座標平面上に放物線$C:y=x^2$がある．点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$（ただし，$t>0$）における$C$の接線を$\ell$とし，$\ell$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{M}$を通り$\ell$と直交する直線が，$y$軸，直線$x=t$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．

(1)$\angle \mathrm{QPR}$は$\ell$により二等分されることを示せ．
(2)$\triangle \mathrm{PQR}$が正三角形になるような$t$の値を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{PQNR}$の面積を$S_1$とし，線分$\mathrm{PQ}$，$y$軸および$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$(2)$のとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．

座標平面上の$2$つの放物線

$A:y=x^2$
$B:y=-x^2+px+q$

が点$(-1,\ 1)$で接している．ここで，$p$と$q$は実数である．さらに，$t$を正の実数とし，放物線$B$を$x$軸の正の向きに$2t$，$y$軸の正の向きに$t$だけ平行移動して得られる放物線を$C$とする．

(1)$p$と$q$の値を求めよ．
(2)放物線$A$と$C$が囲む領域の面積を$S(t)$とする．ただし，$A$と$C$が領域を囲まないときは$S(t)=0$と定める．$S(t)$を求めよ．
(3)$t>0$における$S(t)$の最大値を求めよ．

$a$を$0$でない実数とする．$2$つの放物線$y=x^2$，$\displaystyle y=-x^2+2ax+\frac{1}{2a^2}$がある．

(1)$2$つの放物線は異なる$2$点で交わることを示しなさい．
(2)$2$つの放物線の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，$\beta-\alpha$を$a$の式で表しなさい．
(3)$2$つの放物線で囲まれた部分の面積$S$を$a$の式で表しなさい．
(4)$(3)$で定めた面積$S$の最小値を求めなさい．

空間の$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 3)$を通る直線を$\ell$とし，$2$点$\mathrm{C}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{D}(1,\ 0,\ 1)$を通る直線を$m$とする．$a$を定数として，$\ell$上にも$m$上にもない点$\mathrm{P}(s,\ t,\ a)$を考える．

(1)$\mathrm{P}$から$\ell$に下ろした垂線と$\ell$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$から$m$に下ろした垂線と$m$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標をそれぞれ$s,\ t,\ a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$を中心とし，$\ell$と$m$がともに接するような球面が存在するための条件を$s,\ t,\ a$の関係式で表せ．
(3)$s,\ t$と定数$a$が$(2)$の条件をみたすとき，平面上の点$(s,\ t)$の軌跡が放物線であることを示し，その焦点と準線を$a$を用いて表せ．

$a$を正の定数とし，座標平面上において，
\[ \text{円}C_1:x^2+y^2=1,\quad \text{放物線}C_2:y=ax^2+1 \]
を考える．$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$における$C_1$の接線$\ell$は点$\mathrm{Q}(s,\ t)$で$C_2$に接している．次の問いに答えよ．

(1)$s,\ t$および$a$を求めよ．
(2)$C_2,\ \ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)円$C_1$上の点が点$\mathrm{P}$から点$\mathrm{R}(0,\ 1)$まで反時計回りに動いてできる円弧を$C_3$とする．$C_2$，$\ell$および$C_3$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a$を正の定数とし，放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$を$C_1$とする．

(1)点$\mathrm{P}$が$C_1$上を動くとき，$\mathrm{P}$と点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( 2a,\ \frac{a^2}{4}-2 \right)$の距離の最小値を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$を中心とする円$\displaystyle (x-2a)^2+\left( y-\frac{a^2}{4}+2 \right)^2=2a^2$を$C_2$とする．$\mathrm{P}$が$C_1$上を動き，点$\mathrm{R}$が$C_2$上を動くとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{R}$の距離の最小値を求めよ．

放物線$\displaystyle C:y=-\frac{1}{2}x^2$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)関数$y=-2 |x|+k$のグラフが放物線$C$と共有点をもつような実数$k$の範囲を求めよ．
(2)$a,\ b$を実数とする．関数$y=-2 |x-a|+b$のグラフが放物線$C$と共有点をちょうど$4$個もつような点$(a,\ b)$全体のなす領域$D$を$xy$平面に図示せよ．
(3)$(2)$で求めた領域$D$の面積を求めよ．

数列$\{r_n\}$を初項$r_1=1$，公差$1$の等差数列とする．また，数列$\{a_n\}$を次の式で定める．
\[ a_n={r_n}^2+\frac{1}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
以下の問に答えよ．

(1)一般項$a_n$を求めよ．
(2)円$C_n:x^2+(y-a_n)^2={r_n}^2$と放物線$P:y=x^2$の共有点の座標を求めよ．
(3)円$C_n$と円$C_{n+1}$の共有点$(x_n,\ y_n)$の座標を求めよ．
(4)円$C_1,\ C_2,\ C_3$と放物線$P$の概形を描け．

$a,\ b,\ c$を定数とし，$a \neq 0$とする．関数$f(x)$を
\[ f(x)=ax^2+bx+c \]
と定める．放物線$y=f(x)$の頂点の$x$座標を$x=1$とする．また，放物線$y=f(x)$と直線$y=x$の交点の$x$座標を$x=2$と$x=-3$とする．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)放物線$y=f(x)$と関数$y=|x|$のグラフの交点をすべて求めよ．
(3)放物線$y=f(x)$と関数$y=|x|$のグラフで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$xy$平面において，点$(0,\ 2)$を中心とする半径$2$の円を$C$とする．また，放物線$y=ax^2$を$P$とする．ただし，$a$は正の実数とする．

(1)円$C$と放物線$P$との共有点が円$C$の円周の長さを$3$等分するとき，$a$の値を求めよ．
(2)$a$の値を$(1)$で求めたものとする．このとき，円$C$と放物線$P$により囲まれてできる図形のうち，点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ \frac{3}{2} \right)$を内部に含む図形の面積を求めよ．