次の問いに答えよ．

(1)次の式が成り立つことを示せ．
\[ \sin (\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2 \cos \alpha \sin \beta \]
(2)自然数$n$に対して，
\[ 2 \sum_{k=1}^n \cos 2k \theta \sin \theta=\sin (2n+1)\theta-\sin \theta \]
が成り立つことを示せ．
(3)自然数$n$に対して，
\[ \tan \frac{\pi}{4n}=\frac{1}{1+2 \sum_{k=1}^n \cos \displaystyle\frac{k\pi}{2n}} \]
が成り立つことを示せ．

$\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3}$とし，$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とおく．また，$2$次の単位行列を$E$で表す．以下の各問に答えよ．

(1)$A^3=E$を示せ．
(2)$r$を実数とする．自然数$k$に対して，行列$(rA)^{3k}+(rA)^{3k+1}+(rA)^{3k+2}$の$(1,\ 1)$成分を$a_k$とおくとき，$a_k$を$r$を用いて表せ．
(3)自然数$N$に対して$\displaystyle x_N=2 \sum_{k=0}^N a_k$とする．ただし$a_k$は，$k \geqq 1$のときは(2)で定めたものとし，$k=0$のときは$\displaystyle a_0=1-\frac{1}{2}r-\frac{1}{2}r^2$とおく．$-1<r<1$のとき，$\displaystyle f(r)=\lim_{N \to \infty}x_N$を求めよ．
(4)$r$が$-1<r<1$の範囲を動くとき，(3)で定めた$f(r)$のとりうる値の範囲を求めよ．

数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は次の条件を満たしている．

$a_1=-15,\ a_3=-33,\ a_5=-35$，$\{b_n\}$は$\{a_n\}$の階差数列，$\{b_n\}$は等差数列

また，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)一般項$a_n,\ b_n$を求めよ．
(2)$S_n$を求めよ．
(3)$S_n$が最小となるときの$n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の式が成り立つことを示せ．
\[ \sin (\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2 \cos \alpha \sin \beta \]
(2)自然数$n$に対して，
\[ 2 \sum_{k=1}^n \cos 2k \theta \sin \theta=\sin (2n+1)\theta-\sin \theta \]
が成り立つことを示せ．
(3)自然数$n$に対して，
\[ \tan \frac{\pi}{4n}=\frac{1}{1+2 \sum_{k=1}^n \cos \displaystyle\frac{k\pi}{2n}} \]
が成り立つことを示せ．

次の各問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi x \sin x \, dx$を求めよ．

(2)$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi \sin 2x \sin 3x \, dx$を求めよ．

(3)$m,\ n$を自然数とする．$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi \sin mx \sin nx \, dx$を求めよ．

(4)$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi \left( \sum_{k=1}^{2013} \sin kx \right)^2 \, dx$を求めよ．

下図のように，$1$から順に番号の付いた碁石を並べてつくられた正三角形の列$A_1$，$A_2$，$A_3$，$\cdots$がある．正三角形$A_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の右下隅にある碁石の番号を$a_n$とし，$A_n$中のすべての碁石の番号の和を$S_n$とする．

（例$a_1=3,\ a_2=8,\ a_3=16,\ S_2=4+5+6+7+8+9=39$）
（図は省略）
(1)$a_n$の一般項を求めよ．
(2)$S_n$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^5}\sum_{k=1}^n k \left( S_k-\frac{3}{2}k \right)$を，ある関数の定積分を用いて表し，この極限値を求めよ．

$xy$平面上の曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} \ (x>0)$を考える．$0<p<q$のとき，$C$上の$2$点$\displaystyle \mathrm{P} \left( p,\ \frac{1}{p} \right)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( q,\ \frac{1}{q} \right)$を通る直線と$C$で囲まれる図形の面積を$S$とし，その図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．

(1)$\displaystyle r=\frac{q}{p}$とおくとき，$S$および$V$の値を$p,\ r$を用いて表せ．
(2)自然数$n$に対して，$p=3^{n-1}$，$q=3^{n}$のときの$V$の値を$V_n$とおく．無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty V_n$の和を求めよ．

数列$\{a_n\}$が次の関係式を満たしている．
\[ a_1=-1,\quad 5a_{n+1}-4a_n=1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$として計算してよい．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおくとき，$S_n$を$n$の式で表せ．
(3)$n \geqq 9$のとき，$S_n>0$となることを示せ．

数列$\{a_n\}$が次の関係式を満たしている．
\[ a_1=-1,\quad 5a_{n+1}-4a_n=1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，必要であれば$\log_{10}2=0.3010$として計算してよい．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおくとき，$S_n$を$n$の式で表せ．
(3)$S_n>0$となる最小の$n$を求めよ．

実数$x$に対し，$x$を超えない最大の整数を$[x]$で表す．数列$\{a_n\}$が
\[ a_n=[\sqrt{n}] \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められるとき，次の問いに答えなさい．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$を求めなさい．
(2)$n$を自然数とする．
\[ S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+\cdots +a_n \]
とするとき，次の等式を証明しなさい．
\[ S_n=\left( n+\frac{5}{6} \right)a_n-\frac{1}{2} {a_n}^2-\frac{1}{3}{a_n}^3 \]