$[　]$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．

(1)$k$を自然数とすると，不等式
\[ k>\frac{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}{2} \]
が成立する．この不等式の右辺の逆数は$\displaystyle [ア] \left( \sqrt{k}-\sqrt{k-[イ]} \right)$であるから，不等式
\[ \frac{1}{k}<[ア] \left( \sqrt{k}-\sqrt{k-[イ]} \right) \]
を得る．この不等式がすべての自然数$k$に対して成立することより，
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=[ウ] \]
であることがわかる．
(2)自然数$n$に対し，
\[ a_n=\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m(m+n+1)},\quad s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \]
と定める．

(i) $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$を求めよ．

(ii) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) s_{n+1}$を求めよ．

（ヒント：$n \geqq 2$であるような各自然数$n$に対して$s_{n+1}-s_n$を考えることにより，$(ⅰ)$の結果が使える形に変形せよ．）
(iii) $n$を自然数とする．また，$p$は自然数で，等式
\[ \sum_{m=1}^{\infty} \left( \frac{1}{m}-\frac{1}{m+n+1} \right)=s_p \]
が成立しているとする．このとき，$p$を$n$の$1$次式の形に表せ．
\mon[$\tokeishi$] $n$を自然数とし，$p$は$(ⅲ)$における通りであるとする．また，$q$は自然数で，等式
\[ a_n=\frac{s_p}{q} \]
が成立しているとする．このとき，$q$を$n$の$1$次式の形に表せ．
\mon[$\tokeigo$] $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$を求めよ．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2+3x}+x)$の値は$[$①$]$である．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \comb{n}{k}$を計算すると$[$②$]$となる．
(3)座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，$t$を実数とする．どのような$t$の値に対しても，点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \cos t,\ \frac{-1+\sin t}{\sqrt{2}},\ \frac{1+\sin t}{\sqrt{2}} \right)$は原点を中心とする半径$[$③$]$の球面上にある．また，実数$s$に対して，点$\mathrm{Q}(0,\ s,\ -s)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QP}}=0$となるような$s$の値は$s=0$と$s=[$④$]$である．
(4)媒介変数表示
\[ x=3^{t+1}+3^{-t+1}+1,\quad y=3^t-3^{-t} \]
で表される図形は，$x,\ y$についての方程式$[$⑤$]=1$で定まる双曲線$C$の$x>0$の部分である．また，$C$の漸近線で傾きが正の漸近線の方程式は$y=[$⑥$]$である．
(5)$\theta$の関数$\displaystyle \sin \theta \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right) \sin \left( \theta-\frac{\pi}{3} \right)$は，定数$a,\ b$を用いて$a \sin^3 \theta+b \sin \theta$と表すことができる．$a,\ b$の組$(a,\ b)$は$[$④chi$]$である．
(6)無限級数の和として定義される関数
\[ f(x)=x^2+\frac{x^2}{1+2x^2}+\frac{x^2}{(1+2x^2)^2}+\cdots +\frac{x^2}{(1+2x^2)^n}+\cdots \]
について，$\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$の値は$[$\maruhachi$]$である．

次の問いに答えよ．

(1)実数$\theta$に対し，$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を原点とする座標をもつ空間において，$3$点
\[ \mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta,\ 0),\quad \mathrm{Q}(0,\ \cos \theta,\ \sin \theta),\quad \mathrm{R}(0,\ \cos 2\theta,\ \sin 2\theta) \]
を考える．

(i) $\theta$が$-\pi \leqq \theta<\pi$の範囲を動くとき，$\mathrm{PQ}^2$の最大値は$[ア]$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle -\frac{[イ]}{[ウ]} \pi$と$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(ii) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$のなす角を$\alpha$とする．$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]} \pi$である．$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$[シ]$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle -\frac{[ス]}{[セ]} \pi$である．

(2)零行列でない$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が，等式$A^2=4A$を満たしているとする．

(i) $bc=0$のとき，$a+d$の値は$[ソ]$または$[タ]$である．また，$bc \neq 0$のとき，$a+d=[チ]$，$ad-bc=[ツ]$となる．特に，$b=c>0$とすると，
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & \sqrt{([テ]-[ト]a)a} \\
\sqrt{([ナ]-[ニ]a)a} & [ヌ]-[ネ]a
\end{array} \right) \]
となる．
(ii) 自然数$n$に対し，
\[ \sum_{k=1}^n \comb{n}{k} 4^k 3^{n-k}=[ノ]^n-[ハ]^n \]
であるから，
\[ (A+3E)^n=\frac{[ヒ]}{[フ]} ([ヘ]^n-[ホ]^n)A+[マ]^n E \]
となる．ここで，$E$は$2$次の単位行列を表す．

次の問いに答えなさい．多項式$P(x)={(1+x)}^{24}$を考える．

(1)$P(x)$の$x^2$の係数は$[$\mathrm{E]$}$である．
(2)$\comb{24}{0}-\comb{24}{1}+\comb{24}{2}-\comb{24}{3}+\cdots +\comb{24}{22}-\comb{24}{23}+\comb{24}{24}=[$\mathrm{F]$}$である．
(3)$\displaystyle Q(x)=\frac{1}{2} \left( P(x)+P(-x) \right)$とする．このとき，$Q(x)$は$P(x)$の
$\big\{$ （ア）奇数次数の項からなる． （イ）偶数次数の項からなる． （ウ）奇数次数と偶数次数の項からなる． $\bigr\}$
（ア），（イ），（ウ）の中から最も適切なものを選び，その記号を$[$\mathrm{G]$}$に記しなさい．
(4)方程式$x^3=1$の$3$つの解を$1,\ \alpha,\ \beta$とする．

(i) ${(1-\alpha)}^6=[$\mathrm{H]$}$である．
(ii) $\alpha^2-\beta=[$\mathrm{I]$}$である．
(iii) $\displaystyle \sum_{k=0}^{12} \comb{24}{2k} \beta^k$の値を$[い]$で求めなさい．
なお，必要ならば$3^{12}=531441$を使ってよい．

$\angle \mathrm{A}={30}^\circ$，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=4$をみたす$\triangle \mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{C}$を点$\mathrm{P}_1$として，$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2$が正三角形になるように，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{Q}_1$，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}_2$をとる．次に，図のように，$\triangle \mathrm{P}_2 \mathrm{Q}_2 \mathrm{P}_3$が正三角形になるように，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{Q}_2$，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}_3$をとる．以下同様にして，$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$が正三角形になるように，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{Q}_n$，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}_{n+1}$をとる．（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）
（図は省略）

$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$の面積を$S_n$，$\triangle \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_{n+1}$の面積を$T_n$とする．

(1)$\mathrm{BC}$と$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さを，二重根号を用いない形で求めよ．
(2)$S_1,\ T_1$の値を求めよ．
(3)$S_n$を$n$を用いて表せ．また，$\displaystyle S_n<\frac{1}{1000}$をみたす最小の$n$の値を求めよ．
(4)$T_n$を$n$を用いて表せ．また，和$\displaystyle \sum_{n=1}^5 T_n$の値を求めよ．

$n$を自然数，$c$および$d$を実数として，数列$\{a_n\}$を初項$c$，公差$d$の等差数列，数列$\{b_n\}$を初項$3$，公差$2$の等差数列とするとき，以下の設問に答えなさい．

(1)$d \neq 0$のとき，
\[ \sum_{k=1}^n e^{a_k}=[$1$] \]
となる．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(2)数列$\{f_n\}$の第$n$項を$f_n=b_ne^{a_n}$と定義する．$d=-0.08$のとき，$f_n$の値が最大になるのは$n=[$2$]$のときである．

次の$[　]$を適当に補え．

(1)$|x+1|-3 |x-1|=4x+1$をみたす$x$は$x=[ア]$である．
(2)$3$つのさいころを同時に投げるとき，$2$つは同じで他の$1$つは異なる目が出る確率は$[イ]$であり，$3$つとも異なる目が出る確率は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1} \right)$とする．$S_n$を$n$の式で表すと$S_n=[エ]$であり，$\displaystyle S_n>\frac{2011}{2012}$となるような最小の自然数$n$の値は$n=[オ]$である．
(4)$xy$平面において，点$(0,\ 1)$を$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{P}$が直線$y=2x-1$上を動くとき，線分$\mathrm{AP}$を$1:2$に内分する点は直線$y=[カ]$上を動く．
(5)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin 2\theta=[キ]$，$\sin \theta=[ク]$である．
(6)$f(x)=\sqrt{x}$のとき，$f^\prime(x)=[ケ]$である．また，$\displaystyle \int_{\left( \frac{\pi}{2} \right)^2}^{\pi^2} \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx=[コ]$である．

$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$を満たす$\theta$と正の実数$p$に対して，$a_1=\log_4 (p \sin \theta)$，$a_2=\log_4 (\sin 2\theta)$，$a_3=\log_4 (\sin 3\theta)$とする．

(1)$a_1=a_2=a_3$となるのは，
\[ p=\frac{[ア]+\sqrt{[イ]}}{[ウ]},\quad \theta=\frac{[エ]}{[オ]} \pi \]
のときである．
(2)$3$つの数$a_1,\ a_2,\ a_3$がこの順に等差数列をなしているとする．このとき，
\[ p>\frac{[カ]}{[キ]} \]
となる．$p$をこの範囲で変化させたとき，$a_2+a_3$が最大となるのは，
\[ \cos^2 \theta=\frac{[クケ]+\sqrt{[コサシ]}}{[スセ]},\quad p=\frac{[ソ]+\sqrt{[コサシ]}}{[タチ]} \]
のときである．
(3)$p=2$で，$a_1,\ a_2,\ a_3$がこの順に等差数列をなしているとき，この数列の初項$a_1$および公差$d$は
\[ a_1=\frac{[ツ]}{[テ]},\quad d=\frac{[トナ]}{[ニ]} \]
である．この初項と公差を持つ等差数列$\{a_k\} (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，極限値
\[ \alpha=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n 2^{2a_k} \]
を定義すると，$\alpha$は$2$次方程式
\[ x^2-[ヌ] x-[ネ]=0 \]
の解となっている．

$r$を$0<r<1$を満たす実数として，次のように行列とベクトルを定める．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
r & 0 \\
2r-1 & 1-r
\end{array} \right) ,\quad P=\left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right),\quad Q=\left( \begin{array}{c}
0 \\
1
\end{array} \right) \]
またベクトル$Q_n=\left( \begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array} \right) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ Q_1=\left( \begin{array}{c}
a_1 \\
b_1
\end{array} \right)=Q,\quad Q_n=AQ_{n-1}+P \quad (n \geqq 2) \]
として定める．

(1)$AP=\alpha P$，$AQ=\beta Q$を満たす定数$\alpha$，$\beta$を求めよ．
(2)$A^nP,\ A^nQ$を求めよ．
(3)$Q_n=\left( \begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array} \right)$を求めよ．
(4)座標平面において，各$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し座標が$(a_n,\ 0)$である点を$X_n$，座標が$(a_n,\ b_n-a_n)$である点を$Y_n$とする．さらに，台形$X_nX_{n+1}Y_{n+1}Y_n$の面積を$S_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とし，
\[ S=\sum_{n=1}^\infty S_n=S_1+S_2+\cdots +S_n+ \cdots \]
とする．

(i) $S$を求めよ．
(ii) $r$が$0<r<1$の範囲を動くとき，$S$の最大値とそのときの$r$の値を求めよ．

$n$を正の整数とし，$n^2+3$と$n+1$の最大公約数を$d_n$とおく．以下の問いに答えなさい．

(1)$d_1,\ d_2,\ d_3,\ d_4,\ d_5$を求めなさい．
(2)$(n^2+3)-(n-1)(n+1)=4$を用いて，$d_n$は$1,\ 2,\ 4$のいずれかであることを示しなさい．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{610} d_n$を求めなさい．
(4)次の極限値を求めなさい．
\[ \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} \sum_{n=1}^k d_n \]