正の数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$と自然数$n \geqq 2$に対して，次の不等式が成り立つことを数学的帰納法で証明しなさい．
\[ \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{1+a_i} > \frac{a_1 +a_2 + \cdots +a_n}{1+a_1 +a_2+\cdots+a_n} \]

数列$\{a_n\}$を，
\begin{eqnarray}
& & a_1=1, \nonumber \\
& & (n+3)a_{n+1}-na_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{eqnarray}
によって定める．

(1)$b_n=n(n+1)(n+2)a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定まる数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)等式
\[ p(n+1)(n+2)+qn(n+2)+rn(n+1)=b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つように，定数$p,\ q,\ r$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を$n$の式で表せ．

$\displaystyle f(x)=x\int_0^x \frac{dt}{1+t^2}, g(x)=\log (1+x^2) \ (x \text{は実数})$とおく．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$の値を求めよ．
(2)$x>0$のとき$f(x) > g(x)$であることを証明せよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ \left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log (k^2+n^2) \right) -2\log n \right\}$の値を求めよ．

次の文章について，後の問いに答えよ．\\ \\
\quad 地球温暖化問題に関して，二酸化炭素の排出量の削減が叫ばれている．2008年に日本で開かれたサミットでは，42年後の2050年までに，年当たりの排出量を2008年のときと比較して50$\%$以上削減する，という目標が提言された．この目標を達成するために，前年比同率で削減することを考える．\\
\quad 2008年における排出量を$a \ (a>0)$とし，毎年，前年の$d \times 100 \% \ (0<d<1)$を減らすこととする．2008年の1年後の2009年の排出量の目標は[\bf ア]である．2008年から$n$年後の年間排出量を$a_n$とおくと，$a_n=[イ]$である．目標を達成するには$\displaystyle a_{42} \leqq \frac{a}{2}$，つまり，$d$を用いた式で表せば，
\[ [ウ] \leqq \frac{1}{2} \]
が成り立てばよい．両辺の逆数をとれば$\displaystyle \frac{1}{[ウ]} \geqq 2$となる．ところで，不等式
\[ (1+d)^{42} < \frac{1}{[ウ]} \ \, \cdots\cdots \maru{1} \]
が成り立つことがわかる．従って，
\[ (1+d)^{42} \geqq 2 \qquad\qquad \cdots\cdots \maru{2} \]
を満たす$d$を見つければ目標を達成することは明らかである．不等式\maru{2}の左辺は，二項定理により
\[ (1+d)^{42} =\sum_{r=0}^{42} [エ] \]
と表される．これを用いると，\underline{$d=0.02$は不等式\maru{2}を満たす}ことがわかる．つまり，毎年$2\%$の削減を2009年から行ったとすれば，42年後の2050年の排出量は2008年の$50\%$未満となることがわかった．

(1)文章中の[ア]～[エ]に当てはまる式を答えよ．
(2)$0<d<1$とするとき，不等式\maru{1}を証明せよ．
(3)下線部の命題を証明せよ．
(4)毎年$2\%$の削減を行った場合でも，42年間の排出量の合計は，削減率を0のまま2008年と同じ排出量を同じ期間続けたときの排出量の合計の$\displaystyle \frac{7}{12}$倍より大きくなることを証明せよ．

曲線$C:y=e^{-x}|\sin x| \ (x \geqq 0)$がある．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle I=\int e^{-x} \sin x \, dx,\ J=\int e^{-x} \cos x \, dx$とおく．$I,\ J$をそれぞれ部分積分して，$I$を求めよ．
(2)$2n \pi \leqq x \leqq (2n+1)\pi \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$の範囲で，曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S_{2n}$を求めよ．
(3)$(2n+1) \pi \leqq x \leqq 2(n+1)\pi \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$の範囲で，曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S_{2n+1}$を求めよ．
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty S_k$を求めよ．

自然数$n$に対し
\begin{eqnarray}
& & S_n=\int_0^1 \frac{1-(-x)^n}{1+x} \, dx \nonumber \\
& & T_n=\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k(k+1)} \nonumber
\end{eqnarray}
とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)次の不等式を示せ．
\[ \left| S_n-\int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx \right| \leqq \frac{1}{n+1} \]
(2)$T_n-2S_n$を$n$を用いて表せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} T_n$を求めよ．

$k,\ n$は自然数で$n \geqq 3$とする．平面上の点$\mathrm{O}$を中心とする \\
半径1の円を$S_1$とする．右の図のように，半径$r_1$の$n$個の \\
円は隣り合う他の2つの円と外接し，かつ$S_1$に内接してい \\
る．さらに，点$\mathrm{O}$を中心とする円$S_2$は，半径$r_1$のすべて \\
の円に外接している．同様に，$k \geqq 2$に対して，半径$r_k$の \\
$n$個の円は隣り合う他の2つの円と外接し，かつ円$S_k$に内 \\
接している．さらに点$\mathrm{O}$を中心とする円$S_{k+1}$は，半径$r_k$ \\
のすべての円に外接している．$S_2$の半径を$s_2$とする．以下の問に答えよ．
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(1)$r_1$と$s_2$を$n$を用いて表せ．
(2)半径$r_k$の1つの円の面積を$T_k(n)$とする．$T_k(n)$を$k$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle U(n)=n \sum_{k=1}^\infty T_k(n)$とする．$U(n)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}U(n)$を求めよ．

$x>0$において関数
\[ f(x)=\sin (\log x) \]
を考える．\\
方程式$f(x)=0$の$0<x \leqq 1$における解を大きいほうから順にならべて，
\[ 1=\alpha_1>\alpha_2>\alpha_3>\cdots > \alpha_n>\alpha_{n+1} > \cdots \]
とする．以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数とする．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．

(1)不定積分$I(x),\ J(x)$をそれぞれ
\[ I(x)=\int e^x \sin x \, dx,\quad J(x)=\int e^x \cos x \, dx \]
とおくとき，$I(x)+J(x),\ I(x)-J(x)$を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(3)$\alpha_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ．
(4)区間$\alpha_{n+1} \leqq x \leqq \alpha_n$において，曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を$S_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$S_n$を求めよ．
(5)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和$S$を求めよ．

座標平面上の直線$y=mx \ (m>0)$を$\ell$とする．点$(1,\ 0)$を$\mathrm{P}_1$とし，$\mathrm{P}_1$から$\ell$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_1$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{P}_2$とする．以下同様に$\mathrm{P}_n \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$から$\ell$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}_n$，$\mathrm{Q}_n$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2$の面積$S_1$を$m$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$の面積を$S_n$とするとき，級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和$S$を$m$を用いて表せ．
(3)(2)における$S$が最大になる$m$と，そのときの$S$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$が$\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n \left( \sum_{m=1}^k m^2 \right)$と$\displaystyle \sum_{k=1}^n \{ n-(k-1) \}k^2$で定められるとき，$a_n=b_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ．