次の条件で定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=1, a_2=3, a_{n+2}=a_n+a_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)すべての自然数$n$に対して
\[ X \left( \begin{array}{cc}
a_n & a_{n+1} \\
a_{n+1} & a_{n+2}
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}
a_{n+1} & a_{n+2} \\
a_{n+2} & a_{n+3}
\end{array} \right) \]
が成り立つように，行列$X$を定めよ．
(2)自然数$n$に対して$a_na_{n+2}-(a_{n+1})^2$の値を推測して，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．

行列$A=\biggl( \begin{array}{rr}
3 & 1 \\
-1 & 1
\end{array} \biggr),\ P=\biggl( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
-1 & 1
\end{array} \biggr)$に対して以下の問いに答えよ．

(1)$U=P^{-1}AP$とする．$U$を求めよ．
(2)$n$を自然数とする．$U^n$を推測し，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$A^n$を求めよ．

$xy$平面上に点P$_0$を原点とし，点P$_1$，P$_2$，$\cdots$，P$_n$が$y$軸上の正の部分にこの順に並んでいる．$y=x^2 \ (x>0)$上に点Q$_1$，Q$_2$，$\cdots$，Q$_n$がこの順に並んでおり，$k=1$から$n$に対し，$\angle \text{Q}_k \text{P}_{k-1} \text{P}_k= \angle \text{Q}_k \text{P}_k \text{P}_{k-1} = \theta$が成り立っている．$\displaystyle \frac{1}{\tan \theta}=t$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)点P$_1$，P$_2$，P$_3$の座標を求めよ．
(2)P$_n(0,\ y_n)$，Q$_n(x_n,\ x_n^2)$とするとき，$y_n$を$x_{n+1}$で表せ．
(3)点P$_n$の座標を推測して，その結果を数学的帰納法で証明せよ．