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慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2015年 第4問
ある村では公共サービス$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$を提供している.提供された$\mathrm{X}$の量を$x$,$\mathrm{Y}$の量を$y$で表わす.技術的条件や予算の制約によって$(x,\ y)$が実現するのは$x,\ y$がつぎの不等式をみたすときである.
\[ \begin{array}{l}
x+y \leqq 200 \\
x+5y \leqq 790 \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
3x+4y \leqq 720 \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
x,\ y \geqq 0 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \]
$(x,\ y)$が実現する領域は$5$角形であり,その$5$頂点は$(0,\ 0)$,$(200,\ 0)$,$(0,\ 158)$および$\mathrm{A}([$53$][$54$][$55$],\ [$56$][$57$][$58$])$,$\mathrm{B}(80,\ [$59$][$60$][$61$])$である.

現在,一般の村民は$xy$が最大になることを望んでおり,一方,村の有力者一族は$x+10y$が最大になることを望んでいる.村長は$x$と$y$を自由に選ぶことができるが,両方の意向を尊重して
\[ \alpha xy+(1-\alpha)(x+10y) \quad (0<\alpha<1) \]
を最大化する方針をとった.
仮に,$\displaystyle \alpha=\frac{1}{3}$ならば村長の選択は$(x,\ y)=([$62$][$63$],\ [$64$][$65$][$66$])$となる.
村長は最大化のために選択すべき点を線分$\mathrm{AB}$上にとることにした.しかし,予算上端点$\mathrm{A}$も$\mathrm{B}$も選択することが認められないことがわかった.すると,$\alpha$は
\[ \frac{[$67$][$68$]}{[$69$][$70$][$71$]}<\alpha<\frac{[$72$][$73$]}{133} \]
の範囲に限定される.
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