「数列の和」について
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私立 東京理科大学 2015年 第3問以下の問いに答えよ．（$n$は自然数とする．）
(1)$x=a \tan \theta$とおくことにより，定積分
\[ \int_0^a \frac{dx}{a^2+x^2} \quad (a>0) \]
を求めよ．
(2)極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{2n} \frac{n}{4n^2+k^2} \]
を求めよ．
(3)以下の問いに答えよ．
(i) 実数$x \geqq 0$に対して
\[ \frac{1}{1+x^2}-x^{2n+2} \leqq 1+\sum_{k=1}^n (-x^2)^k \leqq \frac{1}{1+x^2}+x^{2n+2} \]
を示せ．
(ii) 数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+(-1)^n \frac{1}{2n+1} \]
により定める．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(1)$x=a \tan \theta$とおくことにより，定積分
\[ \int_0^a \frac{dx}{a^2+x^2} \quad (a>0) \]
を求めよ．
(2)極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{2n} \frac{n}{4n^2+k^2} \]
を求めよ．
(3)以下の問いに答えよ．
(i) 実数$x \geqq 0$に対して
\[ \frac{1}{1+x^2}-x^{2n+2} \leqq 1+\sum_{k=1}^n (-x^2)^k \leqq \frac{1}{1+x^2}+x^{2n+2} \]
を示せ．
(ii) 数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+(-1)^n \frac{1}{2n+1} \]
により定める．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
私立 早稲田大学 2015年 第3問次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の関係を満たしている．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{(k+1)(k+2)}{3^{k-1}}a_k=-\frac{1}{4}(2n+1)(2n+3) \]
$a_n$を$n$を用いて表せ．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) 次の和$S$を求めよ．
\[ S=\sum_{k=1}^n \frac{1}{(k+1)(k+2)} \]
(ii) $(1)$の$a_n$に対して，$n \geqq 2$のとき，和$\displaystyle Q=\sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．
(1)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の関係を満たしている．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{(k+1)(k+2)}{3^{k-1}}a_k=-\frac{1}{4}(2n+1)(2n+3) \]
$a_n$を$n$を用いて表せ．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) 次の和$S$を求めよ．
\[ S=\sum_{k=1}^n \frac{1}{(k+1)(k+2)} \]
(ii) $(1)$の$a_n$に対して，$n \geqq 2$のとき，和$\displaystyle Q=\sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．
私立 金沢工業大学 2015年 第4問数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=1+8n+\sum_{k=1}^n a_k \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．
(1)$a_{n+1}=[ス]a_n+[セ] (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
(2)$a_n=[ソ] \cdot {[タ]}^{n-1}-[チ] (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=[ツ] \cdot {[テ]}^n-[ト]n-[ナ] (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=1+8n+\sum_{k=1}^n a_k \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．
(1)$a_{n+1}=[ス]a_n+[セ] (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
(2)$a_n=[ソ] \cdot {[タ]}^{n-1}-[チ] (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=[ツ] \cdot {[テ]}^n-[ト]n-[ナ] (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
私立 同志社大学 2015年 第2問$\alpha$は$0<\alpha<\pi$を満たす実数，$n,\ k$は正整数として，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \sin \frac{\alpha}{2n} \sin \frac{k \alpha}{n}$を$\displaystyle \cos \frac{(2k-1) \alpha}{2n}$と$\displaystyle \cos \frac{(2k+1) \alpha}{2n}$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \sin \frac{k \alpha}{n}$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \sin \frac{\alpha}{2n}$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \sin \frac{k \alpha}{n}$を求めよ．
(1)$\displaystyle \sin \frac{\alpha}{2n} \sin \frac{k \alpha}{n}$を$\displaystyle \cos \frac{(2k-1) \alpha}{2n}$と$\displaystyle \cos \frac{(2k+1) \alpha}{2n}$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \sin \frac{k \alpha}{n}$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \sin \frac{\alpha}{2n}$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \sin \frac{k \alpha}{n}$を求めよ．
私立 東京理科大学 2015年 第1問次の$[ア]$～$[ヒ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字，および，$[あ]$にあてはまる$+$か$-$の符号を入れよ．
$p$を$3$で割り切れない整数とする．このとき，整数$a$と$b$に対し，
「$pa-b$が$3$の倍数ならば，$a-pb$も$3$の倍数になる．」
がわかる．これを認めて，$2$つの整数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を以下のように定める．$a_1=1$とし，$b_1$は$0$，$1$，$2$いずれかの数で$pa_1-b_1$が$3$の倍数になるようなものとし，$n=2,\ 3,\ \cdots$に対し，$a_n,\ b_n$を次のように定める．
\begin{itemize}
$\displaystyle a_n=\frac{1}{3}(a_{n-1}-pb_{n-1})$
$b_n$は，$0,\ 1,\ 2$いずれかの数で$pa_n-b_n$が$3$の倍数となるようなものとする．
\end{itemize}
このように定められた$2$つの整数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$について，以下の各問いに答えよ．
(1)$p=8$のとき，$b_1=[ア]$，$a_2=-[イ]$，$b_2=[ウ]$，$a_3=-[エ]$，$b_4=[オ]$，$a_4=-[カ]$，$b_4=[キ]$，$a_5=-[ク]$，$b_5=[ケ]$，$a_6=-[コ]$となる．
(2)$p=-13$のとき，$a_{190}=[サ]$，$b_{190}=[シ]$，$a_{191}=[ス]$，$b_{191}=[セ]$，$a_{192}=[ソ]$，$b_{192}=[タ]$となる．
(3)$p=-13$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^{200} a_k=[チ][ツ][テ]$となる．
(4)$p=-13$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^{30} k^2b_k=\kakkofour{ト}{ナ}{ニ}{ヌ}$となる．
(5)$p=3^{11}+1$のとき，数列$\{b_n\}$の第$2$項目以降で$0$でない値が初めて出てくるのは，第$[ネ][ノ]$項目であり，その項の値は$[ハ]$である．
(6)数列$\{b_n\}$のすべての項が$1$となるような整数$p$で絶対値が最小となるものは，$[あ] [ヒ]$である．$0$のときは，$+0$で表すものとする．
$p$を$3$で割り切れない整数とする．このとき，整数$a$と$b$に対し，
「$pa-b$が$3$の倍数ならば，$a-pb$も$3$の倍数になる．」
がわかる．これを認めて，$2$つの整数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を以下のように定める．$a_1=1$とし，$b_1$は$0$，$1$，$2$いずれかの数で$pa_1-b_1$が$3$の倍数になるようなものとし，$n=2,\ 3,\ \cdots$に対し，$a_n,\ b_n$を次のように定める．
\begin{itemize}
$\displaystyle a_n=\frac{1}{3}(a_{n-1}-pb_{n-1})$
$b_n$は，$0,\ 1,\ 2$いずれかの数で$pa_n-b_n$が$3$の倍数となるようなものとする．
\end{itemize}
このように定められた$2$つの整数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$について，以下の各問いに答えよ．
(1)$p=8$のとき，$b_1=[ア]$，$a_2=-[イ]$，$b_2=[ウ]$，$a_3=-[エ]$，$b_4=[オ]$，$a_4=-[カ]$，$b_4=[キ]$，$a_5=-[ク]$，$b_5=[ケ]$，$a_6=-[コ]$となる．
(2)$p=-13$のとき，$a_{190}=[サ]$，$b_{190}=[シ]$，$a_{191}=[ス]$，$b_{191}=[セ]$，$a_{192}=[ソ]$，$b_{192}=[タ]$となる．
(3)$p=-13$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^{200} a_k=[チ][ツ][テ]$となる．
(4)$p=-13$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^{30} k^2b_k=\kakkofour{ト}{ナ}{ニ}{ヌ}$となる．
(5)$p=3^{11}+1$のとき，数列$\{b_n\}$の第$2$項目以降で$0$でない値が初めて出てくるのは，第$[ネ][ノ]$項目であり，その項の値は$[ハ]$である．
(6)数列$\{b_n\}$のすべての項が$1$となるような整数$p$で絶対値が最小となるものは，$[あ] [ヒ]$である．$0$のときは，$+0$で表すものとする．
私立 早稲田大学 2015年 第1問$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)数列$\{a_n\}$は，次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$を満たす．
(i) $a_1=0,\quad a_n \leqq 0 \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$
(ii) $\displaystyle n=\int_{a_n}^{a_{n+1}} \left( x+\frac{1}{2} \right) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$のとき，$a_n=[ア]$である．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^7 \log_2 \cos \frac{k\pi}{16}=[イ]$
(3)実数$x,\ y$が，$|x|+|y|=1$を満たしているとき，
\[ |7x-3y|+|5x-11y| \]
の最大値は$[ウ]$である．
(4)関数$f(x)=1-2 |x|$を考える．次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$を満たす実数$a$は全部で$[エ]$個ある．
(i) $f(a) \neq a$
(ii) $f(f(f(a)))=a$
(1)数列$\{a_n\}$は，次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$を満たす．
(i) $a_1=0,\quad a_n \leqq 0 \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$
(ii) $\displaystyle n=\int_{a_n}^{a_{n+1}} \left( x+\frac{1}{2} \right) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$のとき，$a_n=[ア]$である．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^7 \log_2 \cos \frac{k\pi}{16}=[イ]$
(3)実数$x,\ y$が，$|x|+|y|=1$を満たしているとき，
\[ |7x-3y|+|5x-11y| \]
の最大値は$[ウ]$である．
(4)関数$f(x)=1-2 |x|$を考える．次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$を満たす実数$a$は全部で$[エ]$個ある．
(i) $f(a) \neq a$
(ii) $f(f(f(a)))=a$
私立 東洋大学 2015年 第4問一般項が$\displaystyle a_n=\sin \frac{3n \pi}{7}$で定義される数列$\{a_n\}$の最初の$n$項の和を$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．次の各問に答えよ．
(1)$a_n>0$となるための必要十分条件は，$n$を$[アイ]$で割った余りが$1$，$2$，$[ウ]$，$[エ]$，$[オカ]$，$[キク]$のいずれかとなることである．ただし，$[ウ]<[エ]<[オカ]<[キク]$とする．
(2)任意の自然数$n$に対し，$a_{n+\mkakko{ケ}}=-a_n$が成り立つ．
(3)$a_n$が最大となるための必要十分条件は，$n$を$[コサ]$で割った余りが$[シ]$または$[ス]$となることである．ただし，$[シ]<[ス]$とする．
(4)$S_n$が最大となるための必要十分条件は，$n$を$[セソ]$で割った余りが$[タ]$または$[チツ]$となることである．
(1)$a_n>0$となるための必要十分条件は，$n$を$[アイ]$で割った余りが$1$，$2$，$[ウ]$，$[エ]$，$[オカ]$，$[キク]$のいずれかとなることである．ただし，$[ウ]<[エ]<[オカ]<[キク]$とする．
(2)任意の自然数$n$に対し，$a_{n+\mkakko{ケ}}=-a_n$が成り立つ．
(3)$a_n$が最大となるための必要十分条件は，$n$を$[コサ]$で割った余りが$[シ]$または$[ス]$となることである．ただし，$[シ]<[ス]$とする．
(4)$S_n$が最大となるための必要十分条件は，$n$を$[セソ]$で割った余りが$[タ]$または$[チツ]$となることである．
私立 獨協医科大学 2015年 第4問$xy$平面上に直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$がある．自然数$n$に対して，この平面上に，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$を次のように定める．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \mathrm{A}_1 \left( \frac{1}{3},\ 0 \right) \\
\text{正方形の頂点は時計回りに$\mathrm{A}_n,\ \mathrm{B}_n,\ \mathrm{C}_n,\ \mathrm{D}_n$とする．} \\
\text{頂点$\mathrm{A}_n,\ \mathrm{D}_n$は$x$軸上にあり，頂点$\mathrm{B}_n$は直線$\ell$上にある．} \\
\text{頂点$\mathrm{A}_n$の$x$座標は頂点$\mathrm{D}_n$の$x$座標より小さい．} \\
\text{頂点$\mathrm{D}_n$を頂点$\mathrm{A}_{n+1}$とする．}
\end{array} \right. \]
頂点$\mathrm{A}_n$の$x$座標を$x_n$，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の面積を$S_n$とする．
(1)正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の$1$辺の長さは$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}x_n$である．
また，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の対角線の交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ウ]}{[エ]}x_n,\ \frac{[オ]}{[カ]}x_n \right)$であるから，すべての自然数$n$に対して正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の対角線の交点は直線$\displaystyle y=\frac{[キ]}{[ク]}x$上にある．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$で表すと$\displaystyle x_{n+1}=\frac{[ケ]}{[コ]}x_n$である．よって$\displaystyle x_n=\frac{3^{\mkakko{サ}}}{2^{\mkakko{シ}}}$である．ただし，$[サ]$，$[シ]$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．
\[ \nagamaruichi -n-1 \qquad \nagamaruni -n \qquad \nagamarusan n-2 \qquad \nagamarushi n-1 \qquad \nagamarugo n \qquad \nagamaruroku n+1 \]
(3)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n S_k$とおく．$T_n>1$となる最小の$n$は$[ス]$である．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \mathrm{A}_1 \left( \frac{1}{3},\ 0 \right) \\
\text{正方形の頂点は時計回りに$\mathrm{A}_n,\ \mathrm{B}_n,\ \mathrm{C}_n,\ \mathrm{D}_n$とする．} \\
\text{頂点$\mathrm{A}_n,\ \mathrm{D}_n$は$x$軸上にあり，頂点$\mathrm{B}_n$は直線$\ell$上にある．} \\
\text{頂点$\mathrm{A}_n$の$x$座標は頂点$\mathrm{D}_n$の$x$座標より小さい．} \\
\text{頂点$\mathrm{D}_n$を頂点$\mathrm{A}_{n+1}$とする．}
\end{array} \right. \]
頂点$\mathrm{A}_n$の$x$座標を$x_n$，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の面積を$S_n$とする．
(1)正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の$1$辺の長さは$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}x_n$である．
また，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の対角線の交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ウ]}{[エ]}x_n,\ \frac{[オ]}{[カ]}x_n \right)$であるから，すべての自然数$n$に対して正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の対角線の交点は直線$\displaystyle y=\frac{[キ]}{[ク]}x$上にある．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$で表すと$\displaystyle x_{n+1}=\frac{[ケ]}{[コ]}x_n$である．よって$\displaystyle x_n=\frac{3^{\mkakko{サ}}}{2^{\mkakko{シ}}}$である．ただし，$[サ]$，$[シ]$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．
\[ \nagamaruichi -n-1 \qquad \nagamaruni -n \qquad \nagamarusan n-2 \qquad \nagamarushi n-1 \qquad \nagamarugo n \qquad \nagamaruroku n+1 \]
(3)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n S_k$とおく．$T_n>1$となる最小の$n$は$[ス]$である．
私立 同志社大学 2015年 第4問$f(x)=2^{-x} \cos x$とし，曲線$C:y=f(x)$と正整数$n$に対して，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}(n \pi,\ f(n \pi))$における$C$の接線と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(n \pi,\ f(n \pi))$における$C$の法線と$x$軸の交点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(3)上の$(1)$と$(2)$で求めた点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と点$\mathrm{P}$の$3$点でできる$\triangle \mathrm{ABP}$の面積$T_n$を$n$を用いて表せ．
(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty T_n$の和を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}(n \pi,\ f(n \pi))$における$C$の接線と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(n \pi,\ f(n \pi))$における$C$の法線と$x$軸の交点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(3)上の$(1)$と$(2)$で求めた点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と点$\mathrm{P}$の$3$点でできる$\triangle \mathrm{ABP}$の面積$T_n$を$n$を用いて表せ．
(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty T_n$の和を求めよ．
私立 同志社大学 2015年 第1問次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ．
(1)さいころを$n$回投げて，第$1$回から第$n$回までに出た目$n$個の積を$X_n$とする．$X_n$が$3$で割り切れる確率は$[ア]$であり，$X_n$が$2$で割り切れる確率は$[イ]$である．また，$X_n$が$6$で割り切れる確率を$p_n$とすると$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (1-p_n)=[ウ]$である．
(2)連立不等式
\[ x^2+4y^2 \leqq 4,\quad x+2y \geqq 2 \]
の表す領域を$D$とする．点$(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$2x+y$の最小値は$[エ]$である．また，最大値は$[オ]$であり，そのときの$x,\ y$は$x=[カ]$，$y=[キ]$である．
(3)正整数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し$\displaystyle \int_0^\pi \sin^2 nx \, dx=[ク]$であり，異なる正整数$m,\ n$に対しては$\displaystyle \int_0^\pi \sin mx \sin nx \, dx=[ケ]$である．したがって，$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{15} n \sin nx$とすると$\displaystyle \int_0^\pi \{f(x)\}^2 \, dx=[コ]$である．
(1)さいころを$n$回投げて，第$1$回から第$n$回までに出た目$n$個の積を$X_n$とする．$X_n$が$3$で割り切れる確率は$[ア]$であり，$X_n$が$2$で割り切れる確率は$[イ]$である．また，$X_n$が$6$で割り切れる確率を$p_n$とすると$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (1-p_n)=[ウ]$である．
(2)連立不等式
\[ x^2+4y^2 \leqq 4,\quad x+2y \geqq 2 \]
の表す領域を$D$とする．点$(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$2x+y$の最小値は$[エ]$である．また，最大値は$[オ]$であり，そのときの$x,\ y$は$x=[カ]$，$y=[キ]$である．
(3)正整数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し$\displaystyle \int_0^\pi \sin^2 nx \, dx=[ク]$であり，異なる正整数$m,\ n$に対しては$\displaystyle \int_0^\pi \sin mx \sin nx \, dx=[ケ]$である．したがって，$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{15} n \sin nx$とすると$\displaystyle \int_0^\pi \{f(x)\}^2 \, dx=[コ]$である．