硬貨投げをしたとき，表，裏がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で出る硬貨がある．この硬貨を用いて硬貨投げを$n$回繰り返す．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対し，$k$回目の硬貨投げの結果に応じて$a_k$を次で定める：
\[ a_k=\left\{ \begin{array}{rl}
1 & k \text{回目の硬貨投げの結果が表のとき} \\
-1 & k \text{回目の硬貨投げの結果が裏のとき}
\end{array} \right. \]
また，この$a_k \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$を用いて$n$次式$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^n a_kx^k$で定める．

(1)$n$が偶数のとき，$f(x)$が$x-1$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)$n$が$4$の倍数のとき，$f(x)$が$(x-1)(x+1)$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(3)$n$が$2$以上の自然数のとき，$f(2)=2$となる確率を$n$を用いて表せ．

$A$を$2$次正方行列とする．座標平面上の点$\mathrm{P}_1(1,\ 0)$が，$A$の表す移動により$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$に，$A^2$の表す移動により$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$に移るとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$を求めよ．
(2)$\displaystyle B=\frac{1}{2}A^3$とする．$B$の表す移動によって，点$\mathrm{P}_1$が移る点を$\mathrm{P}_2$と定め，点$\mathrm{P}_2$が移る点を$\mathrm{P}_3$と定める．以下同様にして$B$の表す移動によって点$\mathrm{P}_{n-1}$が移る点を$\mathrm{P}_n$と定める．このとき，点$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ．
(3)(2)で定めた点$\mathrm{P}_n$から曲線$y=x^2$に引いた接線で，$x$軸に平行でないものの傾きを$a_n$とおく．このとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ．

$a,\ b$を$\displaystyle a^2+\frac{b^2}{6}=1$を満たす正の実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 \sqrt{2}a & b \\
-b & -\sqrt{2}a
\end{array} \right)$に対して，以下の問に答えよ．

(1)実数$p,\ q$が$A^2=pA+qE$を満たすとき，$p,\ q$を$a$を用いて表せ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．
(2)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^{100}(-1)^kA^k$を求めよ．
(3)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}}$とし，$m$を正の整数とする．$x$と$y$についての方程式$A^m \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
-x \\
0
\end{array} \right)$が$x=y=0$以外の解をもつとき，$m$の満たす条件を求めよ．

$a,\ b$を正の定数とする．曲線$y=e^{-ax}\sin bx \ (x \geqq 0)$と$x$軸とで囲まれた図形で$x$軸の下側にある部分の面積を，$y$軸に近い方から順に$S_1,\ S_2,\ S_3,\ \cdots$とするとき，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．

$\displaystyle I=\int e^{-x}\sin x \, dx,\ J=\int e^{-x}\cos x \, dx$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)次の関係式が成り立つことを証明せよ．
\[ I=J-e^{-x}\sin x,\quad J=-I-e^{-x}\cos x \]
(2)$I,\ J$を求めよ．
(3)曲線$y=e^{-x}\sin x \ (x \geqq 0)$と$x$軸とで囲まれた図形で$x$軸の下側にある部分の面積を，$y$軸に近い方から順に$S_1,\ S_2,\ S_3,\ \cdots$とするとき，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=2,\quad \left\{ \begin{array}{ll}
a_n<100 \text{のとき，} & a_{n+1}=a_n+3 \\
a_n \geqq 100 \text{のとき，} & a_{n+1}=a_n-100
\end{array} \right. \]
このとき，次の問に答えよ．

(1)$a_n>a_{n+1}$を満たす最小の自然数$n$を$m$とおく．$m,\ a_{m}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^m a_k$を求めよ．
(2)$a_{105}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^{105} a_k$を求めよ．

数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=2,\quad \left\{ \begin{array}{ll}
a_n<100 \text{のとき，} & a_{n+1}=a_n+3 \\
a_n \geqq 100 \text{のとき，} & a_{n+1}=a_n-100
\end{array} \right. \]
このとき，次の問に答えよ．

(1)$a_n>a_{n+1}$を満たす最小の自然数$n$を$m$とおく．$m,\ a_{m}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^m a_k$を求めよ．
(2)$a_{105}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^{105} a_k$を求めよ．

実数を成分とする行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は，
\[ A^3-3A+2E=O,\quad A \neq -2E \text{かつ}a+d \neq 2 \]
を満たすとする．ただし，$E$は単位行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O$は零行列$\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$を表すとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$は単位行列$E$の実数倍ではないことを示せ．
(2)$a+d,\ ad-bc$の値を求めよ．
(3)$A$の逆行列を$A^{-1}$として，自然数$n$に対して，実数$p_n,\ q_n$を等式$(A^{-1})^n=p_nA+q_nE$で定める．さらに，$r_n=q_n-2p_n$とするとき，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty r_n$の和を求めよ．

数列$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$は，$1$から$2n-1$までの異なる$n$個の奇数を並べかえたものである．また，数列$b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_n$は，$2$から$2n$までの異なる$n$個の偶数を並べかえたものである．$S_n=a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$n$は$3$以上の整数とする．

(1)$n=3$であり，$b_1=4$，$b_2=6$，$b_3=2$のとき，$S_3$を最大にする$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ．

(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n 2ka_k+\sum_{k=1}^n \frac{(a_k-2k+1)^2}{2}$を$n$を用いて表せ．

(3)$b_k=2k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$とする．$S_n$を最大にする$a_k$を$k$を用いて表せ．

数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は

$a_1=2,\quad a_{n+1}=2a_n+n+2,\quad b_n=a_n+n+3$

を満たす．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．

(1)$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(2)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．