「数列の和」について
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私立 聖マリアンナ医科大学 2015年 第3問三角形$\mathrm{ABC}$は$\displaystyle \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$，$\displaystyle \angle \mathrm{BAC}=2\theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$を満たすものとする．
三角形$\mathrm{ABC}$の内接円を$\mathrm{O}_1$とし，その半径を$a$とする．また，円$\mathrm{O}_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$より半径が短く，辺$\mathrm{AB}$，辺$\mathrm{AC}$，円$\mathrm{O}_n$に接する円を$\mathrm{O}_{n+1}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．ただし，円周率は$\pi$を用いるものとする．
\begin{mawarikomi}{55mm}{
（図は省略）
}
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の周の長さ$L$を$a$と$\theta$を用いて表しなさい．ただし，$L=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}$である．
(2)円$\mathrm{O}_n$の周の長さを$W_n$で表すとき，
\[ W=\sum_{n=1}^\infty W_n \]
を$a$と$\theta$を用いて表しなさい．
(3)$L=W$が成り立つとき，$\sin \theta$，$\cos \theta$の値をそれぞれ求めなさい．
\end{mawarikomi}
三角形$\mathrm{ABC}$の内接円を$\mathrm{O}_1$とし，その半径を$a$とする．また，円$\mathrm{O}_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$より半径が短く，辺$\mathrm{AB}$，辺$\mathrm{AC}$，円$\mathrm{O}_n$に接する円を$\mathrm{O}_{n+1}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．ただし，円周率は$\pi$を用いるものとする．
\begin{mawarikomi}{55mm}{
（図は省略）
}
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の周の長さ$L$を$a$と$\theta$を用いて表しなさい．ただし，$L=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}$である．
(2)円$\mathrm{O}_n$の周の長さを$W_n$で表すとき，
\[ W=\sum_{n=1}^\infty W_n \]
を$a$と$\theta$を用いて表しなさい．
(3)$L=W$が成り立つとき，$\sin \theta$，$\cos \theta$の値をそれぞれ求めなさい．
\end{mawarikomi}
私立 昭和薬科大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)${10}^{a+1}=45,\ {10}^{b+2}=75$のとき，$\log_{10}5$を$a,\ b$を用いて表すと，$\displaystyle \log_{10}5=\frac{-a+[ア]b+[イ]}{[ウ]}$である．
(2)次の連立不等式を満たす整数$x$をすべて加えると$[エ][オ]$である．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2-12x+10<0 \\
x^2-6x-1>0 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
(3)区別のつかない$8$個の球を$4$人で分配する方法は$[カ][キ][ク]$通りである．ただし，$1$個も配分されない人がいる場合も含めて考えることにする．
(4)$\displaystyle \tan (\alpha-\beta)=2,\ \alpha+\beta=\frac{\pi}{2},\ 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$のとき，$\tan \alpha=[ケ]+\sqrt{[コ]}$，$\tan \beta=[サ][シ]+\sqrt{[ス]}$である．
(5)点$\mathrm{A}(6,\ 0,\ 5)$，$\mathrm{B}(0,\ -7,\ 3)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$に対して，直線$\mathrm{AB}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{P}$，直線$\mathrm{AC}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$の方程式は
\[ y=\frac{[セ]}{[ソ]}x+\frac{[タ]}{[チ]},\quad z=0 \]
である．
(6)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \cdot 3^k=\frac{[ツ]}{[テ]} \{([ト]n-1)3^n+1 \}$である．
(1)${10}^{a+1}=45,\ {10}^{b+2}=75$のとき，$\log_{10}5$を$a,\ b$を用いて表すと，$\displaystyle \log_{10}5=\frac{-a+[ア]b+[イ]}{[ウ]}$である．
(2)次の連立不等式を満たす整数$x$をすべて加えると$[エ][オ]$である．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2-12x+10<0 \\
x^2-6x-1>0 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
(3)区別のつかない$8$個の球を$4$人で分配する方法は$[カ][キ][ク]$通りである．ただし，$1$個も配分されない人がいる場合も含めて考えることにする．
(4)$\displaystyle \tan (\alpha-\beta)=2,\ \alpha+\beta=\frac{\pi}{2},\ 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$のとき，$\tan \alpha=[ケ]+\sqrt{[コ]}$，$\tan \beta=[サ][シ]+\sqrt{[ス]}$である．
(5)点$\mathrm{A}(6,\ 0,\ 5)$，$\mathrm{B}(0,\ -7,\ 3)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$に対して，直線$\mathrm{AB}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{P}$，直線$\mathrm{AC}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$の方程式は
\[ y=\frac{[セ]}{[ソ]}x+\frac{[タ]}{[チ]},\quad z=0 \]
である．
(6)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \cdot 3^k=\frac{[ツ]}{[テ]} \{([ト]n-1)3^n+1 \}$である．
私立 慶應義塾大学 2015年 第5問次の問いに答えよ．
(1)計算せよ．
\[ \sum_{k=1}^{10} (2k-1)^2=\kakkofour{$101$}{$102$}{$103$}{$104$} \]
(2)計算せよ．
\[ \sum_{k=1}^{20} (-1)^{k-1}k^2=\kakkofour{$105$}{$106$}{$107$}{$108$} \]
(3)$1$から$20$までの数を$2$つの数列$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{10}$と$b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_{10}$に分ける．
\[ S=\sum_{k=1}^{10} a_kb_k \]
と定義し，分け方を種々考え，$S$の最小値と最大値を求めると，それぞれ
\[ [$109$][$110$][$111$],\quad \kakkofour{$112$}{$113$}{$114$}{$115$} \]
となる．（ヒント：増加数列や減少数列を考える．）
(1)計算せよ．
\[ \sum_{k=1}^{10} (2k-1)^2=\kakkofour{$101$}{$102$}{$103$}{$104$} \]
(2)計算せよ．
\[ \sum_{k=1}^{20} (-1)^{k-1}k^2=\kakkofour{$105$}{$106$}{$107$}{$108$} \]
(3)$1$から$20$までの数を$2$つの数列$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{10}$と$b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_{10}$に分ける．
\[ S=\sum_{k=1}^{10} a_kb_k \]
と定義し，分け方を種々考え，$S$の最小値と最大値を求めると，それぞれ
\[ [$109$][$110$][$111$],\quad \kakkofour{$112$}{$113$}{$114$}{$115$} \]
となる．（ヒント：増加数列や減少数列を考える．）
公立 首都大学東京 2015年 第1問以下の問いに答えなさい．
(1)次の不定積分を求めなさい．
\[ \int e^{-2x} \cos 2x \, dx \]
(2)$n$を正の整数とする．曲線
\[ y=e^{-x} \sin x \quad ((n-1) \pi \leqq x \leqq n\pi) \]
と$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V_n$を求めなさい．
(3)$(2)$で求めた$V_n$に対して，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty V_{2n-1}=V_1+V_3+V_5+\cdots$を求めなさい．
(1)次の不定積分を求めなさい．
\[ \int e^{-2x} \cos 2x \, dx \]
(2)$n$を正の整数とする．曲線
\[ y=e^{-x} \sin x \quad ((n-1) \pi \leqq x \leqq n\pi) \]
と$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V_n$を求めなさい．
(3)$(2)$で求めた$V_n$に対して，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty V_{2n-1}=V_1+V_3+V_5+\cdots$を求めなさい．
公立 大阪市立大学 2015年 第2問関数$f(x),\ g(x)$を$f(x)=e^{-x}\sin x$，$g(x)=e^{-x}\cos x$とおく．$f(x),\ g(x)$の不定積分を$\displaystyle I=\int f(x) \, dx$，$\displaystyle J=\int g(x) \, dx$とおく．$k$を自然数とし，$(k-1) \pi \leqq x \leqq k\pi$において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$，および$2$直線$x=(k-1) \pi$，$x=k\pi$で囲まれる$2$つの部分の面積の和を$S_k$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$I=J+F(x)+C_1$，$J=-I+G(x)+C_2$を満たす関数$F(x)$，$G(x)$を求めよ．ただし，$C_1$，$C_2$は積分定数である．
(2)$I,\ J$を求めよ．
(3)$S_k$を求めよ．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty S_k$を求めよ．
(1)$I=J+F(x)+C_1$，$J=-I+G(x)+C_2$を満たす関数$F(x)$，$G(x)$を求めよ．ただし，$C_1$，$C_2$は積分定数である．
(2)$I,\ J$を求めよ．
(3)$S_k$を求めよ．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty S_k$を求めよ．
公立 岡山県立大学 2015年 第2問数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が
\[ S_n=\frac{a_n}{n+1}+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)$a_1$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$の和を求めよ．
\[ S_n=\frac{a_n}{n+1}+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)$a_1$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$の和を求めよ．
公立 公立はこだて未来大学 2015年 第7問$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$x$の関数$f_n(x)$を
\[ f_n(x)=\sum_{k=1}^n \frac{{(-1)}^{k-1}}{k}x^k=x+\cdots +\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}x^n \]
で定める．ただし，$0 \leqq x<1$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle |f_{n+1| \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)-f_n \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)} \leqq \frac{1}{1000(n+1)}$を満たすような$n$の最小値を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} {f_n}^\prime(x)$を求めよ．
(3)$n$が偶数であるとき，不等式$f_n(x) \leqq \log (x+1)$を示せ．
\[ f_n(x)=\sum_{k=1}^n \frac{{(-1)}^{k-1}}{k}x^k=x+\cdots +\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}x^n \]
で定める．ただし，$0 \leqq x<1$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle |f_{n+1| \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)-f_n \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)} \leqq \frac{1}{1000(n+1)}$を満たすような$n$の最小値を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} {f_n}^\prime(x)$を求めよ．
(3)$n$が偶数であるとき，不等式$f_n(x) \leqq \log (x+1)$を示せ．
公立 滋賀県立大学 2015年 第3問数列$\{a_n\}$とその階差数列$\{b_n\}$に対して，
\[ a_1=1,\quad \frac{a_n}{n}=(3n-2)b_{n-1} \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立っているとする．
(1)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n b_k$を求めよ．
\[ a_1=1,\quad \frac{a_n}{n}=(3n-2)b_{n-1} \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立っているとする．
(1)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n b_k$を求めよ．
公立 九州歯科大学 2015年 第2問$\{a_n\}$を初項$a_1=A$，公差$d$の等差数列とする．自然数$j$と$k$に対して
\[ S(j,\ k)=\sum_{i=j}^k a_i=a_j+a_{j+1}+a_{j+2}+\cdots +a_k \]
とおく．$S(1,\ 10)=800$，$S(11,\ 20)=200$が成り立つとき，次の問いに答えよ．ただし，$j<k$とする．
(1)定数$A$と$d$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{S(n+1,\ n^2)}{n(n-1)}=\alpha n^2+\beta n+\gamma$をみたす定数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$の値を求めよ．
(3)$S(n+1,\ n^2)<0$となる$n$の最小値$N$の値を求めよ．
(4)$\displaystyle T_n=\sum_{i=1}^n a_{5i}$とおくとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(T_n)^2}{S(n+1,\ n^2)}$の値を求めよ．
\[ S(j,\ k)=\sum_{i=j}^k a_i=a_j+a_{j+1}+a_{j+2}+\cdots +a_k \]
とおく．$S(1,\ 10)=800$，$S(11,\ 20)=200$が成り立つとき，次の問いに答えよ．ただし，$j<k$とする．
(1)定数$A$と$d$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{S(n+1,\ n^2)}{n(n-1)}=\alpha n^2+\beta n+\gamma$をみたす定数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$の値を求めよ．
(3)$S(n+1,\ n^2)<0$となる$n$の最小値$N$の値を求めよ．
(4)$\displaystyle T_n=\sum_{i=1}^n a_{5i}$とおくとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(T_n)^2}{S(n+1,\ n^2)}$の値を求めよ．
公立 兵庫県立大学 2015年 第2問数列$\{a_n\}$を
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle a_1=\frac{1}{2}, \\
n(n+1)(n+2)a_n=(n-1)n(n+1)a_{n-1}+2 \phantom{\displaystyle\frac{\mkakko{}}{2}} (n=2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \right. \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle a_1=\frac{1}{2}, \\
n(n+1)(n+2)a_n=(n-1)n(n+1)a_{n-1}+2 \phantom{\displaystyle\frac{\mkakko{}}{2}} (n=2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \right. \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．