数列$\{a_n\}$を初項1，公差$\displaystyle \frac{2}{7}$の等差数列とするとき，次の問に答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$および初項から第$n$項までの和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を$n$を用いて表せ．
(2)実数$x$に対して，$m \leqq x$をみたす最大の整数$m$を$[\,x\,]$で表す．数列$\{b_n\}$を$b_n=[\,a_n\,]$で定めるとき，$b_7,\ b_{14},\ b_{15}$を求めよ．
(3)(2)で定めた数列$\{b_n\}$について，$b_{100}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} b_k$を求めよ．

数列$\{a_n\}$を初項1，公差$\displaystyle \frac{2}{7}$の等差数列とするとき，次の問に答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$および初項から第$n$項までの和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を$n$を用いて表せ．
(2)実数$x$に対して，$m \leqq x$をみたす最大の整数$m$を$[\,x\,]$で表す．数列$\{b_n\}$を$b_n=[\,a_n\,]$で定めるとき，$b_7,\ b_{14},\ b_{15}$を求めよ．
(3)(2)で定めた数列$\{b_n\}$について，$b_{100}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} b_k$を求めよ．

定積分
\[ I_n=\int_1^{\sqrt{e}} (\log x)^n \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
について，次の各問に答えよ．

(1)$I_1$の値を求めよ．
(2)等式
\[ I_{n+1}=\sqrt{e} \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1}-(n+1)I_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つことを示せ．
(3)すべての自然数$n$について，等式
\[ I_n=(-1)^{n-1}n!+\sqrt{e}\sum_{m=0}^n (-1)^{n-m}\frac{n!}{m!}\left( \frac{1}{2} \right)^m \]
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，$0!=1$とする．

表の出る確率が$p$，裏の出る確率が$1-p$のコインがある．このコインを投げ，その結果により，駒が2点A，Bの間を移動し，ポイントを獲得することを繰り返す次のようなゲームを行う．

ルールa) \ 駒はゲームを始めるとき，点Aにいる．
ルールb) \ 駒はコイン投げで表が出ればそのときいる点にとどまり，裏が出ればもう一方の点に移動する．
ルールc) \ $k$回目のコイン投げの結果，駒が点Aにいるときは$2^k$ポイント新たに獲得し，点Bにいるときは1ポイント新たに獲得する．($k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$)

$n$を自然数とし，$n$回コインを投げた結果，駒が点Aにいる確率を$a_n$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$a_1$を求めよ．さらに，$a_{n+1}$を$a_n$と$p$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$n$と$p$を用いて表せ．
(3)$k$回目のコイン投げの結果により新たに獲得するポイントの期待値を$E_k$とおく．$\displaystyle p=\frac{3}{4}$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n E_k$を求めよ．

定積分
\[ I_n=\int_1^{\sqrt{e}} (\log x)^n \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
について，次の各問に答えよ．

(1)$I_1$の値を求めよ．
(2)等式
\[ I_{n+1}=\sqrt{e} \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1}-(n+1)I_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つことを示せ．
(3)すべての自然数$n$について，等式
\[ I_n=(-1)^{n-1}n!+\sqrt{e}\sum_{m=0}^n (-1)^{n-m}\frac{n!}{m!}\left( \frac{1}{2} \right)^m \]
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，$0!=1$とする．

等比数列$3,\ 6,\ 12,\ \cdots$を$\{a_n\}$とし，この数列の第$n$項から第$2n-1$項までの和を$T_n$とする．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．
(2)$T_n$を求めなさい．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n T_k$を求めなさい．

等比数列$3,\ 6,\ 12,\ \cdots$を$\{a_n\}$とし，この数列の第$n$項から第$2n-1$項までの和を$T_n$とする．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．
(2)$T_n$を求めなさい．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n T_k$を求めなさい．

$a,\ b$を$a>b>0$を満たす定数とし，
\[ \left\{
\begin{array}{l}
a_1=a, a_{n+1}=a_n^2+b_n^2 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_1=b, b_{n+1}=2a_nb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array}
\right. \]
で定義される数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を考える．次の問いに答えよ．

(1)数列$\{c_n\}$を$c_n=a_n+b_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$により定義するとき，その一般項$c_n$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項$a_n,\ b_n$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{b_n}{a_n}$が存在するかどうかを調べ，存在する場合はその値を求めよ．
(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$が収束するとき，$a+b<1$が成り立つことを証明せよ．

以下の問いに答えよ．

(1)等式$\displaystyle 2 \sin k\theta \sin \frac{\theta}{2}=\cos \left( k-\frac{1}{2} \right) \theta - \cos \left( k+\frac{1}{2} \right) \theta$を示せ．
(2)$n$が自然数のとき，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \sin k\theta$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$n$と$r$を自然数とする．

\mon[(i)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき，${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-1} \text{C}_r$を示せ．
\mon[(ii)] $n \geqq 3,\ r \leqq n-2$のとき，${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-2} \text{C}_{r-1}+{}_{n-2} \text{C}_r$を示せ．
\mon[(iii)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき，$\displaystyle {}_n \text{C}_{r} = \sum_{k=1}^{n-r} {}_{n-k} \text{C}_{r-1}+{}_r \text{C}_r$を示せ．

(2)「あるアイスクリーム店で，6種類のアイスクリームから通常料金の半額で3種類のアイスクリームを選べるという，格安3点セールを実施している．異なる3種類の組合せは何通りあるか答えよ．」という問題に対して，以下のような答案があった．これを詳しく解説せよ．\\
(答案)\\
まず$4+3+2+1=10$である．\\
次に$3+2+1=6$となる．\\
さらに$2+1=3$である．\\
最後に1がある．\\
よって$10+6+3+1=20$なので求める組合せは20通りである．