数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=\frac{3}{4},\quad a_{n+1}=1-\frac{1}{4a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．以下の問に答えよ．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5,\ a_6$を求めよ．また，それより一般項$a_n$を推定せよ．
(2)数学的帰納法により，$(1)$の一般項の推定が正しいことを証明せよ．
(3)$n$を正の整数とする．すべての実数$x$に対して，不等式
\[ a_nx^2+x+1 \geqq a_{n+1} \]
が成り立つことを示せ．
(4)$n$を正の整数とする．すべての実数$x$に対して，不等式
\[ x^{2n}+x^{2n-1}+x^{2n-2}+\cdots +x^2+x+1 \geqq a_n \]
が成り立つことを示せ．

自然数$n$に対し，座標平面上の点$(n,\ 1)$を$\mathrm{P}_n$とする．また，$r$を正の実数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$1$次変換$f$は，すべての$n$に対して$f(\mathrm{P}_n)=\mathrm{P}_{n+1}$を満たすとする．$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)$1$次変換$g$は，点$(1,\ 1)$を点$(-2r,\ 1)$に，点$(-2r,\ 1)$を点$(2r^2-r,\ 1)$に移すとする．$g$を表す行列$B$を求めよ．
(3)$C=ABA^{-1}$とする．行列$C^n$を推定し，それが正しいことを数学的帰納法によって示せ．
(4)行列$C^n$で表される$1$次変換による点$(1,\ r)$の像の$x$座標を$x_n$とする．$r<1$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ．

自然数$n$に対し，座標平面上の点$(n,\ 1)$を$\mathrm{P}_n$とする．また，$r$を正の実数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$1$次変換$f$は，すべての$n$に対して$f(\mathrm{P}_n)=\mathrm{P}_{n+1}$を満たすとする．$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)$1$次変換$g$は，点$(1,\ 1)$を点$(-2r,\ 1)$に，点$(-2r,\ 1)$を点$(2r^2-r,\ 1)$に移すとする．$g$を表す行列$B$を求めよ．
(3)$C=ABA^{-1}$とする．行列$C^n$を推定し，それが正しいことを数学的帰納法によって示せ．
(4)行列$C^n$で表される$1$次変換による点$(1,\ r)$の像の$x$座標を$x_n$とする．$r<1$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ．

確率変数$Z$が標準正規分布$N(0,\ 1)$に従うとき，
\[ P(Z>1.96)=0.025,\ P(Z>2.58)=0.005,\ \frac{2.58}{1.96} \fallingdotseq 1.32 \]
であるとして，次の各問いに答えよ．

(1)確率変数$X$のとる値$x$の範囲が$-1 \leqq x \leqq 1$で，その確率密度関数が$f(x)=k(1-x^2)$で与えられている．このとき，定数$k$の値と$X$の平均を求めよ．
(2)母平均$m$，母標準偏差10の母集団から大きさ100の無作為標本を抽出し，その標本平均を$\overline{X^{\phantom{1}}\!\!}$とする．標本の大きさ100は十分大きい数であるとみなせるとする．

(3)標本平均$\overline{X^{\phantom{1}}\!\!}$を用いて，母平均$m$の信頼度$95\%$の信頼区間を求めよ．
(4)母平均$m$を信頼度$99\%$の信頼区間を用いて区間推定するとき，信頼区間の幅を(a)で求めた幅より小さくするためには，標本の大きさ$n$をいくつ以上にとればよいか求めよ．

正の整数からなる数列$\{a_n\}$が$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して
\[ n \left( \frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}} \right)<2,\quad 2+\frac{1}{a_{n+1}}<(n+1) \left( \frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}} \right) \]
を満たし，かつ$a_2=2$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_3$を求めよ．
(3)一般項$a_n$を推定し，それが正しいことを証明せよ．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{a_{k+1}}+\sqrt{a_k}}$を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3a-1 & 9a \\
-a & -3a-1
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とする．

(1)$A^2,\ A^3$を求めよ．
(2)正の整数$n$について$A^n$を推定し，それを数学的帰納法で証明せよ．

関数$f(x)=e^x$について，次の問いに答えよ．

(1)原点から$y=f(x)$のグラフへ引いた接線の方程式を求めよ．
(2)(1)の接線の接点をP$_1$とする．点P$_1$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をA$_1(a_1,\ 0)$とする．このとき，点A$_1$から$y=f(x)$のグラフへ引いた接線の方程式を求めよ．
(3)(2)の接線の接点をP$_2$とする．点P$_2$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をA$_2(a_2,\ 0)$とする．このとき，点A$_2$から$y=f(x)$のグラフへ接線を引き，その接点をP$_3$とする．さらに，点P$_3$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をA$_3(a_3,\ 0)$とする．このようにして，次々に$x$軸上の点A$_1(a_1,\ 0)$，A$_2(a_2,\ 0)$，A$_3(a_3,\ 0)$，$\cdots$を得る．このとき，数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$の一般項$a_n$を推定し，その推定が正しいことを数学的帰納法で証明せよ．

$c$を定数として数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．
\[ a_1=c+1,\quad a_{n+1}=\frac{n}{n+1}a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を求めよ．また一般項$a_n$の形を推定し，その推定が正しいことを証明せよ．
(2)$c=324$のとき，$a_n$の値が自然数となるような$n$をすべて求めよ．

数列$\{a_n\}$が次の式によって与えられているとする．
\[ a_n = \left( 1-\frac{1}{4} \right) \left( 1-\frac{1}{9} \right) \left( 1-\frac{1}{16} \right) \cdots \left( 1-\frac{1}{(n+1)^2} \right) \]
このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ 4$に対して，それぞれ$2(n+1)a_n$の値を求めなさい．
(2)$a_n$の一般項を推定し，推定した式がすべての自然数$n$に対して正しいことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．
(3)$\displaystyle a_n > \frac{1}{2}+\frac{100}{n^2}$をみたす最小の$n$を求めなさい．

数列$\{a_n\}$が，$\displaystyle a_1=\frac{2}{3},\ a_{n+1}=\frac{2-a_n}{3-2a_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たしている．次の問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を推定し，それが正しいことを数学的帰納法により証明せよ．
(3)$\displaystyle a_{n+1}-a_n<\frac{1}{5000}$を満たす最小の$n$を求めよ．