$a$を正の整数とする．正の実数$x$についての方程式
\[ (*) \quad x = \left[ \frac{1}{2} \left( x+ \frac{a}{x} \right) \right] \]
が解を持たないような$a$を小さい順に並べたものを$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$とする．ここに$[ \quad ]$はガウス記号で，実数$u$に対し，$[ \; u \; ]$は$u$以下の最大の整数を表す．

(1)$a = 7,\ 8,\ 9$の各々について，$(*)$の解があるかどうかを判定し，ある場合は解$x$を求めよ．
(2)$a_1,\ a_2$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}$を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & -r \\
-r & 0
\end{array} \right) \ (r>0)$と座標平面上の点P$_0(-1,\ 2)$，P$_1(x_1,\ y_1)$，P$_2(x_2,\ y_2)$，$\cdots$，P$_n(x_n,\ y_n)$，$\cdots$は，式
\[ \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right) = A^n \left( \begin{array}{c}
-1 \\
2
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする．次の問いに答えよ．

(1)$A^{2k},\ A^{2k+1} \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ．
(2)$x_n,\ y_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ．
(3)線分P$_{n-1}$P$_n$の長さを$d_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．数列$\{d_n\}$の初項$d_1$と一般項$d_n$を求めよ．また，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} d_n$が収束し，その和が3となるような$r$の値を求めよ．

各項が正の実数である数列$\{a_n\}$が，$a_1=1$と関係式
\[ a_{n+1}-a_n=\sqrt{n} \left(1+\frac{1}{a_n+a_{n+1}} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたしている．次の問いに答えよ．

(1)$a_n \geqq \sqrt{n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{k} \leqq \frac{2}{3}(n^{\frac{3}{2}}-1) \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を示せ．
(3)$\displaystyle a_n \leqq \frac{2}{3}n^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2}n -\frac{1}{6} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．

次の問いに答えよ．

(1)四面体OABCにおいて，OA$\perp$BCかつOB$\perp$CAならば，OC$\perp$ABとなることを証明せよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x^3 e^{x^2} \, dx$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n}{4n^2-k^2}$を求めよ．

関数$\displaystyle y = \frac{\cos x}{e^x} \ (x > 0)$の極大値を，大き方から順に
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots \]
とする．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$の和を求めよ．

次の極限値を求めよ．

(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log \left( 1+\frac{k}{n} \right)$
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \sin \frac{k}{n} \pi$

整数$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して，
\begin{eqnarray}
& & a_n = \int_n^{n+1} \{xe^{-x}-(n+1)e^{-n-1}(x-n) \} \, dx \nonumber \\
& & b_n = \int_n^{n+1} \{xe^{-x}-(n+1)e^{-n-1} \} \, dx \nonumber
\end{eqnarray}
とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)$a_0,\ b_0$を求めよ．
(2)$c_n=a_n-b_n$で定める数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^n c_k$であるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{e^n}=0$を用いてよい．

数列$\{a_n\}$は等比数列で，その公比は0以上の実数であるとする．自然数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=1}^n a_k, T_n=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}a_k, U_n=\sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
とするとき，$n$が奇数ならば，$S_n \cdot T_n=U_n$が成り立つことを示せ．

数列$\{a_n\}$は等比数列で，その公比は$0$以上の実数であるとする．自然数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=1}^n a_k, T_n=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}a_k, U_n=\sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
とするとき，$n$が奇数ならば，$S_n \cdot T_n=U_n$が成り立つことを示せ．

数列$\{a_n\}$を初項1，公差$\displaystyle \frac{2}{7}$の等差数列とするとき，次の問に答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$および初項から第$n$項までの和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を$n$を用いて表せ．
(2)実数$x$に対して，$m \leqq x$をみたす最大の整数$m$を$[\,x\,]$で表す．数列$\{b_n\}$を$b_n=[\,a_n\,]$で定めるとき，$b_7,\ b_{14},\ b_{15}$を求めよ．
(3)(2)で定めた数列$\{b_n\}$について，$b_{100}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} b_k$を求めよ．