硬貨が$2$枚ある．最初は$2$枚とも表の状態で置かれている．次の操作を$n$回行った後，硬貨が$2$枚とも裏になっている確率を求めよ．


\mon[（操作）] $2$枚とも表，または$2$枚とも裏のときには$2$枚の硬貨両方を投げ，表と裏が$1$枚ずつのときには，表になっている硬貨だけを投げる．

玉が$2$個ずつ入った$2$つの袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があるとき，袋$\mathrm{B}$から玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{A}$に入れ，次に袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れる，という操作を$1$回の操作と数えることにする．$\mathrm{A}$に赤玉が$2$個，$\mathrm{B}$に白玉が$2$個入った状態から始め，この操作を$n$回繰り返した後に袋$\mathrm{B}$に入っている赤玉の個数が$k$個である確率を$P_n(k) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$k=0,\ 1,\ 2$に対する$P_1(k)$を求めよ．
(2)$k=0,\ 1,\ 2$に対する$P_n(k)$を求めよ．

ある箱に$1$から$5$までの整数のうちひとつが書かれたカードがそれぞれ$1$枚入っている．そこから$1$枚カードをひき，数字を確認してから元の箱に戻す．このような操作を繰り返したとき，$k$回目に取り出したカードの数字を$A_k$とし，
\[ T_n=\sum_{k=1}^n A_k \]
とする．このとき，$T_n$が奇数となる確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．
(2)数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$を求めよ．

袋の中に，赤玉が$15$個，青玉が$10$個，白玉が$5$個入っている．袋の中から玉を$1$個取り出し，取り出した玉の色に応じて，以下の操作で座標平面に置いたコインを動かすことを考える．


\mon[（操作）] コインが点$(x,\ y)$にあるものとする．赤玉を取り出したときにはコインを点$(x+1,\ y)$に移動，青玉を取り出したときには点$(x,\ y+1)$に移動，白玉を取り出したときには点$(x-1,\ y-1)$に移動し，取り出した球は袋に戻す．

最初に原点$(0,\ 0)$にコインを置き，この操作を繰り返して行う．指定した回数だけ操作を繰り返した後，コインが置かれている点を到達点と呼ぶことにする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)操作を$n$回繰り返したとき，白玉を$1$度だけ取り出したとする．このとき，到達点となり得る点をすべて求めよ．
(2)操作を$n$回繰り返したとき，到達点となり得る点の個数を求めよ．
(3)座標平面上の$4$点$(1,\ 1)$，$(-1,\ 1)$，$(-1,\ -1)$，$(1,\ -1)$を頂点とする正方形$D$を考える．操作を$n$回繰り返したとき，到達点が$D$の内部または辺上にある確率を$P_n$とする．$P_3$を求めよ．
(4)自然数$N$に対して$P_{3N}$を求めよ．

$3$が書かれたカードが$10$枚，$5$が書かれたカードが$10$枚，$10$が書かれたカードが$10$枚，全部で$30$枚のカードが箱の中にある．この中から$1$枚ずつカードを取り出していき，取り出したカードに書かれている数の合計が$10$以上になった時点で操作を終了する．ただし各カードには必ず$3,\ 5,\ 10$いずれかの数が$1$つ書かれているものとし，取り出したカードは箱の中に戻さないものとする．次の問いに答えよ．

(1)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$1$回である確率を求めよ．
(2)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$2$回である確率を求めよ．
(3)操作が終了したときに，取り出したカードに書かれている数の合計が$12$以上である確率を求めよ．

$3$が書かれたカードが$10$枚，$5$が書かれたカードが$10$枚，$10$が書かれたカードが$10$枚，全部で$30$枚のカードが箱の中にある．この中から$1$枚ずつカードを取り出していき，取り出したカードに書かれている数の合計が$10$以上になった時点で操作を終了する．ただし各カードには必ず$3,\ 5,\ 10$いずれかの数が$1$つ書かれているものとし，取り出したカードは箱の中に戻さないものとする．次の問いに答えよ．

(1)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$1$回である確率を求めよ．
(2)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$2$回である確率を求めよ．
(3)操作が終了したときに，取り出したカードに書かれている数の合計が$12$以上である確率を求めよ．

赤球，白球合わせて$2$個以上入っている袋に対して，次の操作$(*)$を考える．


\mon[$(*)$] 袋から同時に$2$個の球を取り出す．取り出した$2$個の球が同じ色である場合は，その色の球を$1$個だけ袋に入れる．

赤球$3$個と白球$2$個が入っている袋に対して一度操作$(*)$を行い，その結果得られた袋に対してもう一度操作$(*)$を行った後に，袋に入っている赤球と白球の個数をそれぞれ$r,\ w$とする．

(1)赤球$3$個と白球$2$個が入っている袋から$2$個の球を取り出すとき，取り出した赤球の個数が$k$である確率を$p_k$とする．$p_0,\ p_1,\ p_2$の値を求めよ．
(2)$r=w$となる確率を求めよ．
(3)$r>w$となる確率を求めよ．
(4)$r>w$であったときの$r+w=2$となる条件付き確率を求めよ．

袋$\mathrm{A}$には白玉$3$個，黒玉$4$個，袋$\mathrm{B}$には白玉$3$個，黒玉$2$個が入っている．このとき，次の操作$(*)$を行う．

\mon[$(*)$] はじめに袋$\mathrm{A}$から$1$個の玉を取り出して袋$\mathrm{B}$に入れ，そのあとよくかき混ぜてから，袋$\mathrm{B}$から$1$個の玉を取り出して袋$\mathrm{A}$に入れる．

次の問いに答えよ．

(1)操作$(*)$のあとで，袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出すとき，それが白玉である確率を求めよ．
(2)操作$(*)$のあとで，袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出したら白玉であったという条件のもとで，袋$\mathrm{B}$の中の白玉が$2$個である確率を求めよ．
(3)操作$(*)$のあとで，$1$枚の硬貨を投げて，表が出たら袋$\mathrm{A}$にだけ白玉を$1$個入れ，裏が出たら袋$\mathrm{B}$にだけ白玉$1$個を入れる．このとき，袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出したら白玉であったという条件のもとで，白玉が入れられたのは袋$\mathrm{A}$である確率を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2m^2-n^2-mn-m+n=18$を満たす自然数$m,\ n$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき$\displaystyle \log_{\cos \theta} \left( \tan^2 \theta+\frac{\tan \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{3} \right)=-2$を満たす$\theta$を求めよ．
(3)袋の中に$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ書かれた$5$個の玉が入っている．$5$人が順にこの袋の中から玉を$1$個ずつ取り出し，玉に書かれた数字を記録する．この操作が終了したら，すべての玉を袋の中に戻し，同じ操作をもう一度行う．このとき，$1$回目と$2$回目に取り出した玉に書かれた数字が同じであるという人がちょうど$3$人になる確率を求めよ．
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 |t-x| \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2m^2-n^2-mn-m+n=18$を満たす自然数$m,\ n$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき$\displaystyle \log_{\cos \theta} \left( \tan^2 \theta+\frac{\tan \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{3} \right)=-2$を満たす$\theta$を求めよ．
(3)袋の中に$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ書かれた$5$個の玉が入っている．$5$人が順にこの袋の中から玉を$1$個ずつ取り出し，玉に書かれた数字を記録する．この操作が終了したら，すべての玉を袋の中に戻し，同じ操作をもう一度行う．このとき，$1$回目と$2$回目に取り出した玉に書かれた数字が同じであるという人がちょうど$3$人になる確率を求めよ．
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 |t-x| \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．