「推定」について
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国立 愛媛大学 2010年 第6問2つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$は，すべての自然数$n$について
\[ a_{n+1}=\frac{a_n}{1-b_n^{\ 2}},\quad b_{n+1}=a_{n+1}b_n \]
をみたしているとする．
(1)初項が$\displaystyle a_1=b_1=\frac{1}{2}$であるとする．
\mon[(i)] $a_2,\ b_2,\ a_3,\ b_3$を求めよ．
\mon[(ii)] $a_n,\ b_n$を表す$n$の式を推定し，それらの推定が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ．
(2)初項が$\displaystyle a_1=\frac{1}{2010},\ b_1=\frac{2009}{2010}$であるとする．
\mon[(i)] $a_{n+1}+b_{n+1}$を$a_n,\ b_n$で表せ．
\mon[(ii)] $a_n+b_n$を求めよ．
\[ a_{n+1}=\frac{a_n}{1-b_n^{\ 2}},\quad b_{n+1}=a_{n+1}b_n \]
をみたしているとする．
(1)初項が$\displaystyle a_1=b_1=\frac{1}{2}$であるとする．
\mon[(i)] $a_2,\ b_2,\ a_3,\ b_3$を求めよ．
\mon[(ii)] $a_n,\ b_n$を表す$n$の式を推定し，それらの推定が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ．
(2)初項が$\displaystyle a_1=\frac{1}{2010},\ b_1=\frac{2009}{2010}$であるとする．
\mon[(i)] $a_{n+1}+b_{n+1}$を$a_n,\ b_n$で表せ．
\mon[(ii)] $a_n+b_n$を求めよ．