右図のように$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の \\
二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とし，$\theta=\angle \mathrm{BAH}$，$\mathrm{AH}=1$とする． \\
$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円$C_1$から始めて，$2$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に接し，かつ，隣り \\
合う$2$円が互いに外接する円の列$C_1,\ C_2,\ C_3,\ \cdots$を三角形の中に \\
作り，その半径を$r_1,\ r_2,\ r_3,\ \cdots$，面積を$S_1,\ S_2,\ S_3,\ \cdots$とする． \\
このとき，次の各問に答えよ．
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(1)$r_1,\ r_2$の値を求めよ．
(2)数列$\{r_n\}$の一般項$r_n$を求めよ．
(3)無限級数
\[ \sum_{n=1}^\infty S_n=S_1+S_2+\cdots +S_n+\cdots \]
の和を求めよ．

$\displaystyle a_1=1,\ a_{n+1}=\frac{a_n}{2+a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める数列$\{a_n\}$を考える．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{ka_k}{1+a_k}$を$n$の式で表せ．

$n$を$3$以上の整数とし，$n$個の整数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$は以下の$3$条件を満たすとする．

条件$(ⅰ)$：$a_1 \geqq 2$
条件$(ⅱ)$：$a_1 \geqq a_2 \geqq \cdots \geqq a_n$
条件$(ⅲ)$：$1 \leqq i<j \leqq n$を満たす任意の整数$i,\ j$に対して，不等式
\[ a_i+a_j>0 \]
が成り立つ．

このとき，不等式
\[ \sum_{i=1}^n a_i \geqq n \]
が成り立つことを証明せよ．また，この不等式において等号が成り立つ場合の$n$の値，および$n$個の整数の組$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n)$をすべて求めよ．

自然数を自然数に移す関数$f(n)=\left\{ \begin{array}{cl}
\displaystyle\frac{n}{2} & (n \text{が偶数のとき}) \\
n+1 & (n \text{が奇数のとき})
\end{array} \right.$について，$f$が$m$を$n$に移すことを，$m \longmapsto \hspace{-9mm} {\phantom{\frac{1}{2}}}^f \hspace{3mm} n$と表す．例えば，
\[ 2 \longmapsto \hspace{-10mm} {\phantom{{2^2}^2}}^f \hspace{2.5mm} 1,\qquad 3 \longmapsto \hspace{-10mm} {\phantom{{2^2}^2}}^f \hspace{3mm} 4 \longmapsto \hspace{-10mm} {\phantom{{2^2}^2}}^f \hspace{3mm} 2 \longmapsto \hspace{-10mm} {\phantom{{2^2}^2}}^f \hspace{3mm} 1 \]
である．$2$以上の自然数$n$を$f$で繰り返し移すとき，$1$に移るまでに必要な最小の移動回数を$a_n$とする．したがって，$a_2=1$，$a_3=3$である．$n$を自然数として，以下の問いに答えよ．

(1)$a_{2n+1}$と$a_{2n+2}$をそれぞれ$a_{n+1}$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_2,\ a_3,\ a_4,\ \cdots \}$を次のように，第$n$群の項数が$2^{n-1}$になるように分ける．
\[ a_2 \;|\; a_3,\ a_4 \;|\; a_5,\ a_6,\ a_7,\ a_8 \;|\; a_9,\ a_{10},\ a_{11},\ a_{12},\ a_{13},\ a_{14},\ a_{15},\ a_{16} \;|\; \cdots \]

(i) 第$n$群の初項を$n$を用いて表せ．
(ii) 第$n$群の総和を$S_n$とする．$S_{n+1}$を$n$と$S_n$を用いて表せ．また，$S_n$を$n$を用いて表せ．
(iii) $\displaystyle \sum_{k=2}^{2^n} a_k$を$n$を用いて表せ．

$i=\sqrt{-1}$とする．以下の問に答えよ．

(1)実数$\alpha,\ \beta$について，等式
\[ (\cos \alpha + i\sin \alpha)(\cos \beta + i\sin \beta) = \cos(\alpha+\beta)+i\sin (\alpha+\beta) \]
が成り立つことを示せ．
(2)自然数$n$に対して，
\[ z=\sum_{k=1}^n \left( \cos \frac{2\pi k}{n}+ i \sin \frac{2\pi k}{n} \right) \]
とおくとき，等式
\[ z \left(\cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n} \right) = z \]
が成り立つことを示せ．
(3)2以上の自然数$n$について，等式
\[ \sum_{k=1}^n \cos \frac{2\pi k}{n} = \sum_{k=1}^n \sin \frac{2\pi k}{n} = 0 \]
が成り立つことを示せ．

$n$を$2$以上の自然数として，
\[ S_n= \sum_{k=n}^{n^3-1}\frac{1}{k\log k} \]
とおく．以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \int_n^{n^3} \frac{dx}{x\log x}$を求めよ．
(2)$k$を$2$以上の自然数とするとき，
\[ \frac{1}{(k+1)\log (k+1)} < \int_k^{k+1} \frac{dx}{x \log x} < \frac{1}{k\log k} \]
を示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対して，$\displaystyle \int_n^{n+1} \frac{1}{x} \, dx$を求めよ．また
\[ \frac{1}{n+1} < \log (n+1) -\log n < \frac{1}{n} \]
を示せ．
(2)2以上の自然数$n$に対して
\[ \log (n+1) < \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} < 1+\log n \]
を示せ．
(3)2以上の自然数$n$に対して
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{ee^{\frac{1}{2}}e^{\frac{1}{3}} \cdots e^{\frac{1}{k}}} > \frac{1}{e} \log (n+1) \]
を示せ．

$n$を自然数とし，
\[ S_n = \int_{(n-1)\pi}^{n \pi} e^{-x} (| \sin x |+1) \; dx \]
とする．ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$e^{-x}(\sin x+ \cos x)$を微分せよ．
(2)$S_n$および無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和を求めよ．

数列$\{a_n\}$が
\[ a_1 =\frac{1}{2},\ a_{n+1} = \frac{(n^2 +n)a_n}{n^2 +n+a_n} \quad (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められるとき，次の問いに答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$が$\displaystyle b_n=\frac{1-a_n}{a_n}$で与えられるとき，$b_1,\ b_2,\ b_3$の値を求めよ．
(2)(1)における$\{b_n\}$の階差数列$\{c_n\}$の一般項，および$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)不等式
\[ \sum_{k=2}^n \frac{a_k}{3k+1} < \frac{1}{18} \log \frac{9n^2}{8} \]
が成り立つことを示せ．ただし，$n \geqq 2$とする．

$n$を自然数とする．$xy$平面上で行列$\left( \begin{array}{cc}
1-n & 1 \\
-n(n+1) & n+2
\end{array} \right)$の表す1次変換(移動ともいう)を$f_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)原点O$(0,\ 0)$を通る直線で，その直線上のすべての点が$f_n$により同じ直線上に移されるものが2本あることを示し，この2直線の方程式を求めよ．
(2)(1)で得られた2直線と曲線$y = x^2$によって囲まれる図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{S_n-\frac{1}{6}}$を求めよ．