次の問いに答えよ．

(1)関数$y=\sqrt{3} \cos^2 \theta+(1-\sqrt{3}) \cos \theta \sin \theta-\sin^2 \theta$の最大値，最小値を求めよ．ただし，最大値，最小値をとる$\theta$の値は求めなくてよい．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n^2-4}$の和を求めよ．

複素数$\displaystyle\alpha=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$に対して，
\[ S_n=\sum_{k=1}^n \alpha^{k-1},\quad T_n=\sum_{k=1}^n k \alpha^{k-1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
とおく．ただし，$\alpha^0=1$とする．次の問に答えよ．

(1)$S_{3m} (m=1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ．
(2)$T_{3m} (m=1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ．
(3)$T_{2014}$を求めよ．

$\displaystyle a_1=-\frac{1}{2}$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{3^n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle b_n=a_n+\frac{k}{3^n}$で定まる数列$\{b_n\}$が$\displaystyle b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n$を満たすとき，定数$k$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$k$に対して，一般項$b_n$を求めよ．
(3)一般項$a_n$と$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が$\displaystyle a_n=\int_0^1 x^2{(1-x)}^{n} \, dx$により与えられている．次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$を用いて表せ．
$(1$-$2)$ $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (n+c)(a_n-a_{n+1})=2$となる実数$c$の値を求めよ．
(2)$|2x+y|+|2x-y|=2$のグラフを図示せよ．

$a$は$1$より大きい実数とする．

(1)次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \sum_{k=0}^{n-1} \left( a^{\frac{k+1}{n}}-a^{\frac{k}{n}} \right) \frac{1}{a^{\frac{k+1}{n}}}<\int_1^a \frac{dx}{x}<\sum_{k=0}^{n-1} \left( a^{\frac{k+1}{n}}-a^{\frac{k}{n}} \right) \frac{1}{a^{\frac{k}{n}}} \]
(2)次の等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \left( a^{\frac{k+1}{n}}-a^{\frac{k}{n}} \right) \frac{1}{a^{\frac{k+1}{n}}}=\int_1^a \frac{dx}{x}=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \left( a^{\frac{k+1}{n}}-a^{\frac{k}{n}} \right) \frac{1}{a^{\frac{k}{n}}} \]

数列$\{a_n\}$を次のように定めるとき，以下の各問いに答えよ．
\[ a_1=3,\quad a_2=4,\quad a_{n+2}-a_n=3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]

(1)$a_3$を求めよ．
(2)$a_4$を求めよ．
(3)$a_{30}$を求めよ．

(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^{30} a_k$を求めよ．

半径$1$の円に内接する正$n$角形を$N_1^{(n)}$，$N_1^{(n)}$に内接する円を$C_1^{(n)}$とし，さらに$C_1^{(n)}$に内接する正$n$角形を$N_2^{(n)}$，$N_2^{(n)}$に内接する円を$C_2^{(n)}$とする．同様にして$N_3^{(n)}$，$C_3^{(n)}$，$N_4^{(n)}$，$C_4^{(n)}$，$\cdots$，$N_k^{(n)}$，$C_k^{(n)}$を定義する．このとき，円$C_k^{(n)}$の半径$R_k^{(n)}$と正$n$角形$N_k^{(n)}$の面積$S_k^{(n)}$は，それぞれ$n$と$k$を用いて$R_k^{(n)}=[$12$]$，$S_k^{(n)}=[$13$]$と表すことができる．また，$\displaystyle S_m=\sum_{k=1}^m S_k^{(n)}$とおいたとき，$\displaystyle \lim_{m \to \infty}S_m=[$14$]$である．ここで，$n,\ k$は正の整数とする．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=1$，$a_{n+1}=4a_n+1$で与えられているとき，$a_2=[ア]$であり，その一般項は$a_n=[イ]$となる．また，$a_{n+2}-a_n$を$5$で割った余りは$[ウ]$である．ここで，$a_n$を$5$で割った余りを$b_n$とする．このとき，$b_4=[エ]$，$b_5=[オ]$であり，$\displaystyle \sum_{k=1}^{2n} a_kb_k=[カ]$である．
(2)座標平面において$1$次変換$f$による点$\mathrm{A}(2,\ 0)$の像は点$\mathrm{C}(4,\ 0)$であり，点$\mathrm{B}(0,\ 4)$の像も点$\mathrm{C}(4,\ 0)$であるとする．このとき，$f$による点$\mathrm{D}(3,\ 2)$の像は点$([キ],\ [ク])$である．次に，放物線上を動く点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ -\frac{1}{2} t^2+1 \right) (0 \leqq t \leqq 4)$の$f$による像を点$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標の最大値は$[ケ]$であり，そのときの点$\mathrm{P}$の$x$座標は$[コ]$である．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

袋の中に$1$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれた$9$個の球が入っている．この袋から球を$1$個取り出し，取り出した球の数字を調べて袋に戻すことを$2$回行うとき，取り出した球に書かれた数字のうちの最大値を$X$とする．$X$が$3$以下となる場合の数は$[ア]$通りである．また，$X$が$4$以下となる場合の数は$[イ]$通りである．$X$が$3$となる場合の数は$[ウ]$通りであるので，$X$が$3$と等しくなる確率は$[エ]$である．したがって，$i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 9$に対して，$X$が$i$と等しくなる確率は$[オ]$であり，$X$の期待値は$[カ]$である．
次に，この袋から球を$1$個取り出し，取り出した球の数字を調べて袋に戻すことを$k$回行うとき（$k$は自然数），取り出した球に書かれた数字のうちの最大値を$Y$とする．$Y$が$j (j=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 9)$以下となる場合の数は$[キ]$通りであり，$Y$が$j$と等しくなる場合の数は$[ク]$通りである．したがって，$Y$が$j$と等しくなる確率は$[ケ]$であり，$Y$の期待値は$\displaystyle 9-\frac{1}{9^k} \sum_{j=1}^8 [コ]$である．

数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}a_n & (a_n \text{が偶数のとき}) \\
5a_n+5 \phantom{\frac{[　]}{2}} & (a_n \text{が奇数のとき})
\end{array} \right. \]
で定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5,\ a_6,\ a_7,\ a_8,\ a_9$を求めよ．

(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^{36} a_k$を求めよ．