「数列の和」について
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国立 埼玉大学 2013年 第2問数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を
\[ a_n=\int_0^1 x(1-x)^n \,dx,\quad b_n=\int_0^1 x^2(1-x)^n \,dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．
(1)$a_n$を求めよ．
(2)$b_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n b_k$とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
\[ a_n=\int_0^1 x(1-x)^n \,dx,\quad b_n=\int_0^1 x^2(1-x)^n \,dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．
(1)$a_n$を求めよ．
(2)$b_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n b_k$とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
国立 一橋大学 2013年 第5問サイコロを$n$回投げ，$k$回目に出た目を$a_k$とする．また，$s_n$を$\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^n 10^{n-k}a_k$で定める．
(1)$s_n$が$4$で割り切れる確率を求めよ．
(2)$s_n$が$6$で割り切れる確率を求めよ．
(3)$s_n$が$7$で割り切れる確率を求めよ．
(1)$s_n$が$4$で割り切れる確率を求めよ．
(2)$s_n$が$6$で割り切れる確率を求めよ．
(3)$s_n$が$7$で割り切れる確率を求めよ．
国立 名古屋大学 2013年 第3問$k,\ m,\ n$は整数とし，$n \geqq 1$とする．$\comb{m}{k}$を二項係数として，$S_k(n),\ T_m(n)$を以下のように定める．
\begin{align}
& S_k(n)=1^k+2^k+3^k+\cdots +n^k,\quad S_k(1)=1 \quad (k \geqq 0) \nonumber \\
& T_m(n)=\comb{m}{1}S_1(n)+\comb{m}{2}S_2(n)+\comb{m}{3}S_3(n)+\cdots +\comb{m}{m-1}S_{m-1}(n) \nonumber \\
& \phantom{T_m(n)}=\sum_{k=1}^{m-1}\comb{m}{k}S_k(n) \quad (m \geqq 2) \nonumber
\end{align}
(1)$T_m(1)$と$T_m(2)$を求めよ．
(2)一般の$n$に対して$T_m(n)$を求めよ．
(3)$p$が7以上の素数のとき，$S_1(p-1),\ S_2(p-1),\ S_3(p-1),\ S_4(p-1)$は$p$の倍数であることを示せ．
\begin{align}
& S_k(n)=1^k+2^k+3^k+\cdots +n^k,\quad S_k(1)=1 \quad (k \geqq 0) \nonumber \\
& T_m(n)=\comb{m}{1}S_1(n)+\comb{m}{2}S_2(n)+\comb{m}{3}S_3(n)+\cdots +\comb{m}{m-1}S_{m-1}(n) \nonumber \\
& \phantom{T_m(n)}=\sum_{k=1}^{m-1}\comb{m}{k}S_k(n) \quad (m \geqq 2) \nonumber
\end{align}
(1)$T_m(1)$と$T_m(2)$を求めよ．
(2)一般の$n$に対して$T_m(n)$を求めよ．
(3)$p$が7以上の素数のとき，$S_1(p-1),\ S_2(p-1),\ S_3(p-1),\ S_4(p-1)$は$p$の倍数であることを示せ．
国立 名古屋大学 2013年 第3問$k,\ m,\ n$は整数とし，$n \geqq 1$とする．$\comb{m}{k}$を二項係数として，$S_k(n),\ T_m(n)$を以下のように定める．
\begin{align}
& S_k(n)=1^k+2^k+3^k+\cdots +n^k,\quad S_k(1)=1 \quad (k \geqq 0) \nonumber \\
& T_m(n)=\comb{m}{1}S_1(n)+\comb{m}{2}S_2(n)+\comb{m}{3}S_3(n)+\cdots +\comb{m}{m-1}S_{m-1}(n) \nonumber \\
& \phantom{T_m(n)}=\sum_{k=1}^{m-1}\comb{m}{k}S_k(n) \quad (m \geqq 2) \nonumber
\end{align}
(1)$T_m(1)$と$T_m(2)$を求めよ．
(2)一般の$n$に対して$T_m(n)$を求めよ．
(3)$p$が3以上の素数のとき，$S_k(p-1) \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ p-2)$は$p$の倍数であることを示せ．
\begin{align}
& S_k(n)=1^k+2^k+3^k+\cdots +n^k,\quad S_k(1)=1 \quad (k \geqq 0) \nonumber \\
& T_m(n)=\comb{m}{1}S_1(n)+\comb{m}{2}S_2(n)+\comb{m}{3}S_3(n)+\cdots +\comb{m}{m-1}S_{m-1}(n) \nonumber \\
& \phantom{T_m(n)}=\sum_{k=1}^{m-1}\comb{m}{k}S_k(n) \quad (m \geqq 2) \nonumber
\end{align}
(1)$T_m(1)$と$T_m(2)$を求めよ．
(2)一般の$n$に対して$T_m(n)$を求めよ．
(3)$p$が3以上の素数のとき，$S_k(p-1) \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ p-2)$は$p$の倍数であることを示せ．
国立 広島大学 2013年 第3問関数$f(x)=\log_2 (x+1)$に対して，次の問いに答えよ．
(1)$0$以上の整数$k$に対して，$\displaystyle f(x)=\frac{k}{2}(f(1)-f(0))$を満たす$x$を$k$を用いて表せ．
(2)$(1)$で求めた$x$を$x_k$とおく．$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n k(x_k-x_{k-1})$を$n$を用いて表せ．
(1)$0$以上の整数$k$に対して，$\displaystyle f(x)=\frac{k}{2}(f(1)-f(0))$を満たす$x$を$k$を用いて表せ．
(2)$(1)$で求めた$x$を$x_k$とおく．$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n k(x_k-x_{k-1})$を$n$を用いて表せ．
国立 筑波大学 2013年 第2問$n$は自然数とする．
(1)$1 \leqq k \leqq n$を満たす自然数$k$に対して
\[ \int_{\frac{k-1}{2n}\pi}^{\frac{k}{2n}\pi} \sin 2nt \cos t \, dt=(-1)^{k+1} \frac{2n}{4n^2-1} \left( \cos \frac{k}{2n}\pi+\cos \frac{k-1}{2n}\pi \right) \]
が成り立つことを示せ．
(2)媒介変数$t$によって
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2nt \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
と表される曲線$C_n$で囲まれた部分の面積$S_n$を求めよ．ただし必要なら
\[ \sum_{k=1}^{n-1} \cos \frac{k}{2n}\pi=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{\tan \displaystyle\frac{\pi}{4n}} -1 \right) \quad (n \geqq 2) \]
を用いてよい．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
（図は省略）
(1)$1 \leqq k \leqq n$を満たす自然数$k$に対して
\[ \int_{\frac{k-1}{2n}\pi}^{\frac{k}{2n}\pi} \sin 2nt \cos t \, dt=(-1)^{k+1} \frac{2n}{4n^2-1} \left( \cos \frac{k}{2n}\pi+\cos \frac{k-1}{2n}\pi \right) \]
が成り立つことを示せ．
(2)媒介変数$t$によって
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2nt \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
と表される曲線$C_n$で囲まれた部分の面積$S_n$を求めよ．ただし必要なら
\[ \sum_{k=1}^{n-1} \cos \frac{k}{2n}\pi=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{\tan \displaystyle\frac{\pi}{4n}} -1 \right) \quad (n \geqq 2) \]
を用いてよい．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
（図は省略）
国立 愛知教育大学 2013年 第2問数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=n \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
で定める．また，数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=a_1a_2 \cdots a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．以下の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項と，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n b_k$とおくとき，$S_n$を求めよ．
\[ a_1=1,\quad n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=n \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
で定める．また，数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=a_1a_2 \cdots a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．以下の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項と，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n b_k$とおくとき，$S_n$を求めよ．
国立 愛知教育大学 2013年 第9問次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}(\log (n+k)-\log n) \]
\[ \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}(\log (n+k)-\log n) \]
国立 岩手大学 2013年 第3問数列$\{a_n\}$は，$a_1=1,\ a_n>0 \ (n=2,\ 3,\ \cdots)$であり，$\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^n a_i$とするとき
\[ \frac{S_{n+1}}{S_n}=10^n \]
を満たすものとする．また，数列$\{b_n\}$を$b_n=\log_{10}S_n$と定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)数列$\{b_n\}$の漸化式を導け．
(2)(1)の漸化式を用いて$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の$n \geqq 2$での一般項を求めよ．
\[ \frac{S_{n+1}}{S_n}=10^n \]
を満たすものとする．また，数列$\{b_n\}$を$b_n=\log_{10}S_n$と定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)数列$\{b_n\}$の漸化式を導け．
(2)(1)の漸化式を用いて$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の$n \geqq 2$での一般項を求めよ．
国立 岩手大学 2013年 第3問数列$\{a_n\}$は，$a_1=1,\ a_n>0 \ (n=2,\ 3,\ \cdots)$であり，$\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^n a_i$とするとき
\[ \frac{S_{n+1}}{S_n}=10^n \]
を満たすものとする．また，数列$\{b_n\}$を$b_n=\log_{10}S_n$と定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)数列$\{b_n\}$の漸化式を導け．
(2)(1)の漸化式を用いて$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の$n \geqq 2$での一般項を求めよ．
\[ \frac{S_{n+1}}{S_n}=10^n \]
を満たすものとする．また，数列$\{b_n\}$を$b_n=\log_{10}S_n$と定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)数列$\{b_n\}$の漸化式を導け．
(2)(1)の漸化式を用いて$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の$n \geqq 2$での一般項を求めよ．