次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$について，以下の問に答えよ．
\[ a_1 = \frac{1}{2}, \quad a_{n+1} = \frac{8a_n-1}{25a_n-2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$を求めよ．
(2)(1)の結果に基づいて，一般項$a_n$を推測せよ．また，その推測が正しいことを証明せよ．

行列$A=\left( \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 4
\end{array} \right),\ B=\left(\!\! \begin{array}{rr}
1 & -1 \\
1 & 1 \\
-1 & 0
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)$AB$および$ABA$を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，$(AB)^nA$を推測し，それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ．
(3)自然数$n$に対して，$(BA)^{n+1}$を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 2
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えなさい．

(1)$A^2$と$A^3$を求めなさい．
(2)自然数$n$に対して$A^n$を推測し，それを数学的帰納法により証明しなさい．

数列$\{a_n\}$は次の$3$つの条件
\[ \begin{array}{ll}
(\mathrm{A}) & a_1=1 \\
(\mathrm{B}) & a_{n+1}^2 - 6a_{n+1}a_n + 8a_n^2 = 0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\cdots) \\
(\mathrm{C}) & a_{n+1} > 3 a_n \quad (n=1,\ 2.\ 3,\cdots)
\end{array} \]
を満たしている．以下の文は$\{a_n\}$の一般項を推測する記述である． \\
条件$(\mathrm{A})$と，条件$(\mathrm{B})$において$n=[(31)]$とおいた式から，$a_2$は$2$次方程式
\[ x^2 - [(32)]x + [(33)] = 0 \]
の解の$1$つである．この方程式の解のうち小さいほうは[(34)]，大きいほうは[(35)]である．これらの候補のうち条件$(\mathrm{C})$において$n=1$とした式を満たすものを選ぶと，$a_2=[(36)]$である．同様に，$a_3=[(37)][(38)],\ a_4=[(39)][(40)]$となるので，一般項は$a_n=[(41)]^{n-1}$と推測される．

次の問いに答えよ．

(1)$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．

(i) $A$は逆行列をもつことを示し，$A^{-1}$を求めよ．
(ii) $A^2,\ A^3,\ A^4$を求めよ．
(iii) 正の整数$n$に対して$A^n$を推測し，その推測が正しいことを証明せよ．

(2)$a,\ b,\ c$を定数とし，$a>0$であるとする．2次関数$f(x)=ax^2+bx+c \ (-1 \leqq x \leqq 1)$の最小値を求めよ．

$a,\ b$を実数の定数として，$2$次の正方行列$A$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & a-b \\
0 & b
\end{array} \right) \]
と定める．自然数$n$に対して$A^n$を推測し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

$a,\ b,\ c,\ d$は実数とし，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
-d & c \\
b & -a
\end{array} \right)$とする．$A^2+A+E=O$が成り立つとき，次の問いに答えよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列とする．

(1)$a+d$および$ad-bc$の値を求めよ．
(2)$A^3,\ A^6,\ B^3,\ B^6$を求めよ．
(3)$B^{3n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて示せ．

関数$f_n(x) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の条件を満たしている．
\[ (\text{i}) f_0(x)=e^x,\quad (\text{ii}) f_n(x)=\int_0^x (n+t)f_{n-1}(t) \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき以下の問いに答えよ．

(1)$f_1(x),\ f_2(x)$を求めよ．
(2)$f_n(x)$の具体的な形を推測し，その結果を数学的帰納法で証明せよ．

実数$p$に対して，行列$A,\ B,\ C$をそれぞれ
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & p \\
1 & 0
\end{array} \biggr),\quad B=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 1+p
\end{array} \biggr),\quad C=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & p \\
1+p & -1
\end{array} \biggr) \]
とおく．さらに，行列$A_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ A_1=A, A_{n+1}=A_nB-BA_n+C \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．次の問いに答えよ．

(1)$A_2,\ A_3$を求めよ．
(2)$A_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて示せ．

関数$f_n(x) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の条件を満たしている．

$(ⅰ)$ $f_0(x)=e^{2x}+1$
$(ⅱ)$ $\displaystyle f_n(x)=\int_0^x (n+2t)f_{n-1}(t) \, dt-\frac{2x^{n+1}}{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

このとき以下の問いに答えよ．

(1)$f_1(x),\ f_2(x)$を求めよ．
(2)$f_n(x)$の具体的な形を推測し，その結果を数学的帰納法で証明せよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left\{ f_n^\prime \left( \frac{1}{2} \right) \right\}$を求めよ．ただし，$0<r<1$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nr^n=0$となることを用いてよい．