「数列の和」について
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国立 宮崎大学 2015年 第5問初項$a_1=0$と漸化式
\[ a_{n+1}=(1-r)r^{n-1}+r^2a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって与えられる数列$\{a_n\}$について，次の各問に答えよ．ただし，$r \neq 0$，$r \neq 1$とする．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を，$r$を用いてそれぞれ表せ．
(2)第$n$項$a_n$を推測して，それが正しいことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を計算し，$r,\ n$を用いて表せ．
\[ a_{n+1}=(1-r)r^{n-1}+r^2a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって与えられる数列$\{a_n\}$について，次の各問に答えよ．ただし，$r \neq 0$，$r \neq 1$とする．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を，$r$を用いてそれぞれ表せ．
(2)第$n$項$a_n$を推測して，それが正しいことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を計算し，$r,\ n$を用いて表せ．
国立 お茶の水女子大学 2015年 第2問$0<a<b$を満たす実数$a,\ b$に対し，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$，$x$軸及び$2$直線$x=a$，$x=b$で囲まれた図形の面積を$S(a,\ b)$で表す．以下の問いに答えよ．
(1)$n$を自然数とする．$S(n,\ 3n)$を求め，この値は$n$によらないことを示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S(n,\ n+\sqrt{n})=0$が成り立つことを示せ．
(3)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} S(n,\ n+k) \]
(1)$n$を自然数とする．$S(n,\ 3n)$を求め，この値は$n$によらないことを示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S(n,\ n+\sqrt{n})=0$が成り立つことを示せ．
(3)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} S(n,\ n+k) \]
国立 お茶の水女子大学 2015年 第2問$0<a<b$を満たす実数$a,\ b$に対し，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$，$x$軸及び$2$直線$x=a$，$x=b$で囲まれた図形の面積を$S(a,\ b)$で表す．以下の問いに答えよ．
(1)$n$を自然数とする．$S(n,\ 3n)$を求め，この値は$n$によらないことを示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S(n,\ n+\sqrt{n})=0$が成り立つことを示せ．
(3)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} S(n,\ n+k) \]
(1)$n$を自然数とする．$S(n,\ 3n)$を求め，この値は$n$によらないことを示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S(n,\ n+\sqrt{n})=0$が成り立つことを示せ．
(3)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} S(n,\ n+k) \]
国立 お茶の水女子大学 2015年 第3問次の問いに答えよ．
(1)不等式
\[ \sqrt{n} \sqrt{a^2+b^2} \leqq a+b \leqq \sqrt{m} \sqrt{a^2+b^2} \]
がすべての負でない実数$a \geqq 0$，$b \geqq 0$に対して成り立つような自然数$m$と$n$の範囲を求めよ．
(2)$m$を$2$以上の自然数，$n$を自然数とする．不等式
\[ \frac{m^{n+1}-1}{n+1}>\frac{m^n-1}{n} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$m$を$2$以上の自然数，$n$を自然数とするとき，次の不等式
\[ \comb{mn}{n} \geqq m^n>\sum_{i=0}^{n-1}m^i \]
が成り立つことを示せ．
(1)不等式
\[ \sqrt{n} \sqrt{a^2+b^2} \leqq a+b \leqq \sqrt{m} \sqrt{a^2+b^2} \]
がすべての負でない実数$a \geqq 0$，$b \geqq 0$に対して成り立つような自然数$m$と$n$の範囲を求めよ．
(2)$m$を$2$以上の自然数，$n$を自然数とする．不等式
\[ \frac{m^{n+1}-1}{n+1}>\frac{m^n-1}{n} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$m$を$2$以上の自然数，$n$を自然数とするとき，次の不等式
\[ \comb{mn}{n} \geqq m^n>\sum_{i=0}^{n-1}m^i \]
が成り立つことを示せ．
国立 浜松医科大学 2015年 第1問数列$\{a_n\}$は初項$\displaystyle a_1=\frac{1}{3}$および漸化式
\[ (n+2)a_n-2(n+1)a_{n+1}+(n+1)a_na_{n+1}=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たす．以下の問いに答えよ．
(1)$a_2$を求めよ．
(2)すべての自然数$n$について$a_n \neq 0$が成り立つことを証明せよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とする．このとき，すべての自然数$n$について$S_n<2$が成り立つことを証明せよ．
\[ (n+2)a_n-2(n+1)a_{n+1}+(n+1)a_na_{n+1}=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たす．以下の問いに答えよ．
(1)$a_2$を求めよ．
(2)すべての自然数$n$について$a_n \neq 0$が成り立つことを証明せよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とする．このとき，すべての自然数$n$について$S_n<2$が成り立つことを証明せよ．
国立 福島大学 2015年 第3問第$n$項が
\[ a_n=\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で表される数列$\{a_n\}$がある．この数列の第$1$項から第$n$項までの和を$S_n$で表すとき，次の問いに答えなさい．
(1)$n \geqq 2$のとき，$S_n$を$n$の式で表しなさい．また，$S_{10}$の値を求めなさい．
(2)$\displaystyle S=2 \sum_{k=8}^{70} a_k$の値を求めなさい．
\[ a_n=\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で表される数列$\{a_n\}$がある．この数列の第$1$項から第$n$項までの和を$S_n$で表すとき，次の問いに答えなさい．
(1)$n \geqq 2$のとき，$S_n$を$n$の式で表しなさい．また，$S_{10}$の値を求めなさい．
(2)$\displaystyle S=2 \sum_{k=8}^{70} a_k$の値を求めなさい．
国立 福島大学 2015年 第3問次の問いに答えなさい．
(1)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}$を求めなさい．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{x^2-2x-3}$を求めなさい．
(3)曲線$y=\sqrt{x^2-1}$の$1 \leqq x \leqq 2$の部分を$y$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めなさい．
(4)曲線$y=xe^x+1$の$x=1$に対応する点における接線と法線の方程式を求めなさい．
(1)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}$を求めなさい．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{x^2-2x-3}$を求めなさい．
(3)曲線$y=\sqrt{x^2-1}$の$1 \leqq x \leqq 2$の部分を$y$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めなさい．
(4)曲線$y=xe^x+1$の$x=1$に対応する点における接線と法線の方程式を求めなさい．
国立 宇都宮大学 2015年 第5問$m \geqq 1$を整数とする．関数$f(x)=(\pi-x) \sin mx (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)=0$となるすべての$x (0 \leqq x \leqq \pi)$の値を，小さい順に$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N$で表す．このとき，$N$を$m$の式で表し，$x_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ N)$を$k$と$m$の式で表せ．
(2)$(1)$で定めた$x_k$と$x_{k+1} (k=1,\ 2,\ \cdots,\ N-1)$に対し，曲線$y=f(x) (x_k \leqq x \leqq x_{k+1})$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S_k$とするとき，$S_k$を$k$と$m$の式で表せ．
(3)$(2)$で求めた面積$S_k$の$k=1$から$N-1$までの和$\displaystyle \sum_{k=1}^{N-1} S_k$を求めよ．
(1)$f(x)=0$となるすべての$x (0 \leqq x \leqq \pi)$の値を，小さい順に$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N$で表す．このとき，$N$を$m$の式で表し，$x_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ N)$を$k$と$m$の式で表せ．
(2)$(1)$で定めた$x_k$と$x_{k+1} (k=1,\ 2,\ \cdots,\ N-1)$に対し，曲線$y=f(x) (x_k \leqq x \leqq x_{k+1})$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S_k$とするとき，$S_k$を$k$と$m$の式で表せ．
(3)$(2)$で求めた面積$S_k$の$k=1$から$N-1$までの和$\displaystyle \sum_{k=1}^{N-1} S_k$を求めよ．
国立 山口大学 2015年 第4問次の問いに答えなさい．
(1)$a,\ b,\ c$を整数とする．$a+b+c$が偶数ならば$a,\ b,\ c$の少なくとも$1$つは偶数であることを示しなさい．
(2)整数$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_{27}$を適当に並べ替えたものを$b_1,\ b_2,\ b_3,\ \cdots,\ b_{27}$とする．
(i) 積$(a_1+b_1) \cdot (a_2+b_2) \cdot (a_3+b_3) \cdot \cdots \cdot (a_{27}+b_{27})$は偶数であることを示しなさい．
(ii) $\displaystyle \sum_{k=1}^{27} a_k=S$とする．整数$p,\ q$が$p+q+1=S$を満たすとき，積
\[ (pa_1+qb_1) \cdot (pa_2+qb_2) \cdot (pa_3+qb_3) \cdot \cdots \cdot (pa_{27}+qb_{27}) \]
は偶数であるか奇数であるかを理由を付けて答えなさい．
(1)$a,\ b,\ c$を整数とする．$a+b+c$が偶数ならば$a,\ b,\ c$の少なくとも$1$つは偶数であることを示しなさい．
(2)整数$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_{27}$を適当に並べ替えたものを$b_1,\ b_2,\ b_3,\ \cdots,\ b_{27}$とする．
(i) 積$(a_1+b_1) \cdot (a_2+b_2) \cdot (a_3+b_3) \cdot \cdots \cdot (a_{27}+b_{27})$は偶数であることを示しなさい．
(ii) $\displaystyle \sum_{k=1}^{27} a_k=S$とする．整数$p,\ q$が$p+q+1=S$を満たすとき，積
\[ (pa_1+qb_1) \cdot (pa_2+qb_2) \cdot (pa_3+qb_3) \cdot \cdots \cdot (pa_{27}+qb_{27}) \]
は偶数であるか奇数であるかを理由を付けて答えなさい．
国立 信州大学 2015年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx \, dx (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n^2$は収束し，その和は$\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx$であることが知られている．これを用いて，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$の和を求めよ．
(2)等式$\displaystyle \frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x+1}$が$x$についての恒等式となるように，定数$a,\ b,\ c$の値を定めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2(n+1)}$の収束，発散について調べ，収束するときはその和を求めよ．
(1)$\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx \, dx (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n^2$は収束し，その和は$\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx$であることが知られている．これを用いて，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$の和を求めよ．
(2)等式$\displaystyle \frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x+1}$が$x$についての恒等式となるように，定数$a,\ b,\ c$の値を定めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2(n+1)}$の収束，発散について調べ，収束するときはその和を求めよ．