「数列の和」について
タグ「数列の和」の検索結果
（35ページ目：全498問中341問～350問を表示）
国立 富山大学 2012年 第2問$x>0$のとき，$\tan \theta =x$となる$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$\theta$を$f(x)$と表すことにする．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{2}{k} \right)+f \left( \frac{2}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{2}{k} \right)+f \left( \frac{2}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．
国立 富山大学 2012年 第2問$x>0$のとき，$\tan \theta =x$となる$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$\theta$を$f(x)$と表すことにする．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{2}{k} \right)+f \left( \frac{2}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{2}{k} \right)+f \left( \frac{2}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．
国立 富山大学 2012年 第2問$x>0$のとき，$\tan \theta =x$となる$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$\theta$を$f(x)$と表すことにする．
(1)3以上の素数$p$に対して，$\displaystyle f \left( \frac{p}{k} \right)+f \left( \frac{p}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．
(1)3以上の素数$p$に対して，$\displaystyle f \left( \frac{p}{k} \right)+f \left( \frac{p}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．
国立 富山大学 2012年 第1問$x>0$のとき，$\tan \theta =x$となる$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にただ$1$つ存在する．その$\theta$を$f(x)$と表すことにする．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{2}{k} \right)+f \left( \frac{2}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{2}{k} \right)+f \left( \frac{2}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．
国立 新潟大学 2012年 第5問次の問いに答えよ．
(1)実数$x \geqq 0$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ x-\frac{1}{2}x^2 \leqq \log (1+x) \leqq x \]
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=n^2 \int_0^{\frac{1}{n}} \log (1+x) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=\sum_{k=1}^n \log \left( 1+\frac{k}{n^2} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．
(1)実数$x \geqq 0$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ x-\frac{1}{2}x^2 \leqq \log (1+x) \leqq x \]
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=n^2 \int_0^{\frac{1}{n}} \log (1+x) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=\sum_{k=1}^n \log \left( 1+\frac{k}{n^2} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．
国立 琉球大学 2012年 第3問数列$\{c_n\}$を次のように定義する．
\[ c_1=1, c_{n+1}=1+\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{3} \left( c_n+\frac{1}{4^{n+1}} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
次の問に答えよ．
(1)$n \geqq 2$のとき，$\displaystyle a_n=1+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4^n}$とする．このとき，$\displaystyle c_n=\frac{1}{3^{n-1}}+\sum_{i=2}^n \frac{a_i}{3^{n-i}} \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n$を求めよ．
\[ c_1=1, c_{n+1}=1+\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{3} \left( c_n+\frac{1}{4^{n+1}} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
次の問に答えよ．
(1)$n \geqq 2$のとき，$\displaystyle a_n=1+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4^n}$とする．このとき，$\displaystyle c_n=\frac{1}{3^{n-1}}+\sum_{i=2}^n \frac{a_i}{3^{n-i}} \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2012年 第4問次の各問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1)$n$を自然数とする．$x$の関数$f(x)=x^ne^{1-x}$について，$0<x<1$ならば$0<f(x)<1$であることを示せ．
(2)自然数$n$に対して$\displaystyle I_n=\int_0^1 x^ne^{1-x} \, dx$とおくとき，$I_1$を求めよ．さらに，$I_{n+1}$と$I_n$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(3)(2)の$I_n$に対して$\displaystyle a_n=\frac{I_n}{n!}$とおくとき，$\displaystyle \sum_{k=2}^n \frac{1}{k!}=a_1-a_n$であることを示せ．
(4)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$とおくとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=e-1$であることを示せ．
(1)$n$を自然数とする．$x$の関数$f(x)=x^ne^{1-x}$について，$0<x<1$ならば$0<f(x)<1$であることを示せ．
(2)自然数$n$に対して$\displaystyle I_n=\int_0^1 x^ne^{1-x} \, dx$とおくとき，$I_1$を求めよ．さらに，$I_{n+1}$と$I_n$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(3)(2)の$I_n$に対して$\displaystyle a_n=\frac{I_n}{n!}$とおくとき，$\displaystyle \sum_{k=2}^n \frac{1}{k!}=a_1-a_n$であることを示せ．
(4)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$とおくとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=e-1$であることを示せ．
国立 三重大学 2012年 第1問実数$x$に対し，$[\,x\,]$を$x$以下の最大の整数とする．たとえば，$\displaystyle [\,2\,]=2,\ \left[ \frac{7}{5} \right]=1$である．数列$\{a_k\}$を
\[ a_k=\left[ \frac{3k}{5} \right] \quad (k=1,\ 2,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$を求めよ．
(2)$a_{k+5}=a_k+3 \ (k=1,\ 2,\ \cdots)$を示せ．
(3)自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{5n}a_k$を求めよ．
\[ a_k=\left[ \frac{3k}{5} \right] \quad (k=1,\ 2,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$を求めよ．
(2)$a_{k+5}=a_k+3 \ (k=1,\ 2,\ \cdots)$を示せ．
(3)自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{5n}a_k$を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第4問$a$は0でない定数とする．座標平面上の3点A$(a+2,\ a+1)$，B$(9,\ 0)$，C$(2,\ 1)$について，線分ABと線分ACが垂直のとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)自然数$n$について，線分ABを$n:n+4$に内分する点をP$_n$，線分BCを$3:n$に内分する点をQ$_n$，線分CAを$n:1$に内分する点をR$_n$とする．$\triangle$P$_n$Q$_n$R$_n$の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle T_m=\sum_{n=1}^m \frac{S_n}{n}$とするとき，$\displaystyle \lim_{m \to \infty}T_m$を求めよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)自然数$n$について，線分ABを$n:n+4$に内分する点をP$_n$，線分BCを$3:n$に内分する点をQ$_n$，線分CAを$n:1$に内分する点をR$_n$とする．$\triangle$P$_n$Q$_n$R$_n$の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle T_m=\sum_{n=1}^m \frac{S_n}{n}$とするとき，$\displaystyle \lim_{m \to \infty}T_m$を求めよ．
国立 三重大学 2012年 第1問実数$x$に対し，$[\,x\,]$を$x$以下の最大の整数とする．たとえば，$\displaystyle [\,2\,]=2,\ \left[ \frac{7}{5} \right]=1$である．数列$\{a_k\}$を
\[ a_k=\left[ \frac{3k}{5} \right] \quad (k=1,\ 2,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$を求めよ．
(2)$a_{k+5}=a_k+3 \ (k=1,\ 2,\ \cdots)$を示せ．
(3)自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{5n}a_k$を求めよ．
\[ a_k=\left[ \frac{3k}{5} \right] \quad (k=1,\ 2,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$を求めよ．
(2)$a_{k+5}=a_k+3 \ (k=1,\ 2,\ \cdots)$を示せ．
(3)自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{5n}a_k$を求めよ．