点から進行方向に$[ケ] \, \mathrm{m}$進んだ地点である．

数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和$S_n$が$S_n=n^3+3n^2+2n$であるとする．次の各問に答えよ．

(1)$a_1,\ a_2$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．

(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{a_k}$を求めよ．

数列$\{a_n\}$は，初項が$1$，公比$2$の等比数列であるとする．$\displaystyle S=\sum_{n=1}^{101}a_n$としたとき，$S+1$は，$(30+b)$桁の整数になる．$b$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．

次の条件を満たす実数の数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を考える．
\[ a_1=1,\quad b_1=0,\quad \left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}(a_n-b_n) \!\!\!\!\!\!\!\!\phantom{\displaystyle\frac{\mkakko{}}{\mkakko{}}} \\
b_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}(a_n+b_n) \!\!\!\!\!\!\!\!\phantom{\displaystyle\frac{\mkakko{}}{\mkakko{}}}
\end{array} \right. (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，$i$を虚数単位とし，複素数$z_n$を$z_n=a_n+b_n i$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$z_{n+1}=\alpha z_n$となる複素数$\alpha$を求めよ．
(2)$(1)$で求めた複素数$\alpha$を極形式で$\alpha=r(\cos \theta+i \sin \theta)$と表すとき，$r$と$\theta$を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$n \geqq 1$に対して，$z_n$を極形式で$z_n=r_n(\cos \theta_n+i \sin \theta_n)$と表すとき，$r_n$と$\theta_n$を$n$を用いて表せ．ただし，$\theta_n \geqq 0$とする．
(4)$a_1+a_2+a_3+a_4$を求めよ．
(5)$N$を自然数とするとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^{4N} a_n$を$N$を用いて表せ．