自然数$k$に対して，関数$f_k(x)=-3x^2-2x+a_k$を考える．ただし，$a_k$は$x$に無関係な数列で$a_1=2$とする．関係式$\displaystyle \int_0^{k+1} f_{k+1}(x) \, dx=\int_0^k f_k(x) \, dx-k^2-k$が満たされるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_k$と$a_{k+1}$との関係式を求めよ．
(2)$a_k$を$k$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \int_0^k f_k(x) \, dx$を求めよ．

自然数$k$に対して，関数$f_k(x)=-3x^2-2x+a_k$を考える．ただし，$a_k$は$x$に無関係な数列で$a_1=2$とする．関係式$\displaystyle \int_0^{k+1} f_{k+1}(x) \, dx=\int_0^k f_k(x) \, dx-k^2-k$が満たされるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_k$と$a_{k+1}$との関係式を求めよ．
(2)$a_k$を$k$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \int_0^k f_k(x) \, dx$を求めよ．

複素数平面上の点$\mathrm{P}_0, \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots$を表す複素数をそれぞれ$z_0,\ z_1,\ z_2,\ \cdots$とする．原点$\mathrm{O}$および整数$k (k \geqq 0)$に対して$\displaystyle \angle \mathrm{OP}_k \mathrm{P}_{k+1}=\frac{\pi}{2}$を満たす．また，$\angle \mathrm{P}_k \mathrm{OP}_{k+1}=\theta$とする．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．次の問いに答えよ．

(1)$z_{k+1}$を$z_k$で表せ．
(2)$z_0=a$（$a$は正の実数）であるとき，三角形$\mathrm{OP}_k \mathrm{P}_{k+1}$の面積$s_k$を$a,\ \theta$で表せ．
(3)三角形の面積の和$\displaystyle A_n=\sum_{k=0}^{n-1}s_k$を$a,\ \theta$で表せ．

$n,\ p,\ q (p \leqq q)$を自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．


(1)$\displaystyle \left( 1+\frac{1}{p} \right)^n \geqq 1+\frac{n}{p}$

(2)$\displaystyle \sum_{p=1}^q \log_{10} \left( 1+\frac{n}{p} \right) \leqq n \log_{10}(1+q)$

以下の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{x(\log x)^2}$は$x>1$において単調に減少することを示せ．
(2)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x(\log x)^2} \, dx$を求めよ．
(3)$n$を$3$以上の整数とするとき，不等式
\[ \sum_{k=3}^n \frac{1}{k(\log k)^2}<\frac{1}{\log 2} \]
が成り立つことを示せ．

$a,\ b$を実数とし，自然数$k$に対して$\displaystyle x_k=\frac{2ak+6b}{k(k+1)(k+3)}$とする．以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle x_k=\frac{p}{k}+\frac{q}{k+1}+\frac{r}{k+3}$がすべての自然数$k$について成り立つような実数$p,\ q,\ r$を，$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$b=0$のとき，$3$以上の自然数$n$に対して$\displaystyle \sum_{k=1}^n x_k$を求めよ．
また，$a=0$のとき，$4$以上の自然数$n$に対して$\displaystyle \sum_{k=1}^n x_k$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty x_k$の和を求めよ．

$c$は実数とする．数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$は$a_1=1$，$a_2=c$であり，さらに漸化式
\[ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$a_3={a_2}^2$が成り立つような$c$の値を求めよ．
(2)$c$が$(1)$で求めた値のとき，数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$が等比数列であることを数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$(1)$で求めた$c$の値のうち，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$となるものを求めよ．
(4)$c$が$(3)$で求めた値のとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ．

確率$p (0<p<1)$で「当たり」が出るくじを繰り返して引く．$2$回目の「当たり」が出たときにこの試行を終える．$n \geqq 2$として，$n$回目でこの試行を終える確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$p_2,\ p_3,\ p_4$を求めよ．
(2)$p_n$を求めよ．
(3)$N \geqq 2$として，$\displaystyle \sum_{k=2}^N p_k$を求めよ．

次の$\tocichi$，$\tocni$のいずれか一方を選択して解答せよ．

\mon[$\tocichi$] 数列$\{a_k\}$を$\displaystyle a_k=k+\cos \left( \frac{k\pi}{6} \right)$で定める．$n$を正の整数とする．

\mon[$(1)$] $\displaystyle \sum_{k=1}^{12n} a_k$を求めよ．
\mon[$(2)$] $\displaystyle \sum_{k=1}^{12n} {a_k}^2$を求めよ．

\mon[$\tocni$] $a,\ b,\ c$は異なる$3$つの正の整数とする．次のデータは$2$つの科目$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の試験を受けた$10$人の得点をまとめたものである．

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& $①$ & $②$ & $③$ & $④$ & $⑤$ & $⑥$ & $④chi$ & $\maruhachi$ & $\marukyu$ & $\marujyu$ \\ \hline
科目$\mathrm{X}$の得点 & $a$ & $c$ & $a$ & $b$ & $b$ & $a$ & $c$ & $c$ & $b$ & $c$ \\ \hline
科目$\mathrm{Y}$の得点 & $a$ & $b$ & $b$ & $b$ & $a$ & $a$ & $b$ & $a$ & $b$ & $a$ \\ \hline
\end{tabular}

科目$\mathrm{X}$の得点の平均値と科目$\mathrm{Y}$の得点の平均値とは等しいとする．
\mon[$(1)$] 科目$\mathrm{X}$の得点の分散を$s_{\mathrm{X}}^2$，科目$\mathrm{Y}$の得点の分散を$s_{\mathrm{Y}}^2$とする．$\displaystyle \frac{s_{\mathrm{X}}^2}{s_{\mathrm{Y}}^2}$を求めよ．
\mon[$(2)$] 科目$\mathrm{X}$の得点と科目$\mathrm{Y}$の得点の相関係数を，四捨五入して小数第$1$位まで求めよ．
\mon[$(3)$] 科目$\mathrm{X}$の得点の中央値が$65$，科目$\mathrm{Y}$の得点の標準偏差が$11$であるとき，$a,\ b,\ c$の組を求めよ．

$n$を自然数とし，関数$f_m(x) (m=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n)$を次のように定める．
\[ f_m(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
1 & (m=0) \\
x^m & (m \geqq 1)
\end{array} \right. \]
さらに，$a_k (k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n)$を次のように定める．
\[ a_k=\int_{-1}^1 f_k(1-x)f_{n-k}(1+x) \, dx \]
以下の問いに答えよ．

(1)$a_0$と$a_1$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(2)$k \geqq 1$のとき，$a_k$を$n,\ k,\ a_{k-1}$を用いて表せ．
(3)$a_k$を$n,\ k$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{1}{a_k}$を$n$を用いて表せ．