$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がいる．投げたときに表裏の出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$のコインが$1$枚あり，最初は$\mathrm{A}$がそのコインを持っている．次の操作を繰り返す．

(i) $\mathrm{A}$がコインを持っているときは，コインを投げ，表が出れば$\mathrm{A}$に$1$点を与え，コインは$\mathrm{A}$がそのまま
持つ．裏が出れば，両者に点を与えず，$\mathrm{A}$はコインを$\mathrm{B}$に渡す．
(ii) $\mathrm{B}$がコインを持っているときは，コインを投げ，表が出れば$\mathrm{B}$に$1$点を与え，コインは$\mathrm{B}$がそのまま
持つ．裏が出れば，両者に点を与えず，$\mathrm{B}$はコインを$\mathrm{A}$に渡す．

そして$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のいずれかが$2$点を獲得した時点で，$2$点を獲得した方の勝利とする．たとえば，コインが表，裏，表，表と出た場合，この時点では$\mathrm{A}$は$1$点，$\mathrm{B}$は$2$点を獲得しているので$\mathrm{B}$の勝利となる．

(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$あわせてちょうど$n$回コインを投げ終えたときに$\mathrm{A}$の勝利となる確率$p(n)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty p(n)$を求めよ．

数列$\{a_n\}$が条件
\[ \begin{array}{l}
3a_n=S_n+pn^2+qn+r \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots), \\
a_1=1,\quad a_2=2,\quad a_3=5
\end{array} \]
を満たすとする．ただし，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$であり，$p,\ q,\ r$は定数である．次の問いに答えよ．

(1)$p,\ q,\ r$の値を求めよ．
(2)$S_{n+1}-S_n$を考えることにより，$a_{n+1}$を$a_n$と$n$を用いて表せ．
(3)$b_n=a_{n+1}-a_n+3$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$f(x)=e^{-x}$とする．実数$t$に対し，原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の点$\mathrm{A}(t,\ f(t))$，点$\mathrm{B}(t-\log 2,\ f(t-\log 2))$を考える．

(1)$t \geqq 0$のとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$の最大値を求めよ．
(2)$k$を自然数とし，$t=k \log 2$であるときの三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S_k$とする．自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^n S_k$を求めよ．

初項から第$n$項までの和が$S_n=2n^2-n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となる数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)一般項$a_n$を求めよ．また，$a_n$は等差数列になることを示し，初項$a$と公差$d$を求めよ．
(2)和$a_2+a_4+a_6+\cdots +a_{2n}$を求めよ．
(3)和$(-1)a_1+(-1)^2a_2+(-1)^3a_3+\cdots +(-1)^{2n}a_{2n}$を求めよ．
(4)$\displaystyle \sum_{i=1}^{2n}(-1)^{i+1}S_i \leqq -5$が，すべての$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して成り立つことを示せ．

数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=2,\quad \left\{ \begin{array}{ll}
a_n<100 \text{のとき，} & a_{n+1}=a_n+3 \\
a_n \geqq 100 \text{のとき，} & a_{n+1}=a_n-100
\end{array} \right. \]
このとき，次の問に答えよ．

(1)$a_n>a_{n+1}$を満たす最小の自然数$n$を$m$とおく．$m,\ a_{m}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^m a_k$を求めよ．
(2)$a_{105}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^{105} a_k$を求めよ．

$\displaystyle a_n=\frac{1}{2^n} \tan \frac{1}{2^n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$のとき，等式$\displaystyle \frac{1}{2}\tan \theta=\frac{1}{2 \tan \theta}-\frac{1}{\tan 2\theta}$を示せ．
(2)(1)を用いて，和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k$の和を求めよ．

$\displaystyle a_n=\frac{1}{2^n} \tan \frac{1}{2^n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$のとき，等式$\displaystyle \frac{1}{2}\tan \theta=\frac{1}{2 \tan \theta}-\frac{1}{\tan 2\theta}$を示せ．
(2)(1)を用いて，和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k$の和を求めよ．

$a$を正の実数とし，$f(x)=e^{-x}\sin ax$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とする．曲線$\displaystyle y=f(x) \ \left( \frac{2(n-1)\pi}{a} \leqq x \leqq \frac{2n \pi}{a} \right)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$A_n$で表すとき，$A_n$を$a$と$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle S=\sum_{n=1}^\infty A_n$を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{a \to \infty}S$を求めよ．

次の$[　]$の中を適当に補いなさい．

(1)実数$x,\ y$が$2x+y=\sqrt{2013}$を満たすとき，$xy$の最大値を求めると$[　]$．

(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=[　]$．

(3)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，関数$y=\sin^3 x+\cos^3 x$の最大値$M$と最小値$m$を$t=\sin x+\cos x$とおいて求めると$(M,\ m)=[　]$．

数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は次の条件を満たしている．

$a_1=-15,\ a_3=-33,\ a_5=-35$，$\{b_n\}$は$\{a_n\}$の階差数列，$\{b_n\}$は等差数列

また，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)一般項$a_n,\ b_n$を求めよ．
(2)$S_n$を求めよ．
(3)$S_n$が最小となるときの$n$を求めよ．