次の文章中の$[ア]$から$[ラ]$までに当てはまる数字$0$～$9$を求めて記入せよ．ただし，分数は既約分数として表しなさい．

(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の関係式を満たすとする．
\[ a_1=0, \quad \left\{ \begin{array}{l}
b_n=\displaystyle\frac{1}{5}a_n+1 \\
a_{n+1}=3b_n+2
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$b_1 = [ア]$で，$n \geq 1$に対して$b_{n+1} = \displaystyle\frac{[イ]}{[ウ]} b_n + \frac{[エ]}{[オ]}$となる．これより，
\[ b_n = \displaystyle\frac{[カ]}{[キ]} - \frac{[ク]}{[ケ]} \left(\frac{[コ]}{[サ]} \right)^{n-1} \quad (n \geq 1) \]
となるので，
\[ \lim_{n \to \infty} b_n = \frac{[シ]}{[ス]}, \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{b_{2n}-b_n}{b_{n+1}-b_n} = \frac{[セ]}{[ソ]} \]
となる。また，
\[ \sum_{n=1}^{\infty} (a_{2n}-a_n) = \frac{[タ][チ][ツ]}{[テ][ト]} \]
である．
(2)複素数$z = \cos\theta + i\sin\theta (0 \leq \theta<2\pi)$に対して，複素数$\omega$を
\[ \omega = (4+3i)z + 6i\,\overline{z} \]
で定める．ただし，$i$は虚数単位を，$\overline{z}=\cos\theta-i\sin\theta$は$z$と共役な複素数を表す．
いま$z$の実部と虚部がともに$0$以上となる範囲で$\theta$を動かす．このとき，$\omega$の実部の最大値は[ナ]，最小値は[ニ]であり，$\omega \overline{\omega}$の最大値は[ヌ][ネ][ノ]，最小値は[ハ][ヒ]である．ただし，$\overline{\omega}$は$\omega$と共役な複素数を表す．

(3)$x>0$で定義された微分可能な関数$f(x)$が，
\[ f^\prime(x) = 2\log x + \frac{1}{7-2e} \int_1^{e} \frac{f(t)}{t}\, dt, \quad f(1)=0 \]
を満たすとする．ここで，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数，$\log$は自然対数，$e$は自然対数の底である．$f(x)$を求めると，
\[ f(x) = [フ] x\log x - \frac{[ヘ]}{[ホ]} x + \frac{[マ]}{[ミ]} \quad (x>0) \]
となる．関数$f(x)$は$\displaystyle x=e^{-\frac{[ム]}{[メ]}}$のとき，最小値
\[ -[モ]e^{-\frac{[ヤ]}{[ユ]}} + \frac{[ヨ]}{[ラ]}\]
をとる。

$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$は，つぎの関係式を満たす．
\[ \begin{array}{ll}
a_1=5, & a_{n+1}=4a_n+3b_n, \\
b_1=1, & b_{n+1}=3a_n+kb_n
\end{array} \quad (n \geqq 1) \]
すべての$n$に対し$a_n-b_n$が一定の値であるとき，つぎの問いに答えよ．

(1)$k$の値を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$c_n=a_n+lb_n$とする．$\{c_n\}$が等比数列となる正の整数$l$を求めよ．また，この$\{c_n\}$に対し，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n c_k$を求めよ．

数列$\{a_k\}$は，すべての自然数$n$に対して，
\[ \sum_{k=1}^n a_k=\frac{3}{8}-\frac{3^n}{n+2} \]
を満たす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)初項$a_1$を求めよ．
(2)$k \geqq 2$のとき，$a_k$を$k$の式で表せ．
(3)数列$\{b_k\}$を，すべての自然数$k$に対して，$\displaystyle b_k=\frac{(k+1)(k+2)}{3^{k-1}}a_k$により定めるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k$を$n$の式で表せ．

等比数列$\{a_n\}$について，$a_{10}=40$，$\displaystyle a_{15}=\frac{5}{4}$であるとき，以下の問に答えよ．ただし，$a_n$はすべて実数である．

(1)公比は$\displaystyle \frac{[ヌ]}{[ネ]}$である．

(2)$\displaystyle \sum_{n=15}^{19}a_n=\frac{[ノハヒ]}{[フヘ]}$である．

(3)$a_n<10^{-3}$を満たす最小の$n$は，$n=[ホマ]$である．ただし，$\log_{10}2=0.301$として計算せよ．

次の問いに答えなさい．

(1)関数$y=\sin^2 x+4 \sin x \cos x+5 \cos^2 x$の最大値と最小値を求めなさい．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^{99} \log_{10} \frac{k}{k+1}$を求めなさい．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 (x+1)e^x \, dx$を求めなさい．

関係式
\[ a_1=0,\quad \frac{1}{1-a_{n+1}}-\frac{1}{1-a_n}=2n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定まる数列$\{a_n\}$に対して，次の問に答えよ．

(1)一般項$a_n$を求めよ．
(2)$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して
\[ b_k=\sqrt{\frac{k+1}{k}} (1-\sqrt{a_{k+1}}) \]
とおく．このとき，すべての$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k<\sqrt{2}-1$が成り立つことを示せ．

等式
\[ \frac{1}{x^3-x}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x}+\frac{c}{x+1} \]
が恒等式となるように定数$a,\ b,\ c$の値を定めよ．また，それを利用して
\[ \sum_{n=2}^{100} \frac{1}{n^3-n} \]
を求めよ．

等差数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=1+3(n-1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の設問に答えよ．

(1)新しく数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=a_{2n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．このとき$\displaystyle \sum_{n=1}^{10} b_n$を求めよ．
(2)自然数$k$に対し，新しく数列$\{c_n\}$を
\[ c_n=a_{kn} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．このとき
\[ 800 \leqq \sum_{n=1}^{10} c_n \leqq 900 \]
となる$k$の値を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\sin \left( \log \frac{1}{x} \right) (0<x \leqq 1)$とおく．$f(x)=0$となるすべての$x$を，大きい順に$a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a_n (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ．
(2)正の定数$a,\ b$に対し
\[ \frac{d}{dx} (Ae^{-ax} \cos bx+Be^{-ax} \sin bx)=e^{-ax} \cos bx \]
を満たす定数$A,\ B$を求め，不定積分
\[ \int e^{-ax} \cos bx \, dx \]
を求めよ．
(3)$\displaystyle b_n=\int_{a_{n+1}}^{a_n} \{f(x)\}^2 \, dx (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を，$\displaystyle t=\log \frac{1}{x}$とおくことにより求めよ．
(4)$(3)$で得られた数列$\{b_n\}$に対し，無限級数$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty b_n$の和を求めよ．

以下の問に答えよ．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
a_1=1,\ b_1=2 & \\
a_{n+1}=a_n+2b_n & (n=1,\ 2,\ \cdots) \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{[　]}} \\
b_{n+1}=2a_n+b_n & (n=1,\ 2,\ \cdots)
\end{array} \right. \]

(1)$a_3$および$b_3$を求めよ．
(2)数列$\{a_n+b_n\}$および$\{a_n-b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$および$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$および$\{b_n\}$の第$n$項までの和$\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i$および$\displaystyle \sum_{i=1}^n b_i$を求めよ．