「数列の和」について
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国立 群馬大学 2011年 第5問自然数$k$に対し，$\displaystyle a_k=\frac{(3k+1)(3k+2)}{3k(k+1)}$で与えられる数列を考える．
(1)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を$n$の式で表す．
(2)数列$\{a_k\}$から$b_1=a_1,\ b_2=a_2+a_3+a_4,\ b_3=a_5+a_6+a_7+a_8+a_9,\ \cdots$のように，奇数個ずつの$a_k$の和をとり数列$\{b_k\}$を考えるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k \geqq 675$となる最小の$n$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を$n$の式で表す．
(2)数列$\{a_k\}$から$b_1=a_1,\ b_2=a_2+a_3+a_4,\ b_3=a_5+a_6+a_7+a_8+a_9,\ \cdots$のように，奇数個ずつの$a_k$の和をとり数列$\{b_k\}$を考えるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k \geqq 675$となる最小の$n$の値を求めよ．
国立 山形大学 2011年 第4問次の問に答えよ．
(1)自然数$p,\ q$を自然数$m$で割ったときの余りをそれぞれ$r,\ s$とする．このとき，$pq-rs$は$m$の倍数であることを示せ．
(2)$n$が自然数のとき，$3^n$を4で割ったときの余りを求めよ．
(3)$n$を自然数とし，$r$を実数とするとき，二項展開を利用して
\[ \sum_{k=1}^n {}_{2n} \text{C}_{2k-1} \cdot r^{2k-1} \]
を求めよ．
(4)サイコロを$2n$回振り，出た目をすべて掛け合わせた数を$X_n$とする．使用するサイコロの目は1，2，3，4，5，6であり，どの目の出る確率も$\displaystyle \frac{1}{6}$である．このとき，$X_n$を4で割ったときの余りが3である確率$P_n$を求めよ．
(1)自然数$p,\ q$を自然数$m$で割ったときの余りをそれぞれ$r,\ s$とする．このとき，$pq-rs$は$m$の倍数であることを示せ．
(2)$n$が自然数のとき，$3^n$を4で割ったときの余りを求めよ．
(3)$n$を自然数とし，$r$を実数とするとき，二項展開を利用して
\[ \sum_{k=1}^n {}_{2n} \text{C}_{2k-1} \cdot r^{2k-1} \]
を求めよ．
(4)サイコロを$2n$回振り，出た目をすべて掛け合わせた数を$X_n$とする．使用するサイコロの目は1，2，3，4，5，6であり，どの目の出る確率も$\displaystyle \frac{1}{6}$である．このとき，$X_n$を4で割ったときの余りが3である確率$P_n$を求めよ．
国立 小樽商科大学 2011年 第1問次の[ ]の中を適当に補いなさい．
(1)$\displaystyle \left( \frac{81}{80} \right)^{2011}$の整数部分の桁数は[ ]桁である．ただし，$\log_{10}2=0.30103,\ \log_{10}3=0.47712$とする．
(2)$y=|x|+|x-1|$と$y=x+2$で囲まれた図形の面積は[ ]．
(3)$\displaystyle 16 \sum_{k=1}^n k=5200$のとき，$n=[ ]$．
(1)$\displaystyle \left( \frac{81}{80} \right)^{2011}$の整数部分の桁数は[ ]桁である．ただし，$\log_{10}2=0.30103,\ \log_{10}3=0.47712$とする．
(2)$y=|x|+|x-1|$と$y=x+2$で囲まれた図形の面積は[ ]．
(3)$\displaystyle 16 \sum_{k=1}^n k=5200$のとき，$n=[ ]$．
国立 高知大学 2011年 第2問$n$を2以上の自然数とする．平面上に距離が1である2点O，P$_0$がある．中心がOで半径1の円周上に点P$_k \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$を反時計回りに$\displaystyle \angle \text{P}_k \text{OP}_0=\frac{k\pi}{n}$となるようにとる．三角形P$_k$OP$_{k-1}$の面積を$T_k$と表し，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n T_k$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$S_2$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$で表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(4)$e_k$を線分P$_{k-1}$P$_k$の長さとおいて，$\displaystyle E_n=\sum_{k=1}^n e_k$とする．このとき，
\[ S_n=\frac{1}{2}E_n \sin \frac{(n-1) \pi}{2n} \]
を示せ．
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}E_n$を求めよ．
(1)$S_2$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$で表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(4)$e_k$を線分P$_{k-1}$P$_k$の長さとおいて，$\displaystyle E_n=\sum_{k=1}^n e_k$とする．このとき，
\[ S_n=\frac{1}{2}E_n \sin \frac{(n-1) \pi}{2n} \]
を示せ．
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}E_n$を求めよ．
国立 福井大学 2011年 第4問関数$f_n(x) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の条件を満たしている．
$(ⅰ)$ $f_0(x)=e^{2x}+1$
$(ⅱ)$ $\displaystyle f_n(x)=\int_0^x (n+2t)f_{n-1}(t) \, dt-\frac{2x^{n+1}}{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
このとき以下の問いに答えよ．
(1)$f_1(x),\ f_2(x)$を求めよ．
(2)$f_n(x)$の具体的な形を推測し，その結果を数学的帰納法で証明せよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left\{ f_n^\prime \left( \frac{1}{2} \right) \right\}$を求めよ．ただし，$0<r<1$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nr^n=0$となることを用いてよい．
$(ⅰ)$ $f_0(x)=e^{2x}+1$
$(ⅱ)$ $\displaystyle f_n(x)=\int_0^x (n+2t)f_{n-1}(t) \, dt-\frac{2x^{n+1}}{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
このとき以下の問いに答えよ．
(1)$f_1(x),\ f_2(x)$を求めよ．
(2)$f_n(x)$の具体的な形を推測し，その結果を数学的帰納法で証明せよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left\{ f_n^\prime \left( \frac{1}{2} \right) \right\}$を求めよ．ただし，$0<r<1$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nr^n=0$となることを用いてよい．
国立 福岡教育大学 2011年 第2問次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$において，$a_n$は小数第$1$位から小数第$n$位までの数字が$0$で小数第$(n+1)$位から小数第$2n$位までの数字が$9$であり，小数第$(2n+1)$位以降の数字が$0$である実数とする．ただし，$0<a_n<1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．また，数列$\{b_n\}$を，$b_n=10^na_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．
(i) $b_1,\ b_2,\ b_3$を求め，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(ii) $\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．$s_n$を求めよ．
(iii) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}s_n$を求めよ．
(2)当たりくじが$k$本入っている$n$本のくじがある．ただし，$n \geqq 2$とする．この中から$2$本のくじを同時に引く．
(i) 少なくとも$1$本当たる確率を，$n$および$k$で表せ．
(ii) $n=21$のとき，少なくとも$1$本当たる確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$以上となる最小の$k$を求めよ．
(iii) $n=21$のとき，$2$本とも当たる確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$以下となる最大の$k$を求めよ．
(1)数列$\{a_n\}$において，$a_n$は小数第$1$位から小数第$n$位までの数字が$0$で小数第$(n+1)$位から小数第$2n$位までの数字が$9$であり，小数第$(2n+1)$位以降の数字が$0$である実数とする．ただし，$0<a_n<1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．また，数列$\{b_n\}$を，$b_n=10^na_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．
(i) $b_1,\ b_2,\ b_3$を求め，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(ii) $\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．$s_n$を求めよ．
(iii) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}s_n$を求めよ．
(2)当たりくじが$k$本入っている$n$本のくじがある．ただし，$n \geqq 2$とする．この中から$2$本のくじを同時に引く．
(i) 少なくとも$1$本当たる確率を，$n$および$k$で表せ．
(ii) $n=21$のとき，少なくとも$1$本当たる確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$以上となる最小の$k$を求めよ．
(iii) $n=21$のとき，$2$本とも当たる確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$以下となる最大の$k$を求めよ．
国立 長崎大学 2011年 第4問次の問いに答えよ．
(1)関係式
\[ a_1=1,\quad na_{n+1}-(n+1)a_n=1 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定義される数列$\{a_n\}$の一般項を求めたい．$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{n} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおいて数列$\{b_n\}$の一般項を求めることにより，$a_n$を求めよ．
(2)$x \neq 1$のとき，等比数列の和の公式
\[ \sum_{k=0}^{n-1}x^k=\frac{x^n-1}{x-1} \]
の両辺を$x$で微分せよ．その結果を利用して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}kx^k$を求めよ．
(3)$p \neq 1$のとき，関係式
\[ c_1=0,\quad \frac{pc_{n+1}}{n}-\frac{c_n}{n+1}=\frac{1}{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定義される数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(1)関係式
\[ a_1=1,\quad na_{n+1}-(n+1)a_n=1 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定義される数列$\{a_n\}$の一般項を求めたい．$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{n} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおいて数列$\{b_n\}$の一般項を求めることにより，$a_n$を求めよ．
(2)$x \neq 1$のとき，等比数列の和の公式
\[ \sum_{k=0}^{n-1}x^k=\frac{x^n-1}{x-1} \]
の両辺を$x$で微分せよ．その結果を利用して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}kx^k$を求めよ．
(3)$p \neq 1$のとき，関係式
\[ c_1=0,\quad \frac{pc_{n+1}}{n}-\frac{c_n}{n+1}=\frac{1}{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定義される数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
国立 東京海洋大学 2011年 第5問数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left( p+\frac{k}{n} \right)^2 (n=1,\ 2,\ \cdots)$で定める．ただし，$p$は実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)すべての実数$p$に対して，$\displaystyle a_n \geqq \frac{1}{12} \left( 1-\frac{1}{n^2} \right) (n=1,\ 2,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle p=\frac{5}{3}$のとき，$a_n<5$となる最小の$n$の値を求めよ．
(1)すべての実数$p$に対して，$\displaystyle a_n \geqq \frac{1}{12} \left( 1-\frac{1}{n^2} \right) (n=1,\ 2,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle p=\frac{5}{3}$のとき，$a_n<5$となる最小の$n$の値を求めよ．
国立 大分大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)正弦定理の証明をせよ．ただし，鋭角三角形の場合だけの証明でよい．
(2)実数$x_i,\ y_i,\ i=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対して次の不等式を証明せよ．ただし，$n$は自然数である．
\[ \sum_{i=1}^n x_iy_i \leqq \sqrt{\sum_{i=1}^n {x_i}^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n {y_i}^2} \]
(1)正弦定理の証明をせよ．ただし，鋭角三角形の場合だけの証明でよい．
(2)実数$x_i,\ y_i,\ i=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対して次の不等式を証明せよ．ただし，$n$は自然数である．
\[ \sum_{i=1}^n x_iy_i \leqq \sqrt{\sum_{i=1}^n {x_i}^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n {y_i}^2} \]
私立 早稲田大学 2011年 第3問初項$1$，公差$2$の等差数列$\{a_n\}$に対して，数列$\{b_n\},\ \{c_n\},\ \{d_n\}$をそれぞれ
\[ b_n = \frac{2n+1}{a_n}, \quad c_n= \log_3 b_n, \quad d_n = \sum_{k=1}^{n}c_k \]
で定める．このとき，
\[ d_n = \log_3 \left([カ]n+[キ]\right) \]
となる．さらに，$d_n$が整数となるような$n$を小さい順に$m$個並べて，その和を求めると，
\[ \frac{[ク]^{m+1}+[ケ]m+[コ]}{4}\]
となる．
\[ b_n = \frac{2n+1}{a_n}, \quad c_n= \log_3 b_n, \quad d_n = \sum_{k=1}^{n}c_k \]
で定める．このとき，
\[ d_n = \log_3 \left([カ]n+[キ]\right) \]
となる．さらに，$d_n$が整数となるような$n$を小さい順に$m$個並べて，その和を求めると，
\[ \frac{[ク]^{m+1}+[ケ]m+[コ]}{4}\]
となる．