実数$x$に対し，$[\,x\,]$を$x$以下の最大の整数とする．たとえば，$\displaystyle [\,2\,]=2,\ \left[ \frac{7}{5} \right]=1$である．数列$\{a_k\}$を
\[ a_k=\left[ \frac{3k}{5} \right] \quad (k=1,\ 2,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$を求めよ．
(2)$a_{k+5}=a_k+3 \ (k=1,\ 2,\ \cdots)$を示せ．
(3)自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{5n}a_k$を求めよ．

実数$x$に対し，$[\,x\,]$を$x$以下の最大の整数とする．すなわち，$[\,x\,]$は整数であり$[\,x\,] \leqq x < [\,x\,]+1$を満たすとする．たとえば，$\displaystyle [\,2\,]=2,\ \left[ \frac{5}{3} \right]=1$である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)すべての実数$a$とすべての整数$m$に対し，$[\,a+m\,]=[\,a\,]+m$が成り立つことを示せ．
(2)数列$\{a_k\}$を$\displaystyle a_k=\left[ \frac{2k}{3} \right] \ (k=1,\ 2,\ \cdots)$と定める．自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k$を求めよ．

$n$を自然数とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)二項定理を用いて，$\displaystyle \sum_{k=0}^n \comb{n}{k}=\comb{n}{0}+\comb{n}{1}+\cdots +\comb{n}{n-1}+\comb{n}{n}$の値が$2^n$に等しいことを示せ．
(2)複素数$z$が$z^2-2z+2=0$をみたすとき，$z$および$z^{4n}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k \cdot \comb{4n}{2k}=\comb{4n}{0}-\comb{4n}{2}+\cdots -\comb{4n}{4n-2}+\comb{4n}{4n}$の値が$(-4)^n$に等しいことを示せ．

曲線$C:y=\log x$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}(b,\ \log b)$をとり，$C$の$\mathrm{A}$における接線と$\mathrm{B}$における接線の交点について考える．次の問いに答えよ．

(1)任意に与えられた$a>1$に対して，$2$本の接線の交点がちょうど直線$x=1$上にくるような$b$が唯一つだけ存在し，$b<1$であることを示せ．
(2)$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}\displaystyle \left( \frac{1}{a},\ \log \frac{1}{a} \right) \ (a>1)$について，$2$本の接線の交点の$x$座標が$1$より大きいか小さいかを調べよ．
(3)$k$を自然数とする．$\displaystyle a=1+\frac{1}{k}$として(2)の結果を使って，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} > \frac{1}{2} \left( 1+\frac{1}{n} \right) +\log n \quad (n \geqq 2) \]

自然数$n$に対して
\[ S(x)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}x^{2k-2},\quad R(x)=\frac{(-1)^n x^{2n}}{1+x^2} \]
とする．さらに$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)等式$\displaystyle \int_0^1 S(x) \, dx=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\frac{1}{2k-1}$が成り立つことを示せ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$の値を求めよ．
(3)等式$S(x)=f(x)-R(x)$が成り立つことを示せ．
(4)不等式$\displaystyle |\int_0^1 R(x) \, dx| \leqq \frac{1}{2n+1}$が成り立つことを示せ．
(5)無限級数$\displaystyle 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$の和を求めよ．

$n$は自然数とする．次の問に答えよ．

(1)次の不等式を示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}<2 \]
(2)$x>0$のとき，次の不等式を示せ．
\[ x-\frac{x^3}{6}<\sin x<x \]
(3)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^n k \sin \frac{1}{k} \right) \]

数列$\{a_n\}$は正の整数からなる数列で，$a_1=1,\ a_3=5,\ a_5=41$である．また，ある定数$s,\ t$について
\[ a_{n+1}=sa_n+t \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立っている．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$s,\ t$の値を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)正の整数$n$に対して，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n(-1)^{a_k}a_k$を$n$の式で表せ．

数列$\{a_n\}$は正の整数からなる数列で，$a_1=1,\ a_3=5,\ a_5=41$である．また，ある定数$s,\ t$について
\[ a_{n+1}=sa_n+t \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立っている．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$s,\ t$の値を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．さらに$a_{3n-2}$は$a_n$で割り切れることを示せ．
(3)$a_{n+1}$を$a_n$で割った余りを$b_n$とする．2以上の正の整数$m$に対して，次の和を求めよ．
\[ \sum_{k=2}^m \frac{a_k+b_k}{b_kb_{k+1}} \]

$3$以上の自然数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=3}^n \frac{\log k}{k} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots) \]
とおいて数列$\{S_n\}$を定める．次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} \ (x>0)$の増減と極値を調べよ．
(2)$4$以上の自然数$n$に対して不等式
\[ S_n-\frac{\log 3}{3} \leqq \int_3^n \frac{\log x}{x} \, dx \leqq S_{n-1} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{(\log n)^2}$を求めよ．

$n$を自然数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2$を求めよ．
(2)$0<r<1$とし，$S_n=1+2r+3r^2+\cdots +nr^{n-1}$とおく．

(i) $S_n-rS_n$を求めよ．
(ii) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}S_n$を求めよ．

(3)$a>0,\ b>0$に対して，不等式
\[ a+b-\sqrt{ab}<\sqrt{a^2+b^2}<a+b \]
が成り立つことを証明せよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \sqrt{\displaystyle\frac{1}{3^{2(k-1)}}+\frac{k^4}{n^6}}$を求めよ．