タグ「推測」の検索結果

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宮崎大学 国立 宮崎大学 2016年 第4問
$r>0$とするとき,関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を

$f_1(x)=e^{-rx},$

$\displaystyle f_{n+1}(x)=nre^{-(n+1)rx} \int_0^x f_n(t) e^{(n+1)rt} \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

によって定める.このとき,次の各問に答えよ.

(1)関数$f_2(x),\ f_3(x)$を求めよ.
(2)関数$f_n(x)$を推測し,その推測が正しいことを,数学的帰納法を用いて証明せよ.
(3)$n \geqq 3,\ x>0$のとき,関数$f_n(x)$の極値を求めよ.
宮崎大学 国立 宮崎大学 2015年 第2問
初項$a_1=0$と漸化式
\[ a_{n+1}=(1-r) r^{n-1}+r^2a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって与えられる数列$\{a_n\}$について,次の各問に答えよ.ただし,$r \neq 0$,$r \neq 1$とする.

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を,$r$を用いてそれぞれ表せ.
(2)第$n$項$a_n$を推測して,それが正しいことを,数学的帰納法を用いて証明せよ.
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を計算し,$r,\ n$を用いて表せ.
宮崎大学 国立 宮崎大学 2015年 第5問
初項$a_1=0$と漸化式
\[ a_{n+1}=(1-r)r^{n-1}+r^2a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって与えられる数列$\{a_n\}$について,次の各問に答えよ.ただし,$r \neq 0$,$r \neq 1$とする.

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を,$r$を用いてそれぞれ表せ.
(2)第$n$項$a_n$を推測して,それが正しいことを,数学的帰納法を用いて証明せよ.
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を計算し,$r,\ n$を用いて表せ.
県立広島大学 公立 県立広島大学 2015年 第2問
次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある.
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=\frac{5a_n+9}{-a_n+11} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
次の問いに答えよ.

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を求めよ.
(2)一般項$a_n$を推測し,その結果を数学的帰納法によって証明せよ.
(3)$a_n<3$を示せ.
(4)$a_n<a_{n+1}$を示せ.
(5)$a_n$が自然数となる$n$をすべて求めよ.
愛知教育大学 国立 愛知教育大学 2014年 第8問
$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & -2 \\
0 & 1
\end{array} \right)$,$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)自然数$n$に対して,$(AB)^n$を推測し,それを数学的帰納法で証明せよ.
(2)自然数$n$に対して,$(BA)^n$を求めよ.
九州工業大学 国立 九州工業大学 2014年 第2問
$A+B=E$,$AB=O$をみたす$2 \times 2$行列$A,\ B$を考える.ただし,$E$は単位行列,$O$は零行列である.以下の問いに答えよ.

(1)$A^2=A$,$B^2=B$,$BA=O$となることを示せ.
(2)$(A+\alpha B)^n=A+k_nB$をみたす実数$k_n$を推測し,その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ.ただし,$\alpha$は実数であり,$n$は自然数である.
(3)$A+\alpha B=\left( \begin{array}{cc}
-1 & -3 \\
2 & 4
\end{array} \right)$であるとき,$A,\ B$と実数$\alpha$を求めよ.
大阪市立大学 公立 大阪市立大学 2014年 第3問
$1$次変換$f$は点$(1,\ 3)$を点$(3,\ 5)$へ,点$(1,\ -1)$を点$(1,\ -1)$へ移すとする.$f$を表す行列を$A$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)$A$を求めよ.
(2)$A^2,\ A^3$を求めよ.
(3)自然数$n$に対して$A^n$を推測し,その推測が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ.
岐阜大学 国立 岐阜大学 2013年 第4問
正の整数$n$について,$x>0$で定義された関数$f_n(x)$を次で定める.
\[ \begin{array}{l}
f_1(x)=x \log x \\
f_{n+1}(x)=(n+1) \int_1^x f_n(t) \, dt+\displaystyle\frac{1}{n+1}(x^{n+1}-1)
\end{array} \]
以下の問に答えよ.ただし,$\log x$は$x$の自然対数とする.

(1)関数$f_2(x)$を求めよ.
(2)関数$f_n(x)$の具体的な形を推測し,それを数学的帰納法で証明せよ.
(3)$g(x)=|f_2(x)|-|x-1|$とおくとき,$g(x)$が$x=1$で微分可能であることを証明せよ.また,微分係数$g^\prime(1)$を求めよ.
九州工業大学 国立 九州工業大学 2013年 第3問
行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & 4 \\
1 & 6
\end{array} \right)$について,以下の問いに答えよ.

(1)連立$1$次方程式$\left\{ \begin{array}{l}
3x+4y=kx \\
x+6y=ky
\end{array} \right.$が$x=y=0$以外の解をもつような実数$k$の値を$2$つ求めよ.
(2)(1)で求めた$k$の値を$a,\ b \ (a<b)$とし,$B=\left( \begin{array}{cc}
a & 0 \\
0 & b
\end{array} \right)$とする.実数$s,\ t$に対し,行列$P=\left( \begin{array}{cc}
s & t \\
1 & 1
\end{array} \right)$が$AP=PB$を満たすとき,実数$s,\ t$の値を求めよ.
(3)(2)で定めた行列$B$について,$B^n$(ただし,$n$は自然数)を推測し,その推測が正しいことを数学的帰納法で証明せよ.
(4)$A^n$を求めよ.ただし,$n$は自然数とする.
長崎大学 国立 長崎大学 2013年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)$\displaystyle a_1=\frac{3}{2},\ a_{n+1}+2a_{n+1}a_n-3a_n=0 \ (n \geqq 1)$で与えられる数列$\{a_n\}$について,$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$の値を求めよ.また,一般項$a_n$を推測し,その推測の結果を数学的帰納法で証明せよ.
(2)$\displaystyle \frac{7}{12}\pi=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}$であることを利用して$\displaystyle \sin \frac{7}{12}\pi$を求め,$1 \leqq x \leqq 4$のとき,次の方程式を解け.
\[ \sin x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \]
(3)$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$とする.このとき,$X=\log_2 \cos x$の範囲を求め,次の不等式を解け.
\[ 2(\log_2 \cos x)^2+(4-\log_2 3)\log_2 \cos x+2-\log_23 \leqq 0 \]
{\bf 注意:} $\log_2 \cos x$は$\log_2(\cos x)$を表す.
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「推測」とは・・・

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