「数列の和」について
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私立 北海学園大学 2013年 第5問公比が$1$より大きい等比数列$\{a_n\}$の，初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．また，数列$\{b_n\}$は，初項が$3$で$b_{n+1}-b_n=a_n$を満たす．$a_2=18$，$S_3=78$であるとき，次の問いに答えよ．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n ka_k$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2b_k$を求めよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n ka_k$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2b_k$を求めよ．
私立 東北学院大学 2013年 第6問$a_1=3$，$a_{n+1}=a_n+8n+4 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定まる数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．
(1)一般項$a_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$を求めよ．
(1)一般項$a_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$を求めよ．
私立 福岡大学 2013年 第5問数列$\{a_n\}$は第$2$項が$7$，第$10$項が$23$の等差数列である．初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_n=[ ]$である．また，$\displaystyle b_n=\frac{1}{S_n+3}$とおくとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n b_k$の値は$[ ]$である．
私立 西南学院大学 2013年 第3問数列$a_{n+1}=(-1)^{n+1}a_n+1 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について，以下の問に答えよ．
(1)$a_1=0$のとき，$a_4=[テ]$であり，$\displaystyle \sum_{k=1}^{80}a_k=[トナ]$である．
(2)$a_1=1$のとき，$a_{99}=[ニヌ]$であり，$\displaystyle \sum_{k=1}^{89}a_k-\sum_{k=1}^{80}a_k=[ネ]$である．
(1)$a_1=0$のとき，$a_4=[テ]$であり，$\displaystyle \sum_{k=1}^{80}a_k=[トナ]$である．
(2)$a_1=1$のとき，$a_{99}=[ニヌ]$であり，$\displaystyle \sum_{k=1}^{89}a_k-\sum_{k=1}^{80}a_k=[ネ]$である．
私立 岡山理科大学 2013年 第4問次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=2,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
各$n$に対して，$b_n$を$b_n=a_na_{n+2}-(a_{n+1})^2$とし，$c_n$を$2$次方程式$a_{n+2}x^2+a_{n+1}x-a_n=0$の解のうち大きいほうとする．このとき，次の設問に答えよ．
(1)$b_1,\ b_2,\ b_3,\ b_4$の値を求めよ．また，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$c_n$を$a_n$と$a_{n+2}$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{a_ka_{k+1}}$を$c_n$を用いて表せ．
\[ a_1=2,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
各$n$に対して，$b_n$を$b_n=a_na_{n+2}-(a_{n+1})^2$とし，$c_n$を$2$次方程式$a_{n+2}x^2+a_{n+1}x-a_n=0$の解のうち大きいほうとする．このとき，次の設問に答えよ．
(1)$b_1,\ b_2,\ b_3,\ b_4$の値を求めよ．また，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$c_n$を$a_n$と$a_{n+2}$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{a_ka_{k+1}}$を$c_n$を用いて表せ．
私立 金沢工業大学 2013年 第2問次の問いに答えよ．
(1)角度$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$であって$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=-\frac{1}{5}$を満たすとき，
\[ \sum_{n=1}^\infty \sin^n \theta=\frac{[シ]}{[ス]},\quad \sum_{n=1}^\infty \cos^n \theta=\frac{[セ][ソ]}{[タ]} \]
である．
(2)初項$7$，公差$9$の等差数列$\{a_n\}$について，
\[ S_n=\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\frac{1}{a_3a_4}+\cdots +\frac{1}{a_na_{n+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とすると，$\displaystyle S_n=\frac{1}{[チ]} \left( \frac{1}{[ツ]}-\frac{1}{[テ]n+[ト]} \right)$であって，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=\frac{1}{[ナ][ニ]}$である．
(1)角度$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$であって$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=-\frac{1}{5}$を満たすとき，
\[ \sum_{n=1}^\infty \sin^n \theta=\frac{[シ]}{[ス]},\quad \sum_{n=1}^\infty \cos^n \theta=\frac{[セ][ソ]}{[タ]} \]
である．
(2)初項$7$，公差$9$の等差数列$\{a_n\}$について，
\[ S_n=\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\frac{1}{a_3a_4}+\cdots +\frac{1}{a_na_{n+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とすると，$\displaystyle S_n=\frac{1}{[チ]} \left( \frac{1}{[ツ]}-\frac{1}{[テ]n+[ト]} \right)$であって，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=\frac{1}{[ナ][ニ]}$である．
私立 東京都市大学 2013年 第3問$n$を自然数とする．次の問に答えよ．
(1)二項定理を用いて，$\displaystyle \sum_{k=0}^n \comb{n}{k}=2^n$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle a_k=\frac{1}{k!} (0 \leqq k \leqq n)$に対し，$\displaystyle \sum_{k=0}^n a_ka_{n-k}$を求めよ．
(1)二項定理を用いて，$\displaystyle \sum_{k=0}^n \comb{n}{k}=2^n$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle a_k=\frac{1}{k!} (0 \leqq k \leqq n)$に対し，$\displaystyle \sum_{k=0}^n a_ka_{n-k}$を求めよ．
私立 埼玉工業大学 2013年 第5問数列$\{a_n\}$を
\[ 1,\ \sitabrace{\frac{1}{2},\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{2}}_{},\ \sitabrace{\frac{1}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{3}}_{},\ \sitabrace{\frac{1}{4},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{4}}_{},\ \frac{1}{5},\ \cdots \]
とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{1}{m+1}<a_n \leqq \frac{1}{m} (m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となる$a_n$の項数は$[ ] m-[ ]$であり，$\displaystyle \frac{1}{m+1}<a_n$となる$a_n$の項数は，$m^{[ ]}$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{m+1}<a_n$となる項の総和を$S_m$とすると，
\[ S_m=[ ] m-\sum_{k=1}^m \frac{[ ]}{k} \]
となる．
\[ 1,\ \sitabrace{\frac{1}{2},\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{2}}_{},\ \sitabrace{\frac{1}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{3}}_{},\ \sitabrace{\frac{1}{4},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{4}}_{},\ \frac{1}{5},\ \cdots \]
とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{1}{m+1}<a_n \leqq \frac{1}{m} (m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となる$a_n$の項数は$[ ] m-[ ]$であり，$\displaystyle \frac{1}{m+1}<a_n$となる$a_n$の項数は，$m^{[ ]}$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{m+1}<a_n$となる項の総和を$S_m$とすると，
\[ S_m=[ ] m-\sum_{k=1}^m \frac{[ ]}{k} \]
となる．
私立 東京電機大学 2013年 第1問次の各問に答えよ．
(1)関数$y=2 \cos^2 x-\sin x-1 (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)袋の中に赤玉$3$個，白玉$4$個，青玉$5$個が入っている．この袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，異なる色の玉を取り出す確率を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$が，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_ka_{k+1}}$を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^1 xe^{1-x} \, dx$を求めよ．
(5)関数$f(x)=x^3 \log x$の極値を求めよ．
(1)関数$y=2 \cos^2 x-\sin x-1 (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)袋の中に赤玉$3$個，白玉$4$個，青玉$5$個が入っている．この袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，異なる色の玉を取り出す確率を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$が，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_ka_{k+1}}$を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^1 xe^{1-x} \, dx$を求めよ．
(5)関数$f(x)=x^3 \log x$の極値を求めよ．
私立 東京電機大学 2013年 第4問次の各問に答えよ．
(1)関数$y=2 \cos^2 x-\sin x-1 (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)袋の中に赤玉$3$個，白玉$4$個，青玉$5$個が入っている．この袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，異なる色の玉を取り出す確率を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$が，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_ka_{k+1}}$を求めよ．
(4)$2$つの放物線$y=-x^2+8x$と$y=-3x^2+18x$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(5)点$(x,\ y)$が領域$3x+y \geqq 5$を動くとき，$x^2+y$の最小値を求めよ．
(1)関数$y=2 \cos^2 x-\sin x-1 (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)袋の中に赤玉$3$個，白玉$4$個，青玉$5$個が入っている．この袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，異なる色の玉を取り出す確率を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$が，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_ka_{k+1}}$を求めよ．
(4)$2$つの放物線$y=-x^2+8x$と$y=-3x^2+18x$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(5)点$(x,\ y)$が領域$3x+y \geqq 5$を動くとき，$x^2+y$の最小値を求めよ．