タグ「数列の和」の検索結果

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一橋大学 国立 一橋大学 2016年 第5問
次の$\tocichi$,$\tocni$のいずれか一方を選択して解答せよ.

\mon[$\tocichi$] 平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は零ベクトルではなく,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角度は${60}^\circ$である.このとき
\[ r=\frac{|\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|}{|2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|} \]
のとりうる値の範囲を求めよ.
\mon[$\tocni$] $x$は$0$以上の整数である.次の表は$2$つの科目$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の試験を受けた$5$人の得点をまとめたものである.

\begin{tabular}{|l||c|c|c|c|c|}
\hline
& $①$ & $②$ & $③$ & $④$ & $⑤$ \\ \hline
科目$\mathrm{X}$の得点 & $x$ & $6$ & $4$ & $7$ & $4$ \\ \hline
科目$\mathrm{Y}$の得点 & $9$ & $7$ & $5$ & $10$ & $9$ \\ \hline
\end{tabular}


(i) $2n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n,\ b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_n$について,$\displaystyle a=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k$,$\displaystyle b=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n b_k$とすると,
\[ \sum_{k=1}^n (a_k-a)(b_k-b)=\sum_{k=1}^n a_kb_k-nab \]
が成り立つことを示せ.
(ii) 科目$\mathrm{X}$の得点と科目$\mathrm{Y}$の得点の相関係数$r_{\mathrm{XY}}$を$x$で表せ.
(iii) $x$の値を$2$増やして$r_{\mathrm{XY}}$を計算しても値は同じであった.このとき,$r_{\mathrm{XY}}$の値を四捨五入して小数第$1$位まで求めよ.
静岡大学 国立 静岡大学 2016年 第3問
異なる$n$個のものから$r$個を取る組合せの総数を$\comb{n}{r}$で表す.このとき,次の各問に答えよ.

(1)$2$以上の自然数$k$について,
\[ \comb{k+3}{4}=\comb{k+4}{5}-\comb{k+3}{5} \]
が成り立つことを証明せよ.
(2)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n \comb{k+3}{4}$を求めよ.
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n (k^4+6k^3)$を求めよ.
三重大学 国立 三重大学 2016年 第3問
数列$\{x_n\}$は
\[ (n-1)x_{n+2}-(n^2+n-1)x_{n+1}+n^2x_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする.

(1)$x_2$を$x_1$で表せ.また$x_4$を$x_1$と$x_3$で表せ.
(2)$y_n=x_{n+2}-x_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく.$y_n$を$y_1$と$n$で表せ.

(3)数学的帰納法で$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1$を示せ.

(4)$x_{n+2} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を$x_1,\ x_3$と$n$で表せ.
広島大学 国立 広島大学 2016年 第5問
$n$を$2$以上の自然数とする.次の問いに答えよ.

(1)変量$x$のデータの値が$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$であるとし,
\[ f(a)=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (x_k-a)^2 \]
とする.$f(a)$を最小にする$a$は$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の平均値で,そのときの最小値は$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の分散であることを示せ.
(2)$c$を定数として,変量$y,\ z$の$k$番目のデータの値が

$y_k=k\phantom{c} \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$
$z_k=ck \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$

であるとする.このとき$y_1,\ y_2,\ \cdots,\ y_n$の分散が$z_1,\ z_2,\ \cdots,\ z_n$の分散より大きくなるための$c$の必要十分条件を求めよ.
(3)変量$x$のデータの値が$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$であるとし,その平均値を$\overline{x}$とする.新たにデータを得たとし,その値を$x_{n+1}$とする.$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n,\ x_{n+1}$の平均値を$x_{n+1},\ \overline{x}$および$n$を用いて表せ.
(4)次の$40$個のデータの平均値,分散,中央値を計算すると,それぞれ,ちょうど$40,\ 670,\ 35$であった.

\begin{tabular}{|rrrrrrrrrr|}
\hline
$120$ & $10$ & $60$ & $70$ & $30$ & $20$ & $20$ & $30$ & $20$ & $60$ \\
$40$ & $50$ & $40$ & $10$ & $30$ & $40$ & $40$ & $30$ & $20$ & $70$ \\
$100$ & $20$ & $20$ & $40$ & $40$ & $60$ & $70$ & $20$ & $50$ & $10$ \\
$30$ & $10$ & $50$ & $80$ & $10$ & $30$ & $70$ & $10$ & $60$ & $10$ \\ \hline
\end{tabular}


新たにデータを得たとし,その値が$40$であった.このとき,$41$個のすべてのデータの平均値,分散,中央値を求めよ.ただし,得られた値が整数でない場合は,小数第$1$位を四捨五入せよ.
三重大学 国立 三重大学 2016年 第3問
数列$\{x_n\}$は
\[ (n-1)x_{n+2}-(n^2+n-1)x_{n+1}+n^2x_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする.

(1)$x_2$を$x_1$で表せ.また$x_4$を$x_1$と$x_3$で表せ.
(2)$y_n=x_{n+2}-x_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく.$y_n$を$y_1$と$n$で表せ.

(3)数学的帰納法で$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1$を示せ.

(4)$x_{n+2} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を$x_1,\ x_3$と$n$で表せ.
三重大学 国立 三重大学 2016年 第3問
数列$\{x_n\}$は
\[ (n-1)x_{n+2}-(n^2+n-1)x_{n+1}+n^2x_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする.

(1)$x_2$を$x_1$で表せ.また$x_4$を$x_1$と$x_3$で表せ.
(2)$y_n=x_{n+2}-x_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく.$y_n$を$y_1$と$n$で表せ.

(3)数学的帰納法で$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1$を示せ.

(4)$x_{n+2} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を$x_1,\ x_3$と$n$で表せ.
三重大学 国立 三重大学 2016年 第4問
$n$を自然数とし,$\displaystyle \mathrm{P}_k \left( \frac{k}{n},\ \log \left( 1+\frac{k}{n} \right) \right) (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n)$を平面上の$n+1$個の点とする.ただし,$\log x$は$x$の自然対数である.

(1)$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$のとき,点$\mathrm{P}_{k-1}$と点$\mathrm{P}_k$との距離$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{P}_k$に対して
\[ \frac{1}{n} \sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{\left( 1+\displaystyle\frac{k}{n} \right)^2}}<\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{P}_k<\frac{1}{n} \sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{\left( 1+\displaystyle\frac{k-1}{n} \right)^2}} \]
を示せ.
(2)$\displaystyle L_n=\sum_{k=1}^n \mathrm{P}_{k-1} \mathrm{P}_k$としたとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}L_n$を求めよ.
岐阜大学 国立 岐阜大学 2016年 第4問
$n$を正の整数とする.$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k \cdot 2^k}$とおく.以下の問に答えよ.ただし,$\log$は自然対数を表す.

(1)$\displaystyle 1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}=\frac{1}{1-x}-\frac{x^n}{1-x}$を数学的帰納法を用いて証明せよ.ただし,$x \neq 1$とする.

(2)$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} (1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}) \, dx=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ.

(3)$\displaystyle S_n=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ.

(4)$\displaystyle 0 \leqq \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx \leqq \frac{1}{2^n} \log 2$を示せ.

(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 2^2}+\frac{1}{3 \cdot 2^3}+\cdots$の値を求めよ.
静岡大学 国立 静岡大学 2016年 第2問
$c$は$c>1$を満たす定数とする.数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める.
\[ a_1=1,\quad c(a_{n+1})^n=(a_n)^{n+1},\quad a_n>0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき,次の各問に答えよ.

(1)$\displaystyle b_n=\frac{1}{n} \log a_n$とする($n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$).ただし,$\log$は自然対数を表す.このとき,数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ.
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$と$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \log a_k$をそれぞれ求めよ.
静岡大学 国立 静岡大学 2016年 第1問
$c$は$c>1$を満たす定数とする.数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める.
\[ a_1=1,\quad c(a_{n+1})^n=(a_n)^{n+1},\quad a_n>0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき,次の各問に答えよ.

(1)$\displaystyle b_n=\frac{1}{n} \log a_n$とする($n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$).ただし,$\log$は自然対数を表す.このとき,数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ.
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$と$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \log a_k$をそれぞれ求めよ.
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